2. Conceitos Fundamentais e Estado da Arte
2.5. Aquisição, Análise e Processamento de Sinais
2.5.2. Métodos e Ferramentas Numéricas para Análise de Sinais
Os métodos clássicos de análise de sinais recorrem às ferramentas de Fourier, aplicáveis a sinais contínuos ou discretos no tempo, dos quais a mais popular será porventura a transformada de Fourier, para a representação do espectro de sinais. O propósito desta operação está normalmente relacionado com a avaliação das suas componentes de frequência, com a energia contida no sinal ou até com a potência espectral. A sua aplicação no processamento de sinais faz-se essencialmente para sinais periódicos e estacionários.
No caso dos MRVC em que o movimento é periódico, em regime forçado, os sinais das vibrações e do ruído acústico revelam características idênticas, em amplitude, frequência e periodicidade. O mesmo não se aplica, no entanto, de forma directa aos ALRVC. Por um lado, porque o movimento não é periódico; por outro, porque há que considerar a dimensão finita das suas partes estruturais que tem implicações na propagação das ondas elásticas relativas às vibrações mecânicas. Assim, no caso geral, atendendo às características estruturais e de operação do ALRVC, é de considerar que os sinais das vibrações e do ruído acústico emitido resultam da combinação linear de vários sinais, com as suas próprias características, periódicos ou quase-períodicos, em regime amortecido ou com origem em fenómenos transitórios.
Análise Espectral de Sinais Estacionários
Em algoritmos de análise e processamento de sinais é comum trabalhar com sequências com uma dada dimensão finita devido às limitações de memória dos sistemas de aquisição de dados. Uma das ferramentas é a transformada de Fourier de sinais discretos (DTFT - Discrete-Time
Fourier Transform) do sinal x n[ ], definida por
( )
− =− =
[ ] j j n n X e x n e , (2.112)que resulta numa função contínua e periódica, de período
2
e que corresponde à envolvente do espectro dex t( )
no intervalo das frequências fundamentais. Por sua vez, a transformada inversa deX e( )
j é dada por( )
− =
[ ] j j n x n X e e d . (2.113)Por razões práticas de implementação e de eficiência computacional, convém que a transposição entre os domínios do tempo e da frequência se faça sobre sequências discretas e finitas, como é o caso da transformada de Fourier discreta (DFT - Discrete Fourier Transform).
Capítulo 2. Conceitos Fundamentais e Estado da Arte
A DFT do sinal discreto, x n[ ], limitado na frequência e na dimensão e com energia finita, é dada por − − = =
1 2 − 0 [ ] [ ] , 0 1 nq N j N n X q x n e q N . (2.114)Nesta equação, N é a dimensão do sinal discreto;
n
e q são índices dos vectores de amostrase de coeficientes da DFT, nos domínios discretos do tempo e da frequência, respectivamente. A DFT inversa é dada por
− = =
1 2 − 0 1 [ ] [ ] , 0 1 nq N j N q x n X q e n N N . (2.115)As expressões (2.114) e (2.115) são as equações de análise e de síntese, respectivamente, assim designadas devido às suas características e aplicação típica. Caso o sinal x t
( )
seja razoavelmente limitado na gama de frequências e o processo de amostragem seja adequado, então as características espectrais do sinal x n[ ], representadas por X q[ ], permitem obter uma boa estimativa do espectro de x t( )
. Por outro lado, para uma frequência de amostragem comum, verifica-se que os coeficientes da DFT ― Equação (2.114) ― coincidem com os coeficientes da DTFT ― Equação (2.112) ― obtidos em intervalos regulares = 2 q N, isto é,( )
