5.3 Resposta do sistema em malha fechada do controle robusto
5.3.5 An´alise de robustez das curvas na frequˆencia
A Tabela 5.1 mostra as frequˆencias de canto resultante de cada controlador em malha fe- chada. As frequˆencias de canto s˜ao representadas pela frequencia de cruzamento nos polos da planta. A limitac¸˜ao dessas frequˆencias ´e dada pela frequˆencia de corte em h1= 19dB, que ´e a frequˆencia dominante m´ınima definida em projeto. Como a ordem da matriz Am f ´e 3, por-
tanto, existem 3 frequˆencias de canto para o polinˆomio caracter´ıstico do modelo em malha fechada. Observa-se que, na Tabela 5.1, o controle D -LQI apresenta frequˆencias maiores que o D -Alocac¸˜ao de polos. Contudo a diferenc¸a entre as frequˆencias dos controles ´e pequena, o que faz o desempenho dinˆamico de ambos os controles serem praticamente idˆenticos no tempo. Al´em disso, na Tabela 5.1, vˆe-se que o modelo de otimizac¸˜ao garantiu os valores das frequˆencias entre as valores limites especificados.
Tabela 5.1: Frequˆencias de canto resultantes de cada controle. Regi˜oes das frequˆencias de canto
h2 D -LQI D -Alocac¸˜ao h1 6, 25kHz 569, 7Hz 481, 1Hz 19, 0Hz 6, 25kHz 35, 1Hz 39, 1Hz 19, 0Hz 6, 25kHz 21, 0Hz 20, 2Hz 19, 0Hz
Observa-se que, na Tabela 5.1, a frequˆencia de corte de banda passante das malhas resul- tantes dos controles D -LQI e D -Alocac¸˜ao s˜ao, respectivamente, 21Hz e 20, 2Hz. Como estes valores s˜ao muito pr´oximos, os resultados no tempo tamb´em s˜ao praticamente iguais como mostrados nas Figuras 5.3-5.5.
A Tabela 5.2 mostra os autovalores do modelo em malha aberta e do modelo controlado por cada processo de otimizac¸˜ao LMI. Observa-se que os autovalores mantiveram-se dentro das especificac¸˜oes de projeto das Sec¸˜oes 4.2 e 4.3. Nessas sec¸˜oes h1= 19Hz, e h2 = 7, 5kHz, convertendo para rad/s h1= −106, 81rad/s, e h2 = −3.9270 × 104rad/s. A base de c´alculo de otimizac¸˜ao LMI D -estabilidade deve ser feita em radianos por segundo, j´a que o processo ´e feito por limitac¸˜oes geom´etricas convexas no plano cartesiano complexo.
Observa-se que os polos de malha aberta do conversor na Tabela 5.2 apesar de serem est´aveis, possui os eixos reais pr´oximos `a origem e o valor imagin´ario cerca de 28 vezes maior que o valor real, tornando-o o sistema bastante oscilat´orio. Os valores de malha fechada tanto no modelo por D -Alocac¸˜ao como por D -LQI est˜ao mais distantes da origem e s˜ao reais, tornando o sistema equivalente ao modelo de 1a Ordem.
