Classificação de Sinais

Os sinais, em geral e em abstracto, contêm dados ou observações reais relativas ao comportamento de um dado fenómeno físico ao longo de um dado intervalo temporal ou espacial, podendo, entre outros, ser classificados como determinísticos ou aleatórios. No primeiro grupo incluem-se aqueles cujas variáveis são exactamente previsíveis, isto é, que podem ser estimadas num dado intervalo de tempo de interesse, e que são descritos por funções matemáticas que não envolvem qualquer grau de incerteza ou dependência de distribuições de

2.5 Aquisição, Análise e Processamento de Sinais

probabilidade. Por sua vez, os sinais aleatórios contêm elementos de incerteza associados, não sendo por isso previsíveis no sentido determinístico.

Quanto à evolução temporal, os sinais podem ser classificados em periódicos ou aperiódicos, e estes últimos subdivididos em quase-periódicos ou transitórios. No que respeita ao universo de representação, os sinais podem ser contínuos no tempo, ou discretos, em resultado do processo de amostragem de sinais contínuos suficientemente limitados na frequência, em observação dos teoremas de Shannon-Nyquist [119], [120]. Os sinais são discretos sempre que o universo das observações ou o conjunto de dados de suporte sejam finitos, representativos de um determinado intervalo de tempo e regularmente distribuídos nesse intervalo.

Sinais Determinísticos

Os fundamentos da análise e caracterização de sinais e sistemas focam-se, em geral, nos sinais determinísticos, normalmente estacionários, e nos SLIT. Os sinais determinísticos, discretos no tempo, são descritos por modelos matemáticos que não envolvem variáveis aleatórias ou funções de probabilidade, dependendo apenas do instante de tempo em que são observados.

Por questões de simplicidade e generalidade consideram-se os valores instantâneos de sinais analógicos e contínuos no tempo, obtidos por combinação linear de q sinais sinusoidais, de

amplitude A_q, frequência angular  = q 2 fq e fase inicial q, na forma

( )

=



_q

( )

=



_qsin

(

 + _{q q}

)

q q

x t x t A t , (2.98)

em que x t

( )

é periódico, de período 2 , e os valores da fase inicial se restringem ao intervalo 

−    . Assume-se que o sinal x t

( )

possa apresentar um número finito de descontinuidades finitas e um dado número de máximos e mínimos num dado intervalo limitado; assume-se ainda que este sinal é expresso por uma função totalmente integrável [121], [122], isto é,

( )

 −

  



x t dt . (2.99)

De acordo com os critérios de amostragem de Shannon-Nyquist, verificando-se a condição



max

2

q s

f

f

, onde max q

f

define a largura de banda dos sinais que compõem x t

( )

e

f

_s a frequência de amostragem, a versão discreta do sinal

x t( )

corresponde a uma sequência real e discreta, x n[ ], que contém as observações do sinal contínuo em instantes de tempo regularmente espaçados, em intervalos definidos pelo período de amostragem

T

_s

=( )f

_s −1.

Capítulo 2. Conceitos Fundamentais e Estado da Arte

O sinal discreto resultante da amostragem do sinal expresso por (2.98) é assim representado por   =  _   +  _ =  



[ ] sin 2 q 0,1,2, q q q s f x n A n n f . (2.100)

Os sinais discretos determinísticos podem ser classificados em dois grupos: sinais de acção limitada (ou finita), de acordo com a condição

 =−  



[ ] n x n ; (2.101)

ou sinais com energia finita, tal que  =−  



2 [ ] n x n . (2.102) Sinais Aleatórios

Os sinais aleatórios derivam de processos estocásticos, isto é, que variam aleatoriamente no tempo. As observações dos processos estocásticos dependem de variáveis estatísticas e que, devido à natureza dos processos, envolvem um determinado grau de erro ou de incerteza. Por estas razões, as suas variáveis dependem de funções de probabilidade, não sendo, portanto, exactamente previsíveis num dado intervalo de interesse. Neste contexto, entenda-se por processo estocástico uma família de variáveis aleatórias, indexadas por um dado parâmetro



pertencente a um determinado conjunto de índices . A cada resultado de cada experiência corresponde uma função aleatória x

( )

 . Uma variável aleatória x

( )

 em é uma função que transpõe cada um dos resultados



de uma experiência probabilística para uma variável real aleatória, x

( )

 , que se designa por realização da variável aleatória nessa experiência. Adicionalmente, a transposição do conjunto de respostas

 

 num dado intervalo é designado por evento em , ou x

( )

 , tal que x X . Em processos contínuos ou discretos no tempo, as variáveis x

( )

 ou x n[ ], transpõem cada um dos resultados das experiências probabilísticas para variáveis reais contínuas ou discretas, respectivamente [123].