= = 2 [ ] j n N X q X e . (2.116)Tal significa que a DFT de x n[ ] corresponde à versão discreta do espectro obtido pela DTFT. A DFT enquadra-se na classe das transformadas ortogonais dado que as suas funções de base são ortogonais entre si (seno e co-seno), como se comprova pelo desenvolvimento da expressão (2.115). Uma das características mais importantes das transformadas ortogonais é a preservação de energia associada ao sinal, isto é, não existem perdas de energia pela transposição entre os domínios do tempo e da frequência, e vice-versa. Esta propriedade verifica-se através do teorema de Parseval, tal que
− − = = =
1 2
1 2 0 0 1 [ ] [ ] N N n q x n X q N . (2.117)2.5 Aquisição, Análise e Processamento de Sinais
Verifica-se em (2.115) que a DFT resulta em geral numa sequência de números complexos, de
dimensão N, sendo designada de DFT de N pontos. Assim, usando a notação
−
= j2N N
W e , é comum representar as equações de análise e de síntese, respectivamente, na forma
− = =
1 − 0 [ ] N [ ] nq, 0 1 N n X q x n W q N , (2.118) e − − = =
1 − 0 1 [ ] N [ ] qn, 0 1 N q x n X q W n N N . (2.119)Na análise harmónica de sequências discretas finitas pela DFT ou através de algoritmos eficientes para o seu cálculo, como é o caso da FFT (Fast Fourier Transform), é comum o uso de funções “janela”. Esta estratégia está relacionada com a necessidade de reduzir a degradação do espectro por perda de resolução ou alteração de amplitude. Os fenómenos estão relacionados entre si e ocorrem essencialmente por dois motivos. O primeiro deve-se ao tempo de observação e de medição e aquisição dos sinais, o qual, sendo finito, determina o número de amostras a considerar na análise. Este processo equivale ao uso de uma janela temporal de observação. O segundo motivo está relacionado com o facto de o tempo de observação não coincidir com períodos completos dos sinais. Este facto, que ocorre frequentemente, gera descontinuidades artificiais nos limites da sequência de amostras, às quais, dada a natureza periódica e circular da análise de Fourier, correspondem componentes espúrias de frequência. Além disso, as descontinuidades artificiais têm tendência a receber parte da energia do sinal que em condições normais estaria concentrada nas componentes de frequência reais, alterando os respectivos níveis de amplitude. O efeito de absorção de energia pode ser mitigado pela redução das descontinuidades nos limites da sequência discreta através de funções “janela”.
Na bibliografia de referência sobre este assunto são propostas várias funções “janela” para a análise harmónica de sinais. Porém não existem critérios objectivos que permitam estabelecer de forma absoluta a função “janela” óptima, dado que cada uma delas apresenta vantagens e desvantagens que devem ser consideradas consoante a aplicação. O primeiro trabalho que se conhece sobre o tema remonta a Janeiro de 1978, elaborado por Fredric Harris [126]. Nesse trabalho são propostos os critérios e os parâmetros de avaliação, indicadores das figuras de mérito de várias funções “janela”, umas clássicas e outras dedicadas. Faz-se igualmente uma análise individual para cada uma das funções e a avaliação comparativa entre todas elas. O trabalho de Fredric Harris é complementado por outro mais recente, realizado por G. Heinzel
et.al., em 2002, no qual se avaliam outras funções “janela”, de base e compostas e se propõe
Capítulo 2. Conceitos Fundamentais e Estado da Arte
A Tabela 2.2 apresenta alguns parâmetros e características que definem a figura de mérito das “janelas” mais comuns usadas na análise harmónica de vibrações [128]. A avaliação mais completa e abrangente acerca do desempenho de funções “janela”, para várias famílias, incluindo as clássicas e outras mais recentes e até funções hibridas pode ser obtida em [129].
Tabela 2.2 Comparação do desempenho das funções “janela” [129].
