Síntese dos Resultados

Nesta secção, apresento de forma sucinta as principais conclusões inferidas a partir das produções escritas dos alunos às várias tarefas analisadas anteriormente

 Representações usadas

Os alunos recorreram a três tipos de representações diferentes: linguagem natural, numérica e algébrica para resolver cinco das primeiras situações problemáticas propostas, estando estas incluídas na alínea b) da Tarefa 2 da Ficha de Trabalho n.º 1; e nas alíneas a), b), c) e e) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4, respetivamente. Na Figura 46 apresento a percentagem de alunos que utilizaram cada uma destas três representações nas referidas alíneas.

Note-se que na Figura 46 não é indicada a alínea d) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4, pois neste caso todos os alunos utilizaram a linguagem natural para dar resposta a este item. Tal opção não é surpreendente, dado que nesta alínea pede-se aos alunos que formulem em linguagem natural o enunciado de uma situação problemática descrita por meio de uma inequação.

Por uma razão similar, a Figura 46 também não engloba o Exercício 2 da Ficha de Trabalho n.º 1, dado que neste caso todos os alunos usaram a linguagem algébrica como é solicitado no respetivo enunciado.

Figura 46: Percentagem de alunos que usaram os três tipos de representação: linguagem natural, numérica e algébrica em cinco alíneas de tarefas das fichas de

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Analisando a Figura 46, verifico que na primeira alínea, como foi realizada no âmbito da introdução da noção de inequação e em larga medida em turma, a maioria dos alunos utilizou a representação algébrica. No entanto, nas duas alíneas que se seguiram, prevaleceu a representação numérica. Tal opção deveu-se, provavelmente, ao facto dos alunos estarem “familiarizados” com este tipo de registo no momento em que resolveram estas alíneas. Nas duas últimas alíneas consideradas nesta figura, voltou a destacar-se a representação algébrica. Além disso, note-se que nenhum aluno usou a linguagem natural para dar resposta às três últimas alíneas consideradas nessa figura. Esta escolha pode ser explicada se tivermos em conta que a sua resolução ocorreu após a resolução em turma de outras alíneas envolvendo inequações onde prevaleceu a representação algébrica.

O José e o Luís utilizaram a representação algébrica em todas as alíneas da Figura 46, com exceção do item a) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4, em que ambos usaram a linguagem natural.

Nas situações problemáticas propostas a seguir às cinco que indiquei na Figura 46, os alunos utilizaram apenas a representação algébrica. No entanto, existem algumas exceções, nomeadamente em duas resoluções do Luís, a primeira no Exercício 13 da Ficha de Trabalho n.º 5 (Anexo 15), onde este aluno utilizou corretamente duas abordagens: a numérica e a algébrica; e a segunda na Ficha de Trabalho Complementar (Anexo 18) realizada no âmbito da entrevista, onde o aluno usou de forma correta apenas a representação numérica.

Em suma, pode dizer-se que os alunos, no início, utilizaram sobretudo a representação numérica, mas a seguir passaram a usar quase exclusivamente a representação algébrica o que induz desenvolvimento do pensamento algébrico.

 Erros e dificuldades na conversão e no tratamento das representações

As tarefas propostas em aula envolvem situações problemáticas suscetíveis de serem resolvidas recorrendo a inequações, sendo apresentadas em linguagem natural, com exceção da alínea d) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4 (Anexo 14) enunciada por uma inequação.

Assim, para resolvê-las a maioria dos alunos procedeu à conversão de uma determinada situação problemática por meio de uma inequação. No entanto, como

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referido na questão anterior, alguns alunos usaram a linguagem natural ou a representação numérica para resolver as cinco alíneas indicadas na Figura 46.

Consequentemente, para efeitos de comparação, na Figura 47 apresento a percentagem de alunos que cometeram erros nessas cinco alíneas em que usaram uma das três representações referenciadas em cima.