5.3 Resposta do sistema em malha fechada do controle robusto 61
Tabela 5.2: Autovalores do modelo de malha aberta e fechada do conversor boost equivalente. Autovalores do conversor boost equivalente
h2 Malha aberta h1 −3.9270 × 104 −17, 75 + j483, 12 −106, 81 −17, 75 + j483, 12 Malha Fechada D -LQI D -Alocac¸˜ao −131, 8 −110, 3 −220, 8 −248, 5 −3579, 5 −3266, 8
Bode. Portanto, com base nas express˜oes (5.4), (5.5) `a (5.7), (2.61) e (2.69), s˜ao obtidas as seguintes func¸˜oes de transferˆencias das incertezas multiplicativas:
∆m1(s) = −0, 222s 4− 1, 051 × 104s3− 1, 074 × 108s2− 1, 869 × 109s+ 3, 203 × 1013 s4− 1, 03 × 104s3− 3, 738 × 108s2− 2, 007 × 10s− 1, 444 × 1014 ; (5.12) ∆m2(s) =−0, 222s 4− 1, 051 × 104s3− 1, 074 × 108s2− 1, 869 × 109s+ 3, 203 × 1013 s4− 1, 03 × 104s3− 3, 738 × 108s2− 2, 007 × 1010s− 1, 444 × 1014 ; (5.13) ∆m3(s) =−0, 6109s 4− 1, 632 × 104s3− 1, 081 × 108s2− 4, 963 × 109s+ 3, 198 × 1013 s4− 1, 031 × 104s3− 3, 737 × 108s2− 1, 834 × 1010s− 1, 444 × 1014 . (5.14) Deve-se observar que dentre estas incertezas, existe a mais representativa, ou seja, a condic¸˜ao de pior caso. A Figura 5.14 mostra as curvas na frequˆencia de cada uma das func¸˜oes de trans- ferˆencia das incertezas. ´E visto que ∆m1 e ∆m3 s˜ao as mais representativas, sendo a primeira mas adequada para an´alise de estabilidade robusta, pois ´e a curva que pode impedir o crit´erio de estabilidade robusta com maior probabilidade entre as curvas de incertezas .
Deste modo, pode ser feita a an´alise via Bode dos modelos compensados pelos controles D -Alocac¸˜ao de polos e D-LQI. A Figura 5.15 mostra que o modelo compensado de ambos os controladores possuem margens pr´oximas, as margens de ganho dos controles D -Alocac¸˜ao e D - LQI s˜ao, respectivamente de 33, 9dB e de 35, 5dB, isso para as frequˆencias de 185Hz e 200Hz no modo|G( jω)K( jω)|. Ainda na Figura 5.15, as margens de fase em graus dos controles D- Alocac¸˜ao e D -LQI s˜ao, respectivamente 76, 9◦e 76, 6o, para as frequˆencias 12, 7Hz e 12, 6Hz, ou seja, praticamente iguais em margens de fase.
J´a a Figura 5.16 mostra o comportamento tanto por sensibilidade como por sensibilidade complementar. A regi˜ao de cruzamento de T( jω) e T ( jω) ´e cerca de −1, 86dB ou 0, 8 de am- plitude e 12.8Hz de frequˆencia de rejeic¸˜ao. A exemplo da perturbac¸˜ao de tens˜ao de entrada Vg
cuja amplitude de perturbac¸˜ao ´e de 12V (aproximadamente 21dB) e frequˆencia de 20Hz ´e facil- mente rejeitada pela ac¸˜ao dos dois controladores. Considerando ainda o ru´ıdo do chaveamento
5.3 Resposta do sistema em malha fechada do controle robusto 62 10−1 100 101 102 103 104 105 106 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 20
SVD Aplicado às Incertezas Multiplicativas
Frequência (Hz)
Amplitude (dB)
∆m1 ∆m2 ∆m3
Figura 5.14: Comparac¸˜ao de incertezas na escolha da mais representativa.
−150 −100 −50 0 50 Magnitude (dB) 100 101 102 103 104 105 106 90 135 180 225 270 Phase (deg)
Análise no domínio da frequência de G(jω)K(jω)
Frequência (Hz)
D−LQI D−alocação
5.4 Considerac¸˜oes finais 63
nos diodos, o valor equivalente em dB ´e cerca de 1dB, no pior caso, para a frequˆencia de chave- amento de 25kHz. Portanto, o sistema compensado garantiu a robustez diante das pertubac¸˜oes de projeto. 10−2 100 102 104 −120 −100 −80 −60 −40 −20 0 20
Composição T(jω) e S(jω) do Sistema Compensado
Frequência (Hz) Amplitude (dB) D−LQI D−alocação S T
Figura 5.16: Curvas de S( jω) e T ( jω) do modelo compensado por D-Alocac¸˜ao de polos e D -LQI.
A Figura 5.17 mostra que os controladores s˜ao robustos diante das especificac¸˜oes de pro- jeto, pois n˜ao existe nenhum ponto de cruzamento entre as curvas de 1/T e a incerteza mais representativa. Esta afirmac¸˜ao ´e com base em (2.66).