Função “janela” SLLmáx [dB] ΔSLL [dB/oitava] PG ENBW [contentor] PL [dB] WCPL [dB] Rectangular ― 13,25 ― 6 1,00 1,00 0,00 3,91 Bartlett ― 26,45 ― 12 0,50 1,33 1,25 3,07 Hanning ― 31,47 ― 18 0,50 1,50 1,76 3,18 Hamming ― 42,81 ― 6 0,54 1,36 1,34 3,09 Flat-Top (3ª ord.) ― 43,75 ― 6 0,28 2,97 4,72 4,72
Na Tabela 2.2, SLL (Side-Lobe Level) é o nível no primeiro lobo lateral; ΔSLL é o decaimento da função de transferência da “janela” até ao lobo lateral; PG (Processing Gain) é o ganho no processamento (ou ganho coerente) e ENBW (Equivalent Noise Bandwidth) é um factor múltiplo da gama de resolução na frequência,f , que define a largura de banda do contentor do ruído equivalente, tal que ENBW n f= . Os parâmetros PL e WCPL referem-se às perdas por processamento (Processing Loss) e ao seu valor no pior cenário (Worst Case Processing Loss), respectivamente. Apesar da atenuação adicional resultante das características da função “janela”, a análise harmónica pelo método das janelas apresenta as seguintes vantagens: o lobo principal permite esbater transições rápidas do espectro original; os níveis baixos nos lobos laterais permitem realçar as componentes de frequência associadas a sinais fracos.
A DFT e a DFT-1 podem ser aplicadas a sequências discretas, periódicas ou de duração limitada, considerando que o número de amostras da sua representação corresponde a um intervalo de tempo no qual é possível caracterizar completamente esse sinal. Tal significa que os parâmetros característicos (amplitude, frequência e fase inicial) de cada um dos sinais que a compõem são invariáveis no tempo e não dependem da dimensão da representação do sinal. Porém, pela própria natureza, a DFT tende a privilegiar a informação das componentes de frequência em todo o domínio, em detrimento de possíveis componentes esporádicas e localizadas no tempo.
Verifica-se assim que a análise espectral através da DFT não é adequada à análise espectral de sequências discretas que incluam informação de sinais não estacionários, descritos por funções não periódicas ou de suporte compacto, isto é, que apresentam valores não nulos num dado intervalo, finito, e nulos fora desse intervalo. Tal justifica-se pelo facto de as funções de base usadas na análise de Fourier não serem temporalmente localizadas (não se cancelam fora de
2.5 Aquisição, Análise e Processamento de Sinais
um dado intervalo) e, portanto, a série converge lentamente. Portanto, a análise espectral de sinais não estacionários requer métodos e ferramentas específicas que sirvam esse objectivo.
Análise Espectral de Sinais Não-Estacionários
A análise de sinais não-estacionários faz-se normalmente nos planos tempo-frequência ou espaço-frequência, podendo ser aplicada tanto a sinais determinísticos como estocásticos, com distribuições de Gauss (distribuição normal), de Libreville ou outras [130], [131]. Uma abordagem possível consiste em segmentar os sinais em vários troços uniformes, de dimensão finita, correspondentes a intervalos de duração curtos, que permitam considerar os sinais como estacionários. Subsequentemente torna-se possível aplicar a DFT a cada um desses segmentos, segundo a janela de representação. Este esquema designa-se por transformada de Fourier local (STFT — Short-time Fourier Transform), definida por
( )
− =− =
− STFT , [ ] [ ] j q q X n x n q w q e , (2.120)onde x n[ ] é o sinal discreto e w n[ ] uma função janela, de dimensão finita, adequada à análise do espectro local [122], [130]. A aplicação da STFT depende dos intervalos de tempo considerados, pelo que, a função pode ser definida numa determinada escala temporal e a função “janela” deve ser bem localizada e ter suporte compacto.
A versão discreta da STFT, por analogia com as relações entre a DFT e a DTFT, obtém-se para
( )
= − − = = = =
− − 2 STFT STFT 2 1 0 [ , ] , [ ] [ ] , 0 1 q N lq M j N m X l n X n x n q w q e l N . (2.121)Nesta equação M é a dimensão da “janela” definida no intervalo 0 −l M 1, e que permite obter amostras do espectro de x n[ ] para N frequências regularmente espaçadas de
= 2 q N, onde N M .