Figura 47: Percentagem de alunos que cometeram erros em cinco alíneas de tarefas das fichas de trabalho, tendo usado um dos três tipos de representação: linguagem natural,

numérica e algébrica

Assim, considerando os alunos que não efetuaram qualquer conversão nas duas primeiras alíneas e portanto responderam em linguagem natural, verifiquei que todos erraram na alínea b) da Tarefa 2 e 40% dos estudantes erraram na alínea a) da Tarefa 1. Note-se que estes alunos deram apenas uma resposta errada e não justificaram.

Todos os alunos que efetuaram a conversão da linguagem natural para a representação numérica apresentaram respostas erradas em quatro dessas alíneas, e 36% apresentou erros na alínea a) da Tarefa 1. Estes erros referem-se essencialmente à apresentação de apenas números ou intervalos incorretos, ou seja, a maioria não apresenta uma desigualdade numérica ou estratégia.

Entre os alunos que optaram por recorrer à conversão da linguagem natural para a representação algébrica, 11% dos alunos erraram na alínea b) da Tarefa 2 da Ficha de trabalho n.º 1, todos os alunos erraram nas alíneas a) e b) da Tarefa 1; e 29% e 30% dos estudantes erraram nas alíneas c) e e) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4, respetivamente.

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Para resolver algebricamente as várias situações problemáticas propostas, com exceção da alínea d) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4 pela razão já apontada, além da conversão ou tradução por meio de inequações, os alunos aplicaram os restantes quatro passos abordados nas aulas lecionadas, nomeadamente: definição da variável, resolução da inequação ou da disjunção/conjunção de inequações, determinação do conjunto-solução e indicação da solução ou resposta à situação problemática.

A Figura 48 contém os resultados obtidos no que diz respeito ao número de alunos que usaram a representação algébrica e cometeram erros na resposta a cada uma das cinco situações problemáticas incluídas na Figura 46 e ao Exercício 2 da Ficha de Trabalho n.º 1. Note-se que na Figura 48 e nas posteriores figuras, não se considera o primeiro passo: definição da variável, dado que os pouco alunos que o realizaram não apresentaram erros na sua execução.

Figura 48: Número de alunos que cometeram erros nos quatro últimos passos usados para resolver situações problemáticas envolvendo inequações num exercício e em cinco

alíneas das tarefas das fichas de trabalho

Da Figura 48 verifico que os alunos cometeram maior número de erros na tradução ou conversão de situações problemáticas por meio de inequações, com exceção da alínea b) da Tarefa 2 da Ficha de Trabalho n.º 1. Apenas dois alunos resolveram de forma incorreta a alínea b) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4; um aluno esqueceu- se de verificar que uma medida não pode assumir um valor negativo na resposta à alínea

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b) da Tarefa 2 da Ficha de Trabalho n.º 1; e três alunos esqueceram-se que o número 3 não é solução da inequação x < 3 e portanto indicaram uma resposta errada à alínea e) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4.

Em relação à alínea d) da Tarefa 1, não indicada na Figura 48 pela razão referida em cima, 77% dos alunos formularam incorretamente uma situação problemática, sendo o erro mais flagrante a não inclusão de uma questão.

Figura 49: Número de alunos que cometeram erros nos quatro últimos passos usados para resolver situações problemáticas envolvendo inequações em cinco exercícios das

fichas de trabalho

Posteriormente, os alunos resolveram outras cinco situações problemáticas. Pela Figura 49, observo que nas três primeiras situações problemáticas, que envolvem apenas uma inequação (e não uma condição de inequações), as principais dificuldades verificaram-se na tradução ou conversão, principalmente no Exercício 12. Adicionalmente, também neste exercício, três alunos manifestaram dificuldades em verificar se todos os elementos do conjunto-solução da inequação obtida são também solução da situação problemática. Aliás esta dificuldade, esteve também presente na resolução de um aluno no Exercício 13.

No Exercício 41 proposto a seguir, tornou-se mais fácil a tradução comparativamente aos outros dois. No entanto, ao contrário dos anteriores, no Exercício 41, um aluno cometeu erros na resolução da inequação.

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Nos outros dois exercícios realizados nas últimas aulas, 14 e 24, os principais problemas ocorreram na tradução e resolução, respetivamente. Tal facto não é surpreendente dado que estes dois exercícios envolvem a conjunção de inequações, e portanto o seu grau de dificuldade é maior.

