Mapa padr˜ ao com fase aleat´ oria

A dedu¸c˜ao do mapa padr˜ao com fase aleat´oria (Eq. (4.9)) foi feita considerando o modelo proposto originalmente em [V´arosi et al., 1991] para a hidrodinˆamica com a pretens˜ao de uti- liz´a-lo na descri¸c˜ao do comportamento do plasma confinado magn´eticamente em Tokamaks1_.

Pretendemos justificar aqui esse procedimento bem como analisar as limita¸c˜oes do modelo. S˜ao grandes as semelhan¸cas da turbulˆencia em modelos hidrodinˆamicos, estudo baseado na equa¸c˜ao de Navier-Stokes, e na turbulˆencia do plasma, baseado na teoria MHD (magneto- hidrodinˆamica). Nas referˆencias [Biskamp et al., 1994,Biskamp et al., 1990] modelos mais ela- borados para a turbulˆencia no plasma s˜ao propostos baseados em modelos para a turbulˆencia na hidrodinˆamica, sendo que os resultados apontam para diversas semelhan¸cas entre os dois casos. Outra forma de abordagem para o nosso modelo ´e o fato das linhas de campo magn´etico na borda do plasma serem freq¨uentemente descritas por mapeamentos Hamiltoneanos ca´oticos. As referˆencias [Balescu et al.,,Horton et al., 1998,Martin e Taylor, 1984] nos fornecem um emba- samento para avaliar os dom´ınios e limites de validade do mapa padr˜ao como modelo para o plasma confinado em Tokamaks.

A associa¸c˜ao do mapa `as coordenadas do Tokamak se d´a a partir de um se¸c˜ao de Poin- car´e (plano preto na figura 6.1A) do torus, conforme ilustrado na figura 6.1. A vari´avel x do mapa (Eq. (4.9)) est´a associada ao ˆangulo (poloidal) e a vari´avel y est´a associada `a a¸c˜ao (raio). Uma vez realizada a se¸c˜ao transversal do toroide associamos o mapa `a dinˆamica das linhas de campo magn´etico que perfuram esta superf´ıcie. Ou seja, uma linha de campo que atravessa a se¸c˜ao de Poincar´e em determinado sentido equivale a um ponto de nosso mapa. Dessa forma a dinˆamica dos pontos reflete as propriedades da dinˆamica das linhas de campo

1_{Na se¸c˜ao1.1.3discutimos brevemente as motiva¸c˜oes da utiliza¸c˜ao deste tipo de m´aquina.}

Figura 6.1: [A] Se¸c˜ao de Poincar´e de um toroide e [B] defini¸c˜ao das coordenadas do sistema.

magn´etico. Conv´em ressaltar que estamos interessados na dinˆamica na borda do Tokamak pois esta regi˜ao, al´em de permitir uma investiga¸c˜ao experimental direta, possui um papel importante no confinamento [Wootton et al., 1990].

Na situa¸c˜ao de equil´ıbrio somente as bobinas externas do Tokamak s˜ao consideradas o que faz com que a Hamiltoneana associada `as linhas de campo magn´etico do sistema seja integr´avel e as linhas toroidais se encontrem em superf´ıcies magn´eticas fechadas. Pequenas perturba¸c˜oes desta configura¸c˜ao tornam o sistema quase-integr´avel, onde, a exemplo do mapa padr˜ao, podemos aplicar m´etodos perturbativos da teoria KAM. As perturba¸c˜oes podem ser de natureza interna ao plasma (corrente de plasma) ou externas a partir da introdu¸c˜ao de dispositivos que objetivem o aumento do confinamento (limitador erg´odigo, h´elices ressonantes) [Caldas et al., 2002].

O artigo [Martin e Taylor, 1984] ´e um bom exemplo da deriva¸c˜ao de um mapeamento para descrever as linhas de campo magn´etico no Tokamak. Particularmente ele trata do caso onde ´e introduzido um limitador erg´odigo, isto ´e, segmentos de corrente toroidal em torno do Tokamak que podem entrar em ressonˆancia com o campo de equil´ıbrio e, a medida que aumentamos esta corrente, provoca sucessivamente na borda do plasma: (i) rompimentos nas superf´ıcies fechadas do fluxo, (ii) ilhas entre as superf´ıcies do fluxo e (iii) regi˜oes ca´oticas. Apesar desta regi˜ao ca´otica provocar um aumento no coeficiente de difus˜ao ela auxilia o confinamento pois evita que impurezas (part´ıculas massivas) provenientes da parede do Tokamak penetrem at´e o centro da coluna de plasma e absorvam energia de sua regi˜ao mais quente.