No entanto, em lugar da forma clássica do espectro do sinal (componentes de amplitude e fase), o resultado da STFT corresponde a uma representação da ocorrência de valores de frequência no tempo designada por espectrograma. Os valores das amplitudes para essas frequências podem ser representados num gráfico tridimensional. Estas características indicam que a STFT é uma ferramenta matemática adequada à análise de sinais cuja frequência varia no tempo, como por exemplo, os sinais do tipo chirp. Os sinais deste tipo são normalmente usados como excitação de referência na avaliação das características de resposta em frequência de sistemas.
Capítulo 2. Conceitos Fundamentais e Estado da Arte
Na escolha da função “janela” devem ser consideradas as suas características específicas na extracção de troços de sinal para análise, de modo a que este possa ser considerado quase estacionário. A figura de mérito da função “janela”, definida pelo produto tempo-frequência, é limitada pelo princípio de incerteza de Heisenberg [130], [132]. Este princípio estabelece uma limitação inferior na resolução no tempo e na frequência, definido pela inequação
1 2t ; as regiões identificadas pelas variações na escala do tempo e da frequência, em que se verifique = t 2 , designam-se por rectângulos de Heisenberg. Assim, “janelas” de curta dimensão resultam em espectrogramas de banda larga e “janelas” largas em espectrogramas de banda estreita. As funções janela possíveis são as que normalmente se usam no projecto de filtros digitais do tipo FIR (Finite Impulse Response) para atenuar o efeito de Gibbs, ou para suavizar o espectro da DFT para sequências finitas [133], [134]. A alteração das dimensões da “janela” implica recalcular a STFT para as novas condições, com custos computacionais inerentes.
Na STFT, as funções sinusoidais são moduladas pela função envolvente. Como a função de análise é a mesma para cada frequência, a escala no plano tempo-frequência é constante, independentemente da sua localização temporal. Assim, a transformada de ôndula (wavelet) constitui uma alternativa à STFT que permite manter as características de linearidade e de localização no plano tempo-frequência.
As ôndulas são funções de análise e representação escaláveis, isto é, que podem ser dilatadas ou comprimidas no domínio do tempo, sendo bem localizadas no tempo e na frequência. Tal como no caso da STFT, os objectivos principais associados à transformada de ôndula são a análise e a representação de funções (sinais) numa escala adequada, dado que tanto a STFT como a transformada de ôndula permitem a análise e representação no plano tempo-frequência [135]–[137]. É por isso adequada à análise de vibrações em geral [138], caracterizadas por sinais não estacionários ou periódicos [139], [140], com aplicação na avaliação e caracterização e no diagnóstico de máquinas eléctricas [141], [142]. Além disso, em relação à STFT na qual a resolução no plano tempo-frequência é fixa, a transformada de ôndula apresenta vantagens por permitir obter esquemas de decomposição de sinais com resolução ajustável. Esta transformada usa ôndulas como funções de análise, às quais estão associados parâmetros de deslocamento (de translação) e de escala (de dilatação ou de compressão).
