• Cap´ıtulo 6: faz-se a an´alise dos resultados experimentais das estrat´egias de controle apli- cadas ao conversor conforme as especificac¸˜oes de projeto.
• Cap´ıtulo 7: trata-se as conclus˜oes sobre o estudo do conversor como tamb´em analisa os efeitos das estrat´egias de controle adotadas sobre a planta com os crit´erios de robustez. Al´em disso, s˜ao mostradas propostas para trabalhos futuros.
• Apˆendice A: ´e um pequeno tutorial que ensina o uso dos pacotes Yalmip e SeDuMi e s˜ao tamb´em mostrados os procedimentos de instalac¸˜ao, bem como o uso dos tais pacotes com exemplos aplicados no MATLAB .
1.5
Considera¸c˜oes finais
Neste cap´ıtulo ´e mostrado sobre o estado da arte sobre os temas al´em dos trabalho que motivaram a produc¸˜ao desta dissertac¸˜ao. Com base nos cumprimentos dos objetivos desta dissertac¸˜ao, os cap´ıtulos seguintes mostrar˜ao as bases te´oricas necess´arias al´em da formulac¸˜ao das estrat´egias de controle, al´em dos resultados de simulac¸˜ao e resultados experimentais. Todos estes t´opicos foram brevemente resumidos na Sec¸˜ao 1.4 com o objetivo de orientar o leitor a respeito da organizac¸˜ao deste trabalho.
9
2
Teoria das Desigualdades Matriciais Lineares
no Controle por Aloca¸c˜ao de Polos e LQR
Este cap´ıtulo visa mostrar os conceitos iniciais e b´asicos necess´arios para formulac¸˜ao das LMIs. S˜ao abordados os conceitos de Teorema de Lyapunov no modelo no espac¸o de estados e a obtenc¸˜ao do ganho de realimentac¸˜ao por meio do tal teorema e a definic¸˜ao de politopos. Cita-se tamb´em o conceito do LQR otimizado via LMIs, al´em da definic¸˜ao de regi˜oes LMI via D -estabilidade, que pode ser utilizada tanto na alocac¸˜ao de polos como no LQR. Al´em disso, s˜ao mostrados os conceitos de incertezas e sua finalidade em relac¸˜ao ao conceito de politopos e a extrac¸˜ao do modelo das incertezas atrav´es da planta com variac¸˜oes polit´opicas.
2.1
Introdu¸c˜ao `as desigualdades matriciais lineares - LMIs
As desigualdades matriciais lineares (LMIs) e t´ecnicas LMI surgiram como poderosas ferra- mentas de projeto em ´areas que v˜ao desde a engenharia de controle para o sistema `a identificac¸˜ao e concepc¸˜ao estrutural (GAHINET et al., 1995). Trˆes fatores fazem com que t´ecnicas LMI se- jam atraentes:
• Uma variedade de especificac¸˜oes de projeto e restric¸˜oes podem ser expressas como LMIs. • Uma vez formulado em termos de LMIs, um problema pode ser resolvido exatamente
pela eficiˆencia dos algoritmos de otimizac¸˜ao convexa (os “resolvedores LMI”).
• Enquanto a maioria dos problemas com m´ultiplas restric¸˜oes ou objetivos carecem de an´alise de soluc¸˜oes em termos de equac¸˜oes matriciais, estes muitas vezes permanecem trat´aveis nos quadros LMIs. Isso faz com que o projeto baseado em LMIs seja uma alter- nativa valiosa para cl´assicos m´etodos “anal´ıticos”.
A hist´oria das LMIs comec¸a em aproximadamente 1890, quando Lyapunov publicou sua obra, uma introduc¸˜ao, do que hoje ´e conhecida por teoria de Lyapunov. Ele mostrou que uma equac¸˜ao diferencial do tipo
dx(t)
2.1 Introduc¸˜ao `as desigualdades matriciais lineares - LMIs 10
´e est´avel se e somente se existir uma matriz P semi definida positiva (isto ´e, P> 0) de modo que
A′P+ PA < 0.
