Análise Modal

A análise modal é um tema da dinâmica de sistemas mecânicos associado ao estudo das características e das vibrações que está fortemente relacionado com a teoria de ondas mecânicas em sistemas contínuos. No entanto é também aplicável a sistemas de parâmetros concentrados discretos, isto é, a sistemas compostos por elementos discretos: massas, amortecedores e molas. Deste modo, a análise modal e o método dos elementos finitos estão fortemente relacionados. A análise modal tira partido das propriedades e das vantagens inerentes aos valores e vectores próprios de matrizes para determinar a solução algébrica das oscilações em regime livre para sistemas não amortecidos. Porém, nem sempre é possível obter os valores dos parâmetros modais por via analítica, sendo necessário recorrer a métodos experimentais, através de análise modal experimental, para determinar os parâmetros modais de sistemas lineares e invariantes no tempo.

Capítulo 3. Fundamentos de Vibrações e Acústica

As soluções das vibrações em regime livre, em sistemas não amortecidos, designam-se modos e correspondem a ondas onde todos os pontos se movem a uma determinada frequência natural e com a mesma relação de fase. Considerando C= 0 em (3.34), usando a representação no domínio da transformada de Laplace e após manipulação algébrica obtém-se

( )

−

  +   =

M K1 s2 I x i s 0 , (3.62)

em que I é a matriz identidade. A solução algébrica não trivial dos valores próprios para o problema definido em (3.35) pode ser obtida para  = −_s2_{, tal que}

−

  − =

 1 

det M K I 0. (3.63)

A solução dá origem a um polinómio em  cujas raízes (os valores próprios) são os pólos do sistema tal que s_r=  j _r , onde   r

(

₁, ,₂ n

)

são os valores de  que satisfazem a

expressão (3.63). Por cada valor próprio existe um vector próprio, Λ_r, que satisfaz a equação −

  −   =

M K1 r I Λ r 0. (3.64)

Consequentemente, cada uma das soluções designa-se por modo e corresponde a uma onda estacionária à frequência natural não amortecida, definida pelos valores próprios _r. Os vectores próprios correspondentes (vectores modais), Λ_r, são relativos aos modos de vibração associados, os quais dependem das respectivas condições limite e estabelecem características próprias de cada sistema [156]. Por outras palavras, os modos comportam-se como ondas mecânicas em regime estacionário, onde todos os pontos no meio de propagação se movem em fase, ou desfasados entre si, a uma determinada frequência natural não amortecida.

Porém, os modos naturais não são independentes e apresentam como característica particular a propriedade de ortogonalidade ponderada em relação às matrizes de massa e de elasticidade (rigidez), se estas forem simétricas [156]. Considerem-se duas soluções próprias distintas,

2_,

r Λr e 

2_,

s Λs, onde r s , tais que

 =   2 r r r K Λ M Λ (3.65) e  =   2 s s s K Λ M Λ . (3.66)

3.4 Análise Dinâmica por Métodos Numéricos e Experimentais

Multiplicando ambos os membros de (3.65) por ΛT_s e ambos os membros de (3.66) por ΛT_r , atendendo que as matrizes são simétricas, após manipulação matemática tem-se

(

 − 2 2

)

T  =₀

r s Λ M Λs r . (3.67)

Atendendo que as frequências naturais são distintas nas duas soluções, i.e.,   _{r s}, a solução da igualdade (3.67) verifica-se para

  =0, 

T

s r r s

Λ M Λ , (3.68)

que representa a ortogonalidade dos vectores modais Λ_r e Λ_s em relação à matriz de massas. O mesmo se verifica relativamente à matriz de elasticidades,

  =0, 

T

s r r s

Λ K Λ . (3.69)

Para sistemas MDOF a propriedade da ortogonalidade dos modos permite que a resposta (deslocamento) seja expressa pelo teorema da sobreposição, através da combinação linear dos vectores modais multiplicados pelas coordenadas modais (funções do tempo) [156]. Para

n

graus de liberdade tem-se

= =



 1 n r r r u u Λ , (3.70)

onde u é o vector de deslocamento e u_r as componentes das coordenadas modais.

Além destas propriedades, as matrizes de massa, rigidez e de amortecimento em (3.11) e (3.34) são, em geral, matrizes auto-adjuntas (ou hermitianas). Esta característica permite que possam ser decompostas (diagonalizadas), simplificando o problema; os seus valores próprios são reais e os vectores próprios são linearmente independentes. Assim, para sistemas MDOF, pela transformação matricial para coordenadas modais Λ, cujas colunas correspondem a cada um dos modos de vibração Λ_r, e pelo critério da ortogonalidade dos modos, obtém-se as matrizes diagonais de massa modal e de elasticidade (ou rigidez) modal, tal que

  = T r Λ M Λ M , (3.71) e   = T r Λ K Λ K . (3.72)

Capítulo 3. Fundamentos de Vibrações e Acústica

Os coeficientes nas diagonais destas matrizes são, respectivamente, as massas modais m_r e os coeficientes de elasticidade modal k_r, ambos para o modo

r

. Deste modo, a solução dos valores próprios para sistemas com

n

graus de liberdade é

   = =   , 1,2, , T r T r n Λ K Λ Λ M Λ . (3.73)

Verifica-se nesta equação que tanto o numerador como o denominador são proporcionais à energia cinética e à energia potencial, de acordo com a expressão (3.33).

Num sistema real ocorrem vários processos de amortecimento, designadamente o amortecimento interno, e dos tipos estrutural e viscoso. Porém, estes mecanismos de amortecimento podem apresentar histerese e dependência temporal (amortecimento viscoelástico), e são difíceis de identificar e de modelar. No entanto, apesar destas limitações, em geral é possível considerar amortecimento do tipo viscoso, assumindo que a matriz de amortecimento é uma combinação linear das matrizes de massa e de rigidez [165]. Esta forma particular de amortecimento designa-se por amortecimento proporcional, ou amortecimento de Rayleigh [156], e a matriz de amortecimento é definida por

=  +

C M K, (3.74)

onde  e  são valores reais que representam as constantes de proporcionalidade de massa e de elasticidade, respectivamente.

Assim, tendo em conta o critério da ortogonalidade, a matriz de amortecimento resultante é também diagonal e expressa por

=  +  = T 

r r r

C M K Λ C Λ. (3.75)

Esta forma permite dissociar os sistemas MDOF em coordenadas modais, de tal modo que os sistemas amortecido e não amortecido apresentam modos de vibração idênticos, sendo a equação do movimento dada por

 +  +  = T

r q r q r q

M x C x K x Λ F. (3.76)

Nesta expressão, que quanto à forma é idêntica a (3.34), cada linha corresponde a um sistema SDOF cuja equação do movimento é equivalente à expressão (3.1), usando os parâmetros modais de massa, amortecimento e elasticidade. No modo

r

, a frequência em regime livre e os coeficientes de amortecimento e de amortecimento relativo são dados, respectivamente, por

3.4 Análise Dinâmica por Métodos Numéricos e Experimentais  = r r r k m , (3.77) =  2 r r r c m (3.78) e  =  2 r r r r c k m , (3.79)

em que _r é a componente real dos pólos complexos no modo

r

.

No caso de amortecimento genérico (não proporcional), os modos normais não permitem a dissociação da matriz de amortecimento e, portanto, em alternativa, uma possível solução baseia-se na formulação do problema a partir de equações de espaço e de estado [156].

No documento Caracterização e análise do ruído acústico em actuadores de relutância variável comutados (páginas 127-131)