No Exercício 14, a tradução foi problemática, devido principalmente ao esquecimento da fórmula da área de um trapézio. Ao contrário, no Exercício 24, foi a resolução conjunta das duas inequações e a determinação do conjunto-solução interseção que suscitou mais dúvidas por parte dos alunos.

A evolução do número de alunos que cometeram erros em todas estas situações problemáticas propostas pode ser visualizada na Figura 50, resultando o respetivo gráfico da junção dos dois gráficos das Figuras 48 e 49. Consequentemente, é reforçado a ideia que foi na tradução que ocorreram mais erros, e não existiram dificuldades na determinação dos intervalos, com exceção do Exercício 24 onde existiu um aluno que cometeu erros na representação do conjunto-solução da conjunção de inequações.

Figura 50: Número de alunos que cometeram erros nos quatro últimos passos usados para resolver onze situações problemáticas envolvendo inequações das fichas de

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A seguir, apresento os erros revelados e evidenciados nas figuras anteriores, na tradução, na resolução e na indicação da solução correta em todas as situações problemáticas propostas durante as aulas.

Note-se que não é apresentado qualquer gráfico para a representação do conjunto-solução, pois, como já referido, apenas um aluno representou de forma incorreta o conjunto interseção do Exercício 24, mais propriamente errou no tipo do intervalo (considerou um dos intervalos aberto quando deveria ser fechado e o outro intervalo fechado quando deveria ser aberto).

Assim, quanto à tradução, o principal problema ocorreu no uso incorreto do sinal de desigualdade, ou seja, 49% dos alunos deduziram corretamente as expressões de ambos os membros das inequações, mas usaram, de forma incorreta, os sinais de desigualdade (Figura 51). Tal facto, mostra que os alunos têm dificuldades em traduzir expressões do tipo “não é menor do que”, “no mínimo”, etc. O segundo erro mais saliente foi cometido nas expressões, que constituem as inequações. Os outros três erros consistem em lapsos no sinal de números, na fórmula do trapézio no Exercício 24 ou na dedução de uma expressão algébrica e não de uma desigualdade.

Figura 51: Percentagem de alunos que cometeram erros na tradução de onze situações problemáticas envolvendo inequações das fichas de trabalho

Em relação à resolução, pela Figura 52, verifico que o erro de maior destaque corresponde a lapsos de números, e cada um dos outros quatro erros foram cometidos apenas por um aluno e são: a aplicação incorreta do 2.º princípio de equivalência, a

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redução incorreta de termos, a aplicação incorreta da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e a redução incorreta ao mesmo denominador.

Figura 52: Percentagem de alunos que cometeram erros na resolução de onze situações problemáticas envolvendo inequações das fichas de trabalho

Na formulação da conclusão às situações problemáticas, 88% dos alunos tiveram dificuldades em constatar que um determinado número não é solução da situação problemática dado que o sinal de desigualdade é “>” ou “<”, por exemplo se x < 3, então 3 não é o maior número inteiro, solução da situação problemática da alínea e) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4 (Figura 53). O outro erro refere-se ao facto de dois alunos não verificarem que uma medida não pode tomar um número negativo (Figura 53).

Figura 53: Percentagem de alunos que cometeram erros na formulação das conclusões de onze situações problemáticas envolvendo inequações das fichas de trabalho

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O Quadro 24 engloba a síntese dos resultados obtidos pelos dois alunos, o José e o Luís, na realização de todas as situações problemáticas consideradas neste trabalho.

Assim, o José e o Luís cometeram, tal como os restantes alunos da turma, mais erros nos exercícios/tarefas propostos nas primeiras aulas lecionadas. O José deduziu, de forma incorreta, uma inequação do Exercício 2 da Ficha de Trabalho n.º 1; e ambos cometeram esse erro na alínea b) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4. Outro dos erros, ocorreu na alínea d) desta última ficha., mas neste caso os alunos realizaram a conversão da representação algébrica para a representação em linguagem natural. Além disso, o Luís revelou erros na resolução da inequação da alínea b) da Tarefa 1.

