An´ alise de res´ıduos para o modelo de Cox

Em qualquer an´alise de regress˜ao um aspecto fundamental ap´os o ajustamento de um modelo ´e efectuar uma an´alise de res´ıduos, de modo a avaliar a qualidade desse ajustamento. Os res´ıduos s˜ao quantidades calculadas para cada indiv´ıduo, sendo estes definidos, no caso da regress˜ao linear, como a diferen¸ca entre o valor observado da vari´avel resposta e o valor predito pelo modelo.

Dadas as caracter´ısticas especiais dos modelos de sobrevivˆencia, nomeadamente a existˆencia de observa¸c˜oes censuradas, a defini¸c˜ao de res´ıduo torna-se mais dif´ıcil, visto que se determinada observa¸c˜ao ´e censurada tamb´em o ´e o correspondente res´ıduo. Foram propostos diversos res´ıduos para o modelo de Cox no sentido de analisar diferentes aspectos do ajustamento do modelo. Neste trabalho foram uti- lizados os res´ıduos de Schoenfeld e os res´ıduos Martingala.

Res´ıduos de Cox-Snell

Estes res´ıduos foram os primeiros propostos para o modelo de Cox, a partir de uma defini¸c˜ao geral de res´ıduos de Cox e Snell (1968).

O res´ıduo para o i-´esimo indiv´ıduo, i = 1, ..., n, ´e definido ri = ˆH(ti) = exp( ˆβ0zi) ˆH0(ti)

em que ˆβ e ˆH0(ti) s˜ao as estimativas de m´axima verosimilhan¸ca parcial.

Se o modelo ajustado aos dados ´e adequado, os res´ıduos devem comportar-se como uma amostra aleat´oria proveniente de uma popula¸c˜ao com uma determinada distribui¸c˜ao conhecida, que ´e a distribui¸c˜ao exponencial de parˆametro 1. Estes res´ıduos s˜ao ´uteis para avaliar o ajustamento global do modelo.

Res´ıduos de Schoenfeld

Este tipo de res´ıduos foi proposto por Schoenfeld (1982) e s˜ao muito ´uteis na avalia¸c˜ao da hip´otese de riscos proporcionais, ap´os o ajustamento de um modelo de Cox aos dados.

A cada indiv´ıduo n˜ao corresponde apenas um res´ıduo mas um conjunto de valo- res, onde cada valor ´e referente a cada uma das vari´aveis explicativas inclu´ıdas no modelo de regress˜ao de Cox. Tamb´em apresenta a vantagem de n˜ao ser necess´ario obter uma estimativa da fun¸c˜ao de risco cumulativa.

O res´ıduo de Schoenfeld referente `a vari´avel explicativa zj, j = 1, ..., p, para o

i-´esimo indiv´ıduo em estudo, ´e dado por

rji = δi{zji− aji}

em que

δi =



1 se ti ´e uma observa¸c˜ao n˜ao censurada

0 se ti ´e uma observa¸c˜ao censurada

e aji = P l∈Rizjlexp( ˆβ 0 zl) P l∈Riexp( ˆβ 0 zl) , onde Ri ´e o conjunto dos indiv´ıduos em risco no instante ti.

Para um indiv´ıduo cujo tempo de vida foi censurado estes res´ıduos s˜ao sempre nulos. Por outro lado, o res´ıduo associado a um indiv´ıduo cuja morte foi observada em ti, pode ser interpretado como a diferen¸ca entre o valor da vari´avel explicativa

zj, correspondente a esse indiv´ıduo, e a m´edia ponderada dos valores dessa vari´avel

explicativa para todos os indiv´ıduos em risco em ti. O peso associado a cada um

desses indiv´ıduos ´e exp( ˆβ0zl).

Para que um modelo que tenha sido ajustado aos dados seja adequado, o res- pectivo gr´afico dos res´ıduos de Schoenfeld versus os tempos de vida dever´a ter o aspecto de uma nuvem aleat´oria de pontos, centrada em zero.

Res´ıduos martingala

Os res´ıduos martingala s˜ao geralmente utilizados para determinar a forma fun- cional de uma vari´avel explicativa, inclu´ıda no modelo de riscos proporcionais, de modo a que explique da melhor forma o seu efeito na sobrevivˆencia, bem como na detec¸c˜ao de indiv´ıduos mal ajustados pelo modelo, i.e., na detec¸c˜ao de outliers.

O res´ıduo martingala associado ao i-´esimo indiv´ıduo, i = 1, ..., n, quando todas as vari´aveis explicativas s˜ao fixas, no in´ıcio do estudo, ´e definido por

ˆ

Mi = δi− exp( ˆβ 0

zi) ˆH0(ti)

onde δi ´e a vari´avel indicatriz de censura e ri ´e o res´ıduo de Cox-Snell, ou seja, uma

estimativa de H(ti), podendo ser interpretada como o n´umero esperado de “mortes”

em (0, ti), dado estarmos a considerar apenas um indiv´ıduo.

Estes res´ıduos tomam valores no intervalo (−∞, 1) e no caso das observa¸c˜oes serem censuradas (δi = 0) estes res´ıduos s˜ao negativos. Para estes res´ıduos mostra-

se que Pn

i=1Mˆi = 0, e que para grandes amostras, s˜ao n˜ao correlacionados e tˆem

valor esperado igual a zero.

Os res´ıduos martingala podem ser interpretados como a diferen¸ca entre o n´umero observado e o n´umero esperado (estimado com base no modelo ajustado) de acon- tecimentos para o i-´esimo indiv´ıduo no intervalo (0, ti). Representa assim uma esti-

mativa do n´umero de mortes observadas na amostra, mas que n˜ao foram previstas pelo modelo.

A representa¸c˜ao gr´afica dos res´ıduos martingala versus o ´ındice de cada indiv´ıduo permite revelar a existˆencia de indiv´ıduos mal ajustados pelo modelo, ou seja, in- div´ıduos que morrem demasiado cedo ou muito tarde quando comparados com os indiv´ıduos com as mesmas caracter´ısticas.

A representa¸c˜ao gr´afica dos res´ıduos martingala resultantes do ajustamento do modelo nulo versus os valores de uma dada vari´avel explicativa indica se esta de- ver´a ser inclu´ıda no modelo tal como foi registada ou se ´e necess´ario proceder a uma modifica¸c˜ao da sua forma funcional (Therneau e Grambsch, 2000). Para uma melhor interpreta¸c˜ao do gr´afico obtido, Cleveland (1979) aconselhou que tamb´em fosse representada uma curva de suaviza¸c˜ao como, por exemplo, a curva obtida pelo LOWESS. Se a curva for linear n˜ao ´e necess´ario transformar a vari´avel explicativa em causa, no entanto se a curva n˜ao for linear deve-se proceder `a sua transforma¸c˜ao.