A utiliza¸c˜ao da DTR como ferramenta de an´alise de s´eries temporais n˜ao ´e um procedimento usual. Nossa principal motiva¸c˜ao, descrita sucintamente no item1.2.1, foram as aplica¸c˜oes feitas anteriormente em nosso grupo (veja artigos de M.S. Baptista). No item 7.2.1 listamos nossas
reinterpreta¸c˜oes de alguns desses resultados, no item 7.2.2resumimos as conclus˜oes da an´alise da s´erie temporal de contaminante e no item7.2.3passemos a discutir o significado da DTR em s´eries temporais do plasma.
7.2.1 Vis˜ao inicial sobre o problema do TR
Listamos a seguir os pontos que, de forma direta ou indireta, apareciam nas aplica¸c˜oes anteriores de DTR, seguidos de nossa nova interpreta¸c˜ao:
• A distribui¸c˜ao de tempo de retorno do tipo Poisson surge em sistemas aleat´orios e ca´oticos n˜ao sendo, portanto, capaz de distingu´ı-los.
• O c´alculo das rela¸c˜oes envolvendo o tempo m´edio de retorno, que descrevemos nos itens2.2.2 e5.2.3, dependem exclusivamente da forma da fun¸c˜ao densidade de probabilidade (FDP). Em particular destacamos que o coeficiente σ da lei de escala de hT i com δ−σ ser´a sempre σ = 1 nos casos em que a FDP ´e continua. N˜ao pode, portanto, revelar in- forma¸c˜oes sobre a quantidade de mistura presente no sistema, como conjecturado em [Baptista et al., 2001a]. A rela¸c˜ao σ = D1 ´e v´alida (veja figura3.25) no caso de estarmos calculando o TR no espa¸co de fases. Fica ressaltada assim a importante distin¸c˜ao entre o tempo de recorrˆencia de Poincar´e (no espa¸co de fases) e o tempo de retorno em s´eries temporais.
• N˜ao encontramos uma associa¸c˜ao entre a distribui¸c˜ao de tempo de retorno P (Tn) de uma s´erie-yn com a distribui¸c˜ao das flutua¸c˜oes ρ(Rn), onde Rn´e definido como Rn= yn+1σ−yn, sendo σ o desvio padr˜ao da s´erie. Do nosso ponto de vista a distribui¸c˜ao ρ(Rn) est´a rela- cionada `a fun¸c˜ao densidade de probabilidade. O c´alculo da distribui¸c˜ao ρ(Rn) nos casos do mapa log´ıstico e da s´erie de contaminante com K = 10, apesar de n˜ao terem sido apre- sentadas nesta disserta¸c˜ao, certamente n˜ao ser˜ao distribui¸c˜oes de Poisson ou Gaussianas j´a que a distribui¸c˜ao de pontos segue as distribui¸c˜oesA.5e A.2, respectivamente. Apesar disso suas distribui¸c˜oes de tempo de retorno s˜ao exponencial, no primeiro caso, e com cauda de lei de potˆencia no segundo. ´E claro que um processo formado a partir de uma soma de processos aleat´orios independentes tende a ter uma FDP Gaussiana e uma DTR do tipo Poisson. No entanto podemos imaginar processos, inclusive de sistemas erg´odigos, que possuam uma distribui¸c˜ao das flutua¸c˜oes ρ(Rn) perfeitamente Poisson ou Gaussiana e apresentam distribui¸c˜oes de tempo de retorno das mais variadas formas.