A partir de express˜oes simplificadas dos campos magn´eticos e combinando o efeito do limita- dor erg´odigo com o do fluxo chega-se a seguinte express˜ao para x (ˆangulo poloidal normalizado) e y (distˆancia da borda) das linhas do campo magn´etico

xn+1= xn− pe−yncos(xn) + syn+1

yn+1= yn+ log[cos(xn− pe−yncos(xn))] − log(cos(xn)) , (6.1) onde p e q s˜ao parˆametros de controle associados, respectivamente, `a intensidade da corrente no limitador e `a intensidade do cisalhamento (shear) (gradiente radial da transformada rotacional das superf´ıcies de equil´ıbrio). Considerando fraco o campo devido ao limitador em compara¸c˜ao com o campo de equil´ıbrio, obtemos o mapa padr˜ao (equa¸c˜ao4.4), base de nosso modelo, como aproxima¸c˜ao do mapa (6.1).2

2_{O mapa padr˜ao ´e tamb´em obtido como aproxima¸c˜ao local para a dinˆamica de um sistema Hamiltoneano n˜ao}

Outro artigo que prop˜oe a utiliza¸c˜ao de um mapeamento para representar a dinˆamica das linhas de campo magn´etico no Tokamak ´e [Balescu et al.,], que aponta algumas limita¸c˜oes do mapa padr˜ao e defende assim a utiliza¸c˜ao de seu TOKAMAP. Os argumentos favor´aveis `a utiliza¸c˜ao de um tal sistema dinˆamico s˜ao essencialmente os mesmos: facilidade num´erica e des- cri¸c˜ao das propriedades presentes no Tokamak de um caos incompleto.3 Os pontos considerados n˜ao atendidos pelo mapa padr˜ao s˜ao:

• Fator de seguran¸ca (q): Em nosso sistema dinˆamico Hamiltoneano consideramos o fator de seguran¸ca como sendo o inverso da freq¨uˆencia angular, que mede por sua vez a varia¸c˜ao de H com a a¸c˜ao (I, ou nesse caso r): w(r) = _q(r)1 = ∂H0

∂r . No caso do Tokamak o fator de seguran¸ca ´e, na maioria dos casos, uma fun¸c˜ao monotˆonicamente crescente4 _de

r. J´a no mapa padr˜ao q(r) = 1_r ´e inversamente proporcional, ou seja, decrescente.

• Valor negativo de r: No mapa padr˜ao part´ıculas com condi¸c˜oes iniciais para r ≥ 0 podem adentrar a regi˜ao negativa de r (y no mapa (4.9)), que n˜ao tem significado f´ısico como ilustra a figura 6.1. N˜ao h´a portanto um eixo polar ´unico no mapa padr˜ao.

Em geral podemos dizer que estamos interessados nas propriedades estat´ısticas e qualitativas fornecidas pelo mapa padr˜ao e pelas suas estruturas, e n˜ao por uma descri¸c˜ao precisa das linhas de campo. Sua descri¸c˜ao ´e mais apropriada para uma faixa radial limitada, como por exemplo, a borda do plasma, que possui especial interesse em nosso caso uma vez que queremos observar o transporte de part´ıculas nesta regi˜ao. Nesse sentido o mapa padr˜ao serve perfeitamente e ajuda-nos com sua simplicidade e f´acil manipula¸c˜ao num´erica. Devemos ressaltar ainda os trabalhos realizados em nosso grupo do IFUSP em cima de mapeamentos para as linhas de campo magn´etico do Tokamak com limitador erg´odigo [Caldas et al., 2002]. Em particular, outros mapas mais realista para a descri¸c˜ao do plasma s˜ao os mapas simpl´eticos desenvolvidos em [Ullmann e Caldas, 2000,da Silva et al., 2001].

Em nosso modelo, introduzimos ainda uma fase aleat´_{oria (quando R 6= 0) `a dinˆamica do} mapa padr˜ao. Este fenˆomeno pode ser interpretado n˜ao apenas como um ru´ıdo inerente ao sistema, mas tamb´em como parte do modelo que incorporaria efeitos de graus de liberdade n˜ao considerados. Podemos ent˜ao observar a dependˆencia dos resultados como fun¸c˜ao de dois parˆametros: o aleat´orio (R) e o n˜ao linear K.

Cabe ressaltar ainda que se estamos interessados no movimento dos ´ıons do plasma ´e somente em primeira aproxima¸c˜ao que as part´ıculas seguem as linhas de campo magn´etico. Efeitos de in´ercia e intera¸c˜ao das part´ıculas entre si ou com impurezas ocorrem usualmente no plasma. Nesse sentido notamos que a utiliza¸c˜ao de um contaminante passivo consiste tamb´em em uma aproxima¸c˜ao grosseira para a dinˆamica no Tokamak.