Ilhas fractais

Estudaremos inicialmente o caso de aprisionamento devido a uma estrutura de ilhas dentro de ilhas (“Hierarchical Island Trap”), caso ilustrado no item3.3.3. Os resultados do item3.3.3nos mostraram que o aprisionamento de trajet´orias em ilhas do espa¸co de fases ´e bem caracterizado pela distribui¸c˜ao de tempo de retorno. J´a nos itens4.2.3e4.2.4vimos que o transporte anˆomalo no mapa padr˜ao ´e conseq¨uˆencia direta e exclusiva do aprisionamento das trajet´orias em ilhas bal´ısticas, os modos aceleradores. O transporte anˆomalo (super-difusivo) ocorre somente nos casos em que ilhas bal´ısticas existem no espa¸co de fases do sistema estudado, ou seja, no caso do mapa padr˜ao isto ocorre somente para valores bem determinados de K. S˜ao esses os casos que tratamos a seguir. A obten¸c˜ao de uma rela¸c˜ao quantitativa entre ν e γ sup˜oe ainda outras simplifica¸c˜oes:

• Consideramos o caso em que somente uma estrutura de aprisionamento est´a ativa no espa¸co de fases. Como vimos no item3.3.3rela¸c˜ao entre o expoente de aprisionamento γapri e de retorno γ ´e obtido como γ = γapri+ 1, express˜ao (3.29). Apesar do tempo de retorno ser medido localmente, a distribui¸c˜ao de tempo de retorno de Poincar´e fornece uma informa¸c˜ao global do espa¸co de fases do sistema (gra¸cas a ergodicidade do mar estoc´astico) e refletir´a a distribui¸c˜ao de aprisionamento de uma determinada ilha somente no caso em que ela for a ´unica estrutura aprisionadora ativa.

• Uma ´unica estrutura aprisionadora pode provocar o surgimento de um fenˆomeno de multi- escala no sistema, isto ´e, diferentes regimes de lei de potˆencia nos tempos de aprisionamento e retorno. Isto deve-se `a multi-fractalidade da ilha, isto ´e, a medida que observamos a ilha em escalas sucessivamente menores n˜ao obtemos uma configura¸c˜ao auto similar (caso fractal) mas notamos uma dependˆencia das propriedades das ilhas com a escala de observa¸c˜ao. No contexto da figura 3.26 a fractalidade seria obtida se cada cadeia interna da ilha preservasse as mesmas propriedades da cadeia mais externa. Ou seja, a estrutura topol´ogica se repetiria a cada nova escala. Neste caso o aprisionamento se dar´a de forma uniforme em cada uma das cadeias e uma ´unica cauda de lei de potˆencia ser´a observada. Nos casos em que essa simetria n˜ao ocorre, trajet´orias que penetram at´e as menores escalas das estruturas, e portanto s˜ao aprisionadas por mais tempo, podem sofrer um aprisionamento distinto daquelas que s˜ao aprisionadas por menos tempo, provocando mais de um regime lei de potˆencia. Atrav´es de um ajuste fino dos parˆametros de controle sempre ´e poss´ıvel construir uma estrutura perfeitamente auto-similar. Por simplicidade

trataremos neste caso da geometria fractal onde a distribui¸c˜ao de aprisionamento e de TR apresentam um ´unica cauda de lei de potˆencia.

Assumindo estas condi¸c˜oes para o sistema estudado obt´em-se [Zaslavsky et al., 1997] [Zaslavsky, 2002b] o expoente de transporte ν (Eq. (4.20)) como fun¸c˜ao do expoente γ da lei de potˆencia da distribui¸c˜ao de tempo de retorno (eq. (3.28)) como sendo

ν = γ − 2. (4.32)

Para obter esta rela¸c˜ao, que une de forma simples dois conceitos importantes e aparente- mente independentes, ´e necess´ario relacionar as escalas temporais e espaciais do sistema. Essa uni˜ao se d´a a partir do uso de t´ecnicas de grupo de renormaliza¸c˜ao aplicadas ao espa¸co de fa- ses [Zaslavsky, 1994], que apresentamos apenas um esbo¸co. Definimos os parˆametros de escala que relacionam o per´ıodo T e o comprimento l da ´ultima curva invariante de determinada ilha de uma determinada cadeia-k, com a cadeia mais interna da gera¸c˜ao seguinte k + 1, como sendo