7.2.2 Resultados para a s´erie de contaminante
O problema proposto originalmente, da mistura de um contaminante escalar passivo sob a a¸c˜ao do mapa padr˜ao com fase aleat´oria, foi estudado sob essa perspectiva no cap´ıtulo 5. De forma geral constatamos que as recorrˆencias de s´eries temporais obtidas neste sistema se assemelham `as recorrˆencias de uma trajet´oria do mapa padr˜ao. Destacamos em particular que a distribui¸c˜ao de tempo de retorno das s´eries temporais apresenta:
• regimes de lei de potˆencia (multi-escala) associados aos aprisionamentos da trajet´oria nas estruturas (multi-fractais) do mapa padr˜ao;
• uma dependˆencia esperada para sistemas Hamiltonianos com os parˆametros de controle n˜ao linear K e aleat´orio R do modelo (Eq.4.9) conforme ilustrado nas figuras5.16 e 5.17; • o surgimento de um fenˆomeno novo de m´ultiplas caudas, resultado da proje¸c˜ao do espa¸co
A conex˜ao da DTR com o transporte no sistema foi discutida em detalhes na se¸c˜ao 4.3 a partir de uma an´alise detalhada da literatura. Constatamos, no entanto, que esta conex˜ao apresenta limita¸c˜oes significativas que, alteraram nossa vis˜ao inicial do problema e deixam claro que s˜ao de dif´ıcil aplica¸c˜ao aos casos em que estamos interessados.
7.2.3 Resultados obtidos para s´eries do plasma
Quando nos propomos a aplicar estes m´etodos `a s´eries temporais experimentais, levando em conta as ressalvas discutidas na se¸c˜ao 7.2.1, temos em mente os resultados que obtivemos anteriormente para sistemas ca´oticos e aleat´orios. Desse ponto de vista podemos associar regimes exponenciais (Eq. (3.7)) de decaimento da DTR com processos ca´oticos ou estoc´asticos, enquanto que regimes de lei de potˆencia (Eq. (3.20)) estariam associados `a intermitˆencias. J´a o decaimento como uma exponencial esticada (Eq. (5.11)), tendˆencia intermedi´aria entre as outras duas, foi relacionado com correla¸c˜oes de longo alcance (veja item5.3.1).
Os resultados analisados para s´eries do TextUp e TCABR mostram distribui¸c˜oes de tempo de retorno (DTR) distintas da distribui¸c˜ao do tipo Poisson, diferentemente do obtido em [Baptista et al., 2001a]. Ao contr´ario do caso da s´erie temporal de contaminante, quando foi poss´ıvel fazer uma associa¸c˜ao forte com a dinˆamica no espa¸co de fases, a interpreta¸c˜ao natural da DTR no caso das s´eries experimentais n˜ao passou pelos resultados dos sistemas ca´oticos. Esta foi obtida a partir da compara¸c˜ao com a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao. Ao contr´ario do modelo desenvolvido no cap´ıtulo 5, caudas de lei de potˆencia n˜ao foram observadas em nenhuma das s´eries experimentais analisadas. Este fato ´e explicado pela dinˆamica turbulenta na borda do plasma e pelo fato da s´erie temporal n˜ao ser originada de um sistema de baixa dimens˜ao que fizeram com que o aprisionamento das trajet´orias na borda das ilhas n˜ao pudesse ser observado atrav´es desse tipo de an´alise.
Nossa interpreta¸c˜ao dos resultados obtidos ´e que a presen¸ca de autocorrela¸c˜ao e de freq¨uˆencias t´ıpicas determinam a forma da DTR quando analisamos s´eries temporais como as obtidas no plasma. No caso geral notamos ainda uma dependˆencia da DTR com a posi¸c˜ao do intervalo de retorno sugerindo que diferentes valores da s´erie apresentam diferentes correla¸c˜oes. Nesse sentido a distribui¸c˜ao de tempo de retorno passa a ser um instrumento a mais para detec¸c˜ao dessas correla¸c˜oes que, no entanto, parece demandar um maior n´umero de pontos da s´erie experimental, e ser menos direto do que os utilizados na literatura [Kantelhardt et al., 2002,
Arneodo et al., 1997].
Os modelos adequados para a investiga¸c˜ao da dinˆamica da borda do Tokamak s˜ao aqueles ligados `a turbulˆencia. Destacamos que no apˆendice C, atrav´es da utiliza¸c˜ao de um modelo de cascata log-normal, conseguimos interpretar de forma coerente a fun¸c˜ao densidade de probabi- lidade das s´eries utilizadas.