A condic¸˜ao que Lyapunov desenvolveu ´e denominada de estabilidade de Lyapunov em P, que ´e uma forma especial de LMI. Al´em disso Lyapunov mostrou que dado um ponto de operac¸˜ao
Q= Q′> 0, na equac¸˜ao A′P+ PA = −Q existe um P > 0 em que a equac¸˜ao diferencial citada ´e est´avel. Logo, a LMI usada pela primeira vez para analisar a estabilidade de um sistema dinˆamico foi a desigualdade de Lyapunov, que pode ser resolvido analiticamente (BOYD et al., 1994). Portanto, um resumo dos principais acontecimentos na hist´oria de LMIs na teoria de controle desde a resoluc¸˜ao da primeira LMI segue-se ent˜ao:
• 1890: Surge a primeira LMI. Uma soluc¸˜ao anal´ıtica por LMI atrav´es da equac¸˜ao de Lya- punov.
• D´ecada de 1940: Aplicac¸˜ao de m´etodos de Lyapunov para engenharia de problemas de controle real. Pequenas LMIs resolvidas “`a m˜ao”.
• In´ıcio da d´ecada de 1960: Lema Positivo-Real d´a t´ecnicas gr´aficas para resolver uma outra fam´ılia de LMIs.
• Final da d´ecada de 1960: A observac¸˜ao de que a mesma fam´ılia de LMIs pode ser resol- vida atrav´es da resoluc¸˜ao de uma Equac¸˜ao Alg´ebrica de Riccati (Algebric Riccati Equa-
tion- ARE).
• In´ıcio da d´ecada de 1980: Reconhecimento de que muitas LMIs podem ser resolvidas por computador atrav´es de programac¸˜ao convexa.
• Final da d´ecada de 1980: Desenvolvimento de algoritmos dos pontos interiores para resoluc¸˜ao de LMIs.
Atualmente, tˆem-se desenvolvido maneiras de resolver uma forma geral de LMIs (BOYD
et al., 1994). Um exemplo de LMI cl´assico ´e a resoluc¸˜ao da equac¸˜ao de Riccati (OGATA, 2003; DORF; BISHOP, 1998), que ´e utilizada para busca do ganho ´otimo LQR, ´e dada por
A′P+ PA + Q − PBR−1B′P< 0. (2.1)
Em 1971, J. C. Willems,de (2.1) propˆos a seguinte LMI para (2.1):
"
A′P+ PA + Q PB
B′P R
#
2.1 Introduc¸˜ao `as desigualdades matriciais lineares - LMIs 11
A express˜ao (2.2) foi obtida pela autodecomposic¸˜ao da matriz Hamiltoniana (BOYD et al., 1994), que ´e a composic¸˜ao original da equac¸˜ao de Riccati.
Seja a seguinte equac¸˜ao diferencial do tipo
dx(t)
dt = Aix(t), (2.3)
em que o sub´ındice i indica v´arios pontos de operac¸˜ao de A ou politopos. Do ponto de vista f´ısico, isto ´e uma incerteza do tipo param´etrica. Portanto, o teorema de Lyapunov pode ser generalizado de modo a encontrar P> 0 est´avel, sendo que
A′1P+ PA1< 0, A′2P+ PA2< 0, .. . A′iP+ PAi< 0, .. . A′nP+ PAn< 0, (2.4)
em que existem n incertezas, cada incerteza pode ser considerada um ponto de operac¸˜ao, matematicamente, um politopo. Dado um conjunto n de politopos, existir´a uma soluc¸˜ao fact´ıvel se e somente se o conjunto politopo for convexo. Na Figura 2.1(a), ´e ilustrada uma regi˜ao a soluc¸˜ao P> 0 encontra-se fora da regi˜ao polit´opica v´alida, portanto esta soluc¸˜ao ´e infact´ıvel. J´a na Figura 2.1(b), ´e mostrada que a soluc¸˜ao P> 0 encontra-se dentro da ragi˜ao polit´opica v´alida, sendo ent˜ao uma soluc¸˜ao fact´ıvel.
(a) Soluc¸˜ao n˜ao fact´ıvel. (b) Soluc¸˜ao fact´ıvel. Figura 2.1: Soluc¸˜ao de politopos via LMIs.
No entanto, o conceito de factibilidade ´e bem mais abrangente. O sistema ´e considerado fact´ıvel, se somente se forem satisfeitas todas as condic¸˜oes de restric¸˜oes impostas(BOYD et al., 1994; GAHINET et al., 1995). A ilustrac¸˜ao da Figura 2.1 apenas mostra uma pequena aplicac¸˜ao da factibilidade em regi˜oes LMIs.