5.4
Considera¸c˜oes finais
Neste cap´ıtulo s˜ao mostrados os resultados de simulac¸˜ao do modelo original do conversor atrav´es dos ganhos e das matrizes num´ericas do conversor equivalente. Al´em disso, s˜ao ana- lisados as curvas no tempo do conversor original tanto no regime transit´orio como no regime permanente. Cita-se ainda que s˜ao feitas analises das incertezas e, com base nestas, s˜ao fei- tas a an´alise de estabilidade robusta, comprovando que as estrat´egias de controle adotadas s˜ao robustas dentro dos parˆametros de projeto.
5.4 Considerac¸˜oes finais 64 10−1 100 101 102 103 104 105 106 −20 0 20 40 60 80 100 120 140 160
Análise de Estabilidade por Alocação Robusta
Frequência (Hz)
Amplitude (dB)
1/T D−LQI 1/T D−alocação ∆m3
Figura 5.17: An´alise de estabilidade robusta dos controladores D -Alocac¸˜ao de polos e D -LQI em relac¸˜ao `a incerteza ∆m3.
65
6
An´alise e Resultados Experimentais do
Conversor
Este cap´ıtulo mostra os resultados experimentais do conversor original. Para isso, s˜ao obtidos os parˆametros f´ısicos necess´arios com base nos ganhos dos controladores do modelo equivalente e ent˜ao ´e montado o controlador f´ısico. S˜ao mostrados a topologia real, e seu cir- cuito. Al´em disso, s˜ao analisados os resultados experimentais do modelo tanto do controle D -Alocac¸˜ao de polos como do controle por D-LQI.
6.1
Ambiente real de implementa¸c˜ao
A Figura 6.1 mostra o circuito el´etrico do conversor. Os detalhes da configurac¸˜ao e construc¸˜ao do sistema f´ısico ´e implementado por Reis (2012). A Figura 6.1 ´e composta, al´em do conversor, do sensor de corrente, do controlador robusto e dos sensores de tens˜ao do circuito.
Na Tabela 6.1 s˜ao mostradas os valores dos resistores utilizados para implementac¸˜ao pr´atica conforme a Figura 6.1. Al´em disso, ´e mostrada as respectivas express˜oes para obtenc¸˜ao de tais valores, bem como os componentes comerciais utilizados para o controlador. Os valores do ganho do controlador podem ser vistos em (5.8) e (5.10). Tais valores obtidos s˜ao automatica- mente convertidos para o controle do sistema real do conversor original. Portanto, a obtenc¸˜ao dos componentes do controlador da Tabela 6.1 incluem a convers˜ao do ganho do conversor equivalente para o modelo original.
Tabela 6.1: Valores utilizados para implementac¸˜ao pr´atica.
D -Alocac¸˜ao D -LQI
Parˆametros Express˜ao Obtido Adotado Obtido Adotado
Kdi f f eedback1 Kdi f f eedback1= 10kΩ
5e−3ΩKˆ1 33, 8kΩ 33kΩ 39, 216kΩ 27kΩ+ 12kΩ
Kdi f f eedback2 Kdi f f eedback2= Kdi f f eedback1 33, 8kΩ 33kΩ 39, 216kΩ 27kΩ+ 12kΩ
Ry Ry= 1
−70V×10nF× ˆK3
−2, 5kΩ 80, 354kΩ 81kΩ 72, 212kΩ 68kΩ+ 3, 9kΩ KxvC KxvC= rv10kΩKˆ2 −10kΩ 341, 36kΩ 330kΩ+ 10kΩ 296, 40kΩ 270kΩ+ 22kΩ
Para implementac¸˜ao experimental no conversor, utilizou-se uma fonte 250V e 50A presente no GPEC. Al´em disso, para aquisic¸˜ao dos dados, fez-se uso de um oscilosc´opio digital com 4 canais. As cargas utilizadas s˜ao de resistˆencia linear de modo que foram ajustadas para garantir
6.1 Ambiente real de implementac¸˜ao 66