Os modelos de probabilidade normalmente usados em sinais e processos estocásticos envolvem funções de probabilidade com distribuição cumulativa, ou funções de densidade de probabilidade. Para uma variável aleatória real x

( )

 , a função de distribuição cumulativa de probabilidade do evento que contém todas as respostas tal que, x

( )

 X , é definida por

2.5 Aquisição, Análise e Processamento de Sinais

( ) (

= 

)

x

F X P x X . (2.103)

Por sua vez, a função de densidade de probabilidade (PDF - Probability Density Function) dessa variável aleatória é dada por

( )

= x

( )

x

dF X f X

dX . (2.104)

Em vários casos é comum e suficiente usar parâmetros estatísticos relativos aos sinais aleatórios, designadamente a expectativa das suas realizações, definida pelo valor médio da variável aleatória, para sinais contínuos e discretos, respectivamente, tal que

( )

 

( )



( )

− = =  =

_

 _x  E x t x x X f X dX , (2.105) e

 

 − = =



 [ ] [ ] E x n x x n . (2.106)

Outros parâmetros normalmente considerados são a variância, 2_x, dada pela diferença entre a média quadrada E x

 

2 e o quadrado do valor médio, tal que

 

 =2 2 − 2

x E x x , (2.107)

e o desvio padrão, _x, determinado pela raiz quadrada da variância. O valor médio x

corresponde à componente contínua (DC) do sinal, o seu quadrado corresponde à potência do sinal em DC, a média quadrada E x

 

2 equivale à potência média do sinal, a variância 2_x traduz a potência da componente variante do sinal e o desvio padrão _x ao valor eficaz do sinal, também designado por valor quadrático médio (rms – root mean square).

Os modelos de probabilidade para sinais aleatórios recorrem frequentemente a PDF com a distribuição normal ou gaussiana, que dependem do valor médio e do desvio padrão. Além disso, é também comum recorrer às funções de co-variância e de co-variância cruzada, a partir das quais se pode obter a correlação ou a correlação cruzada (CC – Cross Correlation) de sinais, de modo a avaliar as suas analogias. Para dois sinais discretos x n[ ] e y n[ ] de dimensão N, a função de co-variância cruzada num intervalo de l amostras é dada por

Capítulo 2. Conceitos Fundamentais e Estado da Arte



 



− =  = − −  − −



1 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 N xy n l x n l x y n y N . (2.108)

A partir de (2.108) obtém-se a correlação cruzada para um desvio l, expressa por

 =   [ ] [ ] [0] [0] xy xy xx yy l r l , (2.109) em que 

( )

₀ = 2 xx xe 

( )

=  2 0

yy y são as variâncias de cada um dos sinais a desvio nulo [124].

Estacionariedade

Nos processos e nos sinais aleatórios ocorre com frequência que os respectivos dados estatísticos não se alteram, isto é, o seu comportamento é invariante no tempo apesar da aleatoriedade na origem. Tal confere-lhes um carácter de estacionariedade, razão pela qual os processos e os sinais aleatórios com estas características se designam por estacionários. No entanto, é expectável assumir que as PDF conjuntas associadas a cada uma das variáveis aleatórias envolvidas, obtidas por amostragem do processo com um número arbitrário de intervalos, dependam de valores específicos de tempo [125].

Um processo discreto é estacionário, de ordem

n

, se as distribuições conjuntas de um qualquer conjunto de

n

amostras são temporalmente independentes, isto é, invariantes ao deslocamento

m

, tal que



x[1], [2], , [ ]x x n

 

= x[1+m x], [2+m], , [x n m+ ] ,



m. (2.110) Para processos contínuos no tempo tem-se

( ) ( )

( )



x t₁ ,x t₂ , ,x t_n



=



x t

(

₁+ 

) (

,x t₂+ 

)

, ,x t

(

_n+ 

)

, . (2.111) Um processo estacionário de ordem

n

para qualquer valor inteiro n 0 designa-se estacionário em sentido estrito ou estritamente estacionário (SSS – Strict-Sense Stationary).

No entanto é comum considerar-se um tipo de estacionariedade menos restritiva, em concreto nos casos em que o valor médio é independente do tempo e a função de autocorrelação depende apenas das diferenças temporais. Os processos com estas características designam-se por estacionários em sentido lato (WSS – Wide-Sense Stationary).

2.5 Aquisição, Análise e Processamento de Sinais

No documento Caracterização e análise do ruído acústico em actuadores de relutância variável comutados (páginas 90-95)