ˆ

Rk : Tk+1= λTTk; lk+1= λllk, (4.33) onde λT ≥ 1 e λl ≤ 1. A condi¸c˜ao de fractalidade (auto similaridade) imp˜oe que os valores de λl, λT sejam independentes da escala, isto ´e, iguais para qualquer valor de k. Esta condi¸c˜ao pode ser pensada tamb´em como uma idealiza¸c˜ao do caso t´ıpico em que os parˆametros de escala dependem de k e ´e necess´ario a utiliza¸c˜ao de valores efetivos [Zaslavsky, 2002a]. Obt´em-se ent˜ao sua rela¸c˜ao com os coeficientes α, β da equa¸c˜ao de Fokker-Planck fracion´aria (4.23) como sendo

β α =

lnλl lnλT

. (4.34)

Da mesma forma, relacionando os parˆametros de escala com o expoente de aprisionamento γapri obt´em-se

γapri= 1 + 2 lnλl lnλT

. (4.35)

Juntando as duas equa¸c˜oes acima com (3.29) e (4.24) obt´em-se finalmente a rela¸c˜ao (4.32). Vemos assim que s˜ao as propriedades topol´ogicas das ilhas que permitem obter um v´ınculo entres as escalas temporais e espaciais do sistema, de onde deduzimos a dependˆencia do transporte anˆomalo com o tempo de retorno de Poincar´e.

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E interessante notar os limites que a rela¸c˜ao (4.32) imp˜oe para o expoente da cauda de lei de potˆencia da distribui¸c˜ao de TR. O lema de Kac garante a existˆencia de um TR m´edio finito for¸cando um valor assint´otico de γ > 2. Sabemos que os modos bal´ısticos tornam o transporte super-difusivo (o transporte no mapa padr˜ao parece n˜ao ser sub-difusivo mesmo se h´a exclusivamente ilhas n˜ao aceleradoras [Zumofen e Klafter, 1994]). Portanto no caso da presen¸ca de modos bal´ısticos fractais teremos 3 ≥ γ ≤ 4. Cabe ressaltar, no entanto, que exce¸c˜oes, aos limites desse e de outros parˆametros, parecem n˜ao ser t˜ao raras [Zaslavsky, 2002b].

O comportamento de multi-escala, isto ´e, mais de uma inclina¸c˜ao da lei de potˆencia no tempo de aprisionamento e retorno, ´e conseq¨uˆencia da multi-fractalidade das ilhas. A cada gera¸c˜ao de ilhas (k) no espa¸co de fases, teremos valores distintos de λl, λT e, conseq¨uentemente, tempos de aprisionamento distintos. Tempos longos de aprisionamento est˜ao associados `as trajet´orias que “entraram” mais profundamente no labirinto de ilhas. Do ponto de vista da Fig.3.26 est˜ao em cadeias mais internas de ilhas. No entanto, como vimos nesta mesma figura, as cadeias de ilhas em torno de ilhas n˜ao caracterizam um fractal (repeti¸c˜ao igual entre escalas) mas sim um multi-fractal e, conseq¨uentemente, o aprisionamento se dar´a de forma distinta para cada regime de tempo.

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E f´acil entender tamb´em o efeito do ru´ıdo (R 6= 0) no aprisionamento das trajet´orias. Tempos longos de aprisionamentos (grandes vˆoos) est˜ao relacionados com trajet´orias presas em estruturas muito internas e pequenas do espa¸co de fases e, portanto, mais suscet´ıveis ao ru´ıdo. O efeito da aleatoriedade ser´a o de limitar a lei de potˆencia da distribui¸c˜ao de tempos de aprisionamentos fazendo com que haja um decaimento do tipo exponencial ap´os os regimes de lei de potˆencia. Quanto maior o ru´ıdo menor ser´a o regime de lei de potˆencia. Esses resultados foram obtidos na figura5.17.