Efeito de δ pequeno

A partir do coeficiente β calculado acima (Eq.3.7) torna-se claro que mesmo uma distribui¸c˜ao que apresentar um decaimento do tipo exponencial durante quase todo o intervalo de retorno pode estar bastante longe de uma distribui¸c˜ao do tipo Poisson (β 6= µ(I)). Passamos agora a verificar a dependˆencia do expoente β da exponencial (3.7), ajustada numericamente `a DTR do mapa log´ıstico, com a largura δ do intervalo de retorno. Sabemos que, no caso da estat´ıstica ser do tipo Poisson, este expoente ´e dado simplesmente por µ(I) enquanto que o caso Binomial, que generaliza o Poisson, ´e dado por ln(1 − µ(I)). A dependˆencia de µ com δ ´e obtida a partir da integra¸c˜ao da densidade invariante (Eq. (3.2))

µ(Xc, δ) = Z Xc+δ Xc−δ 1 πp_{(x(1 − x))}dx = 1 π(arcsin(2(Xc+ δ) − 1) − arcsin(2(Xc− δ) − 1)) . (3.10)

Utilizaremos a compara¸c˜ao de β com µ(I) como quantificador da mem´oria de curto alcance. Na figura 3.5 utilizamos esta rela¸c˜ao para verificar a validade do lema de Kac para o caso do mapa log´ıstico f1(x) na regi˜ao da Fig. 3.3_{. Assim, nessa figura vemos que hT i}−1 calculado numericamente ´e igual ao valor de µ(I) obtido analiticamente na Eq. (3.10).

0 0.05 0.1 0.15 0.2 δ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1/<T>

Figura 3.5: O inverso do tempo de retorno m´edio para o mapa log´ıstico Eq. (3.1), como fun¸c˜ao de δ. A linha cheia ´e µ(Xc, δ) obtido da substitui¸c˜ao de Xc= 0, 8 na Eq. (3.10). O s´ımbolo • indica o valor correspondente de hT i−1 _{para cada valor de δ.}

Afim de explorar o limite de validade dos efeitos de mem´oria mostramos na figura 3.6 que a diferen¸ca entre um ajuste num´erico e os resultados das distribui¸c˜oes “esperadas”, apesar de significativamente maiores para δ grande, permanecem mesmo para valores pequenos de δ. No que se refere `as distribui¸c˜oes binomial e Poisson, confirmamos a concordˆancia para o limite de intervalo do tempo de retorno pequeno e verificamos a generalidade da primeira para o caso do tempo de retorno de um sistema com mem´oria desprez´ıvel mesmo para δ grande. Podemos ver ainda o bom acordo entre o c´alculo anal´ıtico de β (s´ımbolos ✸), obtido a partir da combina¸c˜ao das Eqs. (3.8),(3.9) e (3.7), com o resultado num´erico. Os plateaus da Fig.3.6est˜ao relacionados com a presen¸ca de pontos peri´odicos de per´ıodos pequenos dentro do intervalo I. Por exemplo, o plateau entre δ = 0, 1 e δ = 0, 15 aparece devido ao ponto peri´odico analisado na figura3.4.

A partir da Figura3.6_{vemos que no limite δ → 0 o coeficiente da exponencial obtida β → 0.} Para verificarmos se h´a uma convergˆencia para a distribui¸c˜ao de Poisson calculamos na figura3.7 a distˆancia relativa entre o coeficiente obtido (β) e o da distribui¸c˜ao Poisson (µ = 1/hT i), ou seja, β − 1/hT i = βhT i − 1. Dessa vez escolhemos um intervalo de retorno aleatoriamente Xc= 0.582. Notamos que os resultados num´ericos parecem convergir, dentro das incertezas de ajuste, a partir do limite num´erico de δ < 10−4_{. Este resultado indica que no limite de Poincar´e (δ → 0)} a exponencial obtida para TR grandes aproxima-se da DTR de Poisson. No entanto, o valor de δ para o qual isto ocorre est´a al´em da convergˆencia da distribui¸c˜ao binomial em Poisson, indicando assim que o efeito de mem´oria de curto alcance persiste para intervalos pequenos, mas finitos.