Uma ôndula é uma função definida no espaço linear de energia finita, das funções quadráticas integráveis em , tal que L2
( )
[143]; a sua versão escalada e deslocada é definida por( )
− = x x , 1 0, a b b a b a a , (2.122)2.5 Aquisição, Análise e Processamento de Sinais
A expressão (2.122) define a forma como são geradas as translações e dilatações da ôndula de base, também designada por ôndula-mãe (do Inglês, mother wavelet). O parâmetro de escala está inversamente associado à frequência, isto é, a factores de escala baixos correspondem altas frequências, e vice-versa. Em aplicações em que é frequente a análise de sinais de carácter transitório, com componentes de alta e baixa frequência, esta transformada permite adaptar a resolução da análise, consoante a frequência e a ocorrência no tempo. Por escolha adequada da função e dos parâmetros a e b , [143] obtém-se,
( )
−(
−)
x = 2 −x , 2 2 , m m m n n m n . (2.123)As funções obtidas a partir de (2.123) constituem as bases ortonormais no espaço L2
( )
, permitindo, portanto, que qualquer função nesse espaço seja aproximada por combinação linear de m n, . Nesta equaçãom
é o parâmetro de escala (de resolução) en
o de translação. A transformada de ôndula contínua (CWT— Continuous-Wavelet Transform) de uma função arbitrária f( )
x : f L2( )
, referente a uma ôndula de análise , é, por definição( )
( )
( )
− = =
x x x x , , , , a b a b a b W f f f d , (2.124)em que
( )
é o complexo conjugado de ( )
e( )
− = x x , 1 , 0 a b b a b a a a , (2.125) onde 1a é o factor de normalização de energia ao longo das várias escalas.
A transformada de ôndula discreta (DWT — Discrete-Wavelet Transform), associada ao conceito de análise multiresolução (MRA — Multi-resolution Analysis), permite obter esquemas eficientes para a representação dos coeficientes da transformada de ôndula. Permite também a análise e a síntese de sinais, através de bancos de filtros [132], [144]. De modo análogo à análise de Fourier, através do desenvolvimento da função em série de ôndulas (wavelet series), verifica-se que os respectivos coeficientes correspondem aos da CWT, obtidos em determinados
pontos, espaçados de um factor de 2, tal que
1 , 2 2j j
q
. Assim, com base nas expressões (2.124)
Capítulo 2. Conceitos Fundamentais e Estado da Arte
admissibilidade, considerando as bases ortogonais em L2
( )
, e tomando os valores discretos dos parâmetros de escala e translação a= 2−j e b q= 2−j, em que q j, , obtém-se( )
− − − − = =
x x x , 1 , 2 2 2 2 j k j j j j q q w W f f d . (2.126)Esta equação corresponde ao desenvolvimento de uma função em série de ôndulas, gerando um conjunto discreto de valores da correlação entre a ôndula e a função f
( )
x , com representação conjunta no plano tempo-escala: a transformada de ôndula discreta (DWT).O método de análise com resolução múltipla (MRA) proposto por Stéphane Mallat permite representar de forma eficiente, no domínio discreto, sinais constituídos por variações lentas e rápidas no tempo, isto é, com componentes de baixa e de alta frequência, utilizando diferentes taxas de amostragem (diferentes resoluções) [132]. Por outras palavras, a MRA consiste na decomposição de uma função f L2
( )
em várias funções mais simples, por aproximação em escalas sucessivas. Isso resulta numa representação da função f com vários níveis de detalhe, em escalas de frequência organizadas em oitavas.A decomposição ortonormal de um sinal discreto pode ser realizada por bancos de filtros nas diversas escalas de MRA, sendo constituídos em cada nível por um par de filtros de análise dos tipos passa-baixo h, e passa-alto g. Dado que os espectros da função e da ôndula equivalem a filtros passa-baixo e passa-alto, respectivamente, é possível representar as ôndulas e as funções nas várias escalas, nos espaços de MRA, através dos coeficientes desses filtros. O mesmo se aplica para o esquema de reconstrução de sinais, considerando os filtros de síntese,
h e g , duais dos filtros de análise. Os filtros com estas características são simétricos e
conjugados, com fase linear e normalmente designados por QMF – Quadrature Mirror Filters.
De entre os vários tipos e famílias de ôndulas existentes importa destacar dois, pelas suas características e pelas suas vantagens na implementação em esquemas eficientes de análise de sinais. O primeiro tipo respeita à família de bases ortogonais de Daubechies, designadas por
DBq, onde q indica o número de momentos nulos das funções [143]. O segundo tipo refere-se
às ôndulas biortogonais onde se enquadram as funções do tipo spline e a família de ôndulas biortogonais de Cohen-Daubechies-Feauveau (CDF).