Quadro 24: Resumo dos resultados do José e do Luís na resolução de situações problemáticas

Variável Tradução Resolução Intervalo Solução Ficha

n.º 1

Ex. 2 José _Não pedido



_Não pedido Não pedido Não pedido Luís



Tarefa 2 b) José -





-

- Luís -









Ficha n.º 4

Tarefa 1 a) José Resolveu corretamente em linguagem natural Luís

Tarefa 1 b) José -







Não

pedido

Luís -





-

Tarefa 1 c) José -



_Não pedido Não pedido Não pedido Luís -



Tarefa 1 d) José Inventou o enunciado, mas não colocou qualquer questão Luís Inventou o enunciado, mas escreveu “inferior”

Tarefa 1 e) José -





-



Luís -





-



Ex. 13 José -









Luís -





-



Ex. 12 José







-



Luís -





-



Ex. 41 José -





- - Luís -









Ficha n.º 6 Ex. 14 José -



Incomple- to - - Luís -









Ex. 24 José -









Luís -







-

Detetei apenas dois erros nos exercícios propostos nas últimas aulas (Figura 50). Consequentemente, o José deu uma resposta errada no Exercício 12; e o Luís revelou

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dificuldade na resolução da conjunção de inequações subjacente à situação problemática do Exercício 24.

Resumindo, verifico que a análise dos resultados obtidos pelos dois alunos selecionados, o José e o Luís, estão de acordo com as conclusões inferidas para toda a turma. De facto, em alguns exercícios propostos no início, os alunos usaram três abordagens: linguagem natural, numérica e algébrica; e em todas elas a maioria dos alunos cometeu erros. Nos exercícios que se seguiram, a representação algébrica tornou- se a escolha exclusiva dos alunos, tendo a conversão continuado a suscitar muitas dúvidas, principalmente em relação ao uso do sinal de desigualdade. Nos últimos exercícios, o principal problema processou-se na tradução, e também na resolução e indicação da solução correta.

Para completar este estudo, no que diz respeito ao tratamento, também propus nas aulas cinco exercícios onde as inequações já eram dadas e portanto os alunos tinham apenas que realizar o terceiro e o quarto passo, ou seja, o tratamento de várias desigualdades. A Figura 54 refere-se aos erros cometidos pelos alunos na resolução dessas inequações e na determinação do respetivo conjunto-solução na forma de um intervalo de números reais.

Figura 54: Percentagem de alunos que cometeram erros na resolução de inequações e nos respetivos conjuntos-solução numa tarefa e em quatro exercícios das fichas de

trabalho

Assim, em relação à resolução de inequações, o maior número de erros ocorreu no Exercício 1 da Ficha de Trabalho n.º 2 (69%) e no Exercício 4 da Ficha de Trabalho

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n.º 3 (74%). Tal é possível explicar pelo facto do Exercício 1 ter sido realizado no início do cálculo das inequações após a introdução dos princípios de equivalência e o Exercício 4 seguiu-se ao anterior, tendo um grau de dificuldade superior dado que envolve inequações mais complexas, com parênteses e denominadores. Além disso, o Exercício 1 e o Exercício 2, ambos da Ficha de Trabalho n.º 5, apesar de envolverem disjunções e conjunções de inequações, respetivamente, foram realizados nas últimas aulas lecionadas; e a Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 2 tem um grau de dificuldade reduzido.

Quanto aos intervalos das inequações, verifico, que o maior número de erros processou-se também nos mesmos exercícios apontados para as inequações, ou seja, no Exercício 1 (39%) e no Exercício 4 (42%). Note-se que muitos alunos apresentaram erros na resolução das inequações, mas posteriormente determinaram corretamente o respetivo intervalo tendo em conta a sua resolução. Assim, o número de erros cometidos nos intervalos é menor que o número de erros cometidos nas inequações.

Nas próximas figuras, Figura 55 e Figura 56, encontram-se os erros cometidos nas inequações e nos intervalos, respetivamente.

Figura 55: Percentagem de alunos que cometeram erros na resolução de inequações numa tarefa e em quatro exercícios das fichas de trabalho

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