De forma complementar `a figura 3.7 investigamos na figura 3.8 a dependˆencia da mem´oria de curto alcance com a posi¸c˜ao do intervalo de retorno (Xc). Nesta figura mostramos a reta ajustada ao regime exponencial da DTR dos mil intervalos de retorno de medida µ = 0, 001 comparada com o resultado binomial. Vemos assim que os efeitos de mem´oria de curto alcance ocorrem para todos os intervalos de retorno, havendo tipicamente uma maior probabilidade de obtermos expoentes maiores que o resultado binomial. Os pontos que sobressaem com um desvio negativo do expoente β podem ser associados `a posi¸c˜ao das ´orbitas peri´odicas de per´ıodo mais

0 0.05 0.1 0.15 0.2 δ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 β 0.020.015 0.025 0.035 0.045 0.04 0.06 0.08

Figura 3.6: _{Os s´ımbolos • representam o coeficiente, β, ajustado para a parte linear (em um gr´afico linear-} log) da distribui¸c˜ao de tempo de retorno como fun¸c˜ao de δ (Xc = 0, 8) para o mapa log´ıstico, f (x). Os s´ımbolos representam o mesmo coeficiente, para o mapa f10

(x), e os s´ımbolos ✸ os coeficientes, β, obtido para Pexp(T ) levando em conta n∗ = 10. As linhas cont´ınua e tracejada s˜ao os coeficientes esperados para a distribui¸c˜ao do tipo binomial e Poisson, respectivamente. No detalhe uma amplia¸c˜ao do gr´afico maior. As incertezas s˜ao menores que os tamanhos dos pontos em todos os casos.

baixo. Por exemplo, os pontos associados `as ´orbitas de per´ıodo 1 do mapa log´ıstico (pr´oximos a x = 0 e x = 0, 75) apresentam um grande desvio negativo em rela¸c˜ao `a binomial (inclusive fora da escala).

Quando diminu´ımos muito o valor de δ temos, como tendˆencia, uma diminui¸c˜ao do n´umero de pontos fixos de per´ıodo baixo dentro da regi˜ao I. ´E poss´ıvel imaginar, olhando a figura 3.3, que ´e a presen¸ca de ´orbitas peri´odicas de per´ıodo baixo que provoca o desvio em rela¸c˜ao `a distribui¸c˜ao de Poisson e que, portanto, este desvio se anularia no limite δ → 0. Entretanto a situa¸c˜ao n˜ao ´e t˜ao simples. Na figura3.9apresentamos a distribui¸c˜ao de tempo de retorno para a regi˜ao I2, onde a ´orbita peri´odica de per´ıodo 7 ´e a de per´ıodo mais baixo (lembre-se que temos 27 _{= 128 ´orbitas peri´odicas de per´ıodo p ≤ 7 no intervalo [0, 1]). Quando diminu´ımos o valor} de δ algo similar ´e esperado, pois os tempos de retorno curtos n˜ao ir˜ao ocorrer j´a que n˜ao haver´a ´

orbitas peri´odicas de per´ıodo baixo dentro do intervalo I. Notamos, no entanto, que ainda para este caso o desvio em rela¸c˜ao `a distribui¸c˜ao de Poisson ´e evidente na figura 3.9. Este resultado n˜ao ´e surpreendente se pensarmos em termos do ajuste anal´ıtico realizado no item anterior: a ausˆencia de retornos de per´ıodo baixo faz com que esta probabilidade de retornos tenha que se distribuir para retornos maiores, de maneira a satisfazer o lema de Kac e a normaliza¸c˜ao. Notamos portanto que tanto a presen¸ca como a ausˆencia de ´orbitas peri´odicas de per´ıodo baixo no intervalo I do mapa log´ıstico provocam efeitos de mem´oria de curto alcance.