Além da ortogonalidade, as ôndulas ortogonais DBq e biortogonais CDF apresentam como características o suporte compacto e um número mínimo de momentos nulos. Estas características permitem que possam ser obtidas através de filtros FIR ortogonais, de fase linear, simétricos e conjugados, isto é, do tipo QMF. Além disso, as ôndulas biortogonais
2.5 Aquisição, Análise e Processamento de Sinais
permitem a implementação de esquemas de bancos de filtros para análise e reconstrução perfeita de sinais.
Assim, considerando ôndulas biortogonais num esquema MRA, as funções de escala são definidas por
( )
(
)
x = 2
q 2x− q h q e ( )
x = 2
q(
2x−)
q h q ; (2.127)e as ôndulas são expressas na forma
( )
(
)
x = 2
q 2x− q g q e ( )
x = 2
q(
2x−)
q g q . (2.128)As expressões 2.127 e 2.128 definem as funções de base de construção das ôndulas biortogonais nas várias escalas de MRA e, consequentemente, de obtenção dos coeficientes da DWT.
A Figura 2.9 ilustra um esquema MRA por bancos de filtros com três estágios de decomposição e de reconstrução, isto é, com resolução a três escalas. Nesta figura 2 e 2 representam, respectivamente, os processos de decimação e de interpolação com factor de 2. Tanto os filtros de análise,
hq e
gq , como os de síntese,
hq e
gq , são do tipo FIR [144].Segundo este esquema, em cada estágio de decomposição q , faz-se a decimação e a
convolução da sequência de entrada com os coeficientes dos filtros de que resultam a aproximação aq n, e as diferenças (ou detalhes) desse sinal dq n, . Quando aplicado em cadeia, e sequencialmente, este processo permite obter a DWT com vários estágios (ou níveis) de aproximação e de detalhe, isto é, com resolução ajustada e escalável. A reconstrução faz-se por um processo idêntico, por aplicação dos filtros de síntese aos coeficientes da DWT, obtendo-se assim uma réplica do sinal inicial, x n*[ ]. No entanto, importa referir que a DWT não é invariante ao deslocamento, isto é, a DWT de uma função e da sua versão deslocada no tempo não correspondem a versões da DWT deslocadas uma da outra. Apesar disso, a análise espectral de sinais através da DWT tem recebido uma atenção considerável no que respeita a tema de investigação [137].
Na MRA, devido às sucessivas divisões do espectro por dois em resultado da aplicação dos bancos de filtros, o espectro resultante é organizado em bandas de frequências espaçadas de forma logarítmica em oitavas, considerando dois estágios de decomposição, como se ilustra na Figura 2.10 a). A separação e a definição das bandas de frequências, segundo este esquema, pode, no entanto, revelar-se pouco eficiente para a análise de sinais não-estacionários, uma vez que as gamas de frequência podem ser largas.
Capítulo 2. Conceitos Fundamentais e Estado da Arte
Figura 2.9 Bancos de filtros com três estágios de resolução para análise e para síntese de sinais.
Figura 2.10 Esquemas de análise de sinais em bandas de frequências: a) pela DWT e b) por WP.
Uma alternativa a este processo consiste em usar um esquema em pacote de ôndula (WP - Wavelet Packet) no qual, em cada estágio, se decompõem também os coeficientes de detalhe como ilustra a Figura 2.10 b) [145]. Este esquema permite dividir o espectro em bandas
2.5 Aquisição, Análise e Processamento de Sinais
A decomposição por WP tem vantagens, por exemplo, na análise harmónica de sinais, em conjunto ou em alternativa à análise de Fourier, onde DFT (e a FFT) associada a funções “janela” é a abordagem de base para a análise e representação do espectro de sinais discretos.