3.3 Sistemas intermitentes
4.1.1 Origens e motiva¸c˜oes
O conjunto de sistemas Hamiltonianos divide-se entre os casos integr´aveis e n˜ao integr´aveis. No primeiro caso, um sistema de dimens˜ao n possui n constantes de movimento. Dessa forma ´e poss´ıvel, ainda que muitas vezes seja uma tarefa dif´ıcil, encontrar coordenadas canˆonicas (I, θ) que possuem uma dependˆencia temporal trivial, apresentado a seguir no caso bi-dimensional
I = I0,
θ = θ0+ dHdIo(I)t,
(4.1) onde H0 ´e a Hamiltoniana do sistema integr´avel.
J´a nos sistemas n˜ao integr´aveis (que s˜ao necessariamente n˜ao lineares), essas constantes de movimento n˜ao existem e o movimento pode ser ca´otico em regi˜oes do espa¸co de fases. A obten¸c˜ao expl´ıcita da dependˆencia temporal das vari´aveis ´e imposs´ıvel de ser obtida e outros m´etodos de an´alise s˜ao necess´arios. Uma abordagem para esses sistemas ´e estudar o caso dos sistemas quase-integr´aveis, ou seja, quando `a Hamiltoneana H0 aplica-se uma perturba¸c˜ao ǫH1. Nesse caso, escrevemos a Hamiltoneana de um sistema quase-integr´avel gen´erico da forma
H(~I, ~θ, t) = H0(~I) + ǫH1(~I, ~θ, t). (4.2) 61
Para os sistemas descritos pela equa¸c˜ao (4.2), uma s´erie de m´etodos perturbativos de an´alise est˜ao dispon´ıveis assim como a aplica¸c˜ao da Teoria KAM.1
O mapa padr˜ao
No caso de sistemas dinˆamicos com tempo discreto2o sistema bi-dimensional integr´avel mais simples, onde a Hamiltoneana ´e proporcional ao quadrado da a¸c˜ao (caso t´ıpico relacionado `a energia cin´etica) fornecendo-nos dHo
dI = I, que aplicado em (4.1) resulta em In+1= In,
θn+1= θn+ In+1. (4.3)
Se perturbarmos a a¸c˜ao I acima com uma fun¸c˜ao senoidal do ˆangulo θ e de intensidade K, obtemos o mapa padr˜ao, deduzido pela primeira vez em [Chirikov, 1979], e que ´e um dos paradigmas de sistemas quase-integr´aveis [Lichtenberg e Lieberman, 1983,Zaslavsky, 1991]
In+1= In− Ksen(θn)
θn+1= θn+ In+1. (4.4)
A facilidade de manuseio num´erico de mapas, inclusive para tempos bastante longos, ´e uma de nossas principais motiva¸c˜oes para sua utiliza¸c˜ao. Al´em disso, como tamb´em ser´a visto na se¸c˜ao 6.1, muitas das propriedades e estruturas presentes nos sistemas Hamiltoneanos quase- integr´aveis mais complexos podem ser aqui obtidas. Esse mapa ´e obtido tamb´em como solu¸c˜ao de uma s´erie de sistemas da mecˆanica cl´assica e Quˆantica sendo o mais famoso deles o rotor sujeito a uma for¸ca impulsiva, que descrevemos a seguir [Zaslavsky, 1991].
O rotor impulsionado
Suponha que sobre uma mesa horizontal uma massa m esteja amarrada a um fio de com- primento l e sofra uma for¸ca impulsiva na dire¸c˜ao horizontal (~i) de m´odulo constante (K) a intervalos de tempo (τ ) constantes. Podemos escrever a for¸ca resultante como sendo
~ F = K ∞ X j=−∞ δ(t − jτ)~i
A sua energia potencial ´e obtida a partir da integra¸c˜ao da express˜ao acima
U (~r) = − Z ~ F (~r)d~r = K ∞ X j=−∞ δ(t − jτ) Z sen(θ)ldθ = −Klcos(θ) ∞ X j=−∞ δ(t − jτ)
Dessa forma podemos escrever a Hamiltoneana do sistema (que devido `a for¸ca externa n˜ao ´e uma constante do movimento)
H = p 2 θ 2ml2 − Klcos(θ) ∞ X j=−∞ δ(t − jτ), (4.5)
1O nome KAM refere-se aos matem´aticos russos Kolmogorov, Arnold e ao su´ı¸co Moser que nos meados do s´eculo
XX demonstraram o famoso Teorema KAM que assegura a existˆencia de um ǫ suficientemente pequeno para o qual o sistema permanece quase todo inalterado (integr´avel) [Lichtenberg e Lieberman, 1983,Walker e Ford, 1969].
2Esses sistemas, tamb´em denominados como mapas, difeomorfismos ou equa¸c˜oes a diferen¸cas, podem ser
e as equa¸c˜oes de Hamilton como ˙p = −∂H∂θ = −Ksen(θ) P∞ j=−∞δ(t − jτ), ˙θ = ∂H ∂p = pθ ml2. (4.6) Afim de discretizar o sistema vamos analisar o que ocorre com o momento e o ˆangulo na equa¸c˜ao acima no intervalo entre os impulsos e no intervalo em que a for¸ca impulsiva ocorre. Devido ao sucesso dessas integra¸c˜oes esse sistema ´e considerado quase-integr´avel.
No intervalo entre impulsos, vemos que o momento (p) imediatamente depois do impulsos j ´e igual ao momento p imediatamente anterior ao impulso j + 1: p∗j+1= pj. J´a no caso do ˆangulo notamos que θ∗
j+1= θj+mlτ2pj.
Por outro lado integrando a equa¸c˜ao (4.6) no intervalo que envolve o impulso, e lembrando que R−ǫ+ǫδ(x)dx = 1 obtemos que θj = θ∗j e pj = p∗j − Ksen(θ∗j). Combinando os resultados advindos dessas duas an´alises podemos escrever a dependˆencia do momento angular e do ˆangulo, por exemplo no instante imediatamente posterior ao impulso, como sendo
p∗j+1= p∗j − Ksen(θj∗) θ∗j+1= θj∗+ mlτ2p∗j+1
(4.7) Comparando os sistemas (4.4) e (4.7) vemos que, tomando mlτ2 = 1 no segundo, ele reduz-se
ao primeiro. Cabe ressaltar que se tomarmos os valores (p, θ) antes da for¸ca impulsiva o mapa obtido ter´a uma express˜ao distinta mas ser´a completamente equivalente, fato este que faz com que diferentes mapas padr˜oes apare¸cam na literatura.
Introdu¸c˜ao da fase aleat´oria
Procurando avaliar o papel da aleatoriedade em nossa dinˆamica introduzimos ainda uma altera¸c˜ao ao mapa (4.4), conforme [V´arosi et al., 1991]. Este artigo trata de modelos hidro- dinˆamicos e o seguinte campo de velocidades ´e proposto com a inten¸c˜ao de deduzir o mapa padr˜ao modificado
~v(x, y, t) = v1yˆx + v2sen[φ(t) + x]δT(t)ˆy , (4.8) onde δT(t) = TPn=∞n=0 δ(t−nT ) ´e uma fun¸c˜ao impulsiva peri´odica e a fun¸c˜ao φ(t) n˜ao ´e peri´odica, fazendo com que o mapa resultante dependa da itera¸c˜ao n. Uma integra¸c˜ao an´aloga ao pro- cedimento que nos levou ao mapa (4.7) leva-nos ao mapa padr˜ao que, no entanto, apresentar´a uma dependˆencia temporal na fase da perturba¸c˜ao senoidal devido `a fun¸c˜ao φ(t). Supondo que essa fun¸c˜ao tenha uma dependˆencia complexa no tempo e que os valores de φ(nT ) n˜ao estejam correlacionados, podemos tom´a-la como uma dependˆencia aleat´oria.
A exemplo do que foi feito em [Palladino, 1998], estamos interessados em poder variar con- tinuamente a influˆencia dessa vari´avel aleat´oria em nosso sistema. Escrevemos explicitamente essa fase no mapa padr˜ao da equa¸c˜ao (4.4) e obtemos assim o modelo para a dinˆamica a ser utilizada em nossos estudos num´ericos:
yn+1= yn− Ksen(2πxn+ Rδn)
xn+1= xn+ yn+1 mod(1). (4.9)
A fase foi escrita como φn = Rδn, onde δn ´e um n´umero aleat´orio entre [0, 2π] e R ∈ [0, 1] ´e o parˆametro de controle da aleatoriedade que, a exemplo do parˆametro de controle n˜ao linear (K), ser´a variado em nossos estudos. A partir da inclus˜ao dessa fase aleat´oria pretendemos simular a influˆencia de outros graus de liberdade em nosso sistema. Note que n˜ao se trata de um ru´ıdo, j´a que quando R → 1 sua influˆencia ´e determinante, mas de uma componente de nosso modelo. Por
conveniˆencia podemos considerar o mapa (4.9) como sendo o mesmo que o mapa (4.4) dividido por 2π, tendo como altera¸c˜ao ap´os a redefini¸c˜ao das vari´aveis, a periodicidade dos eixos e o valor do parˆametro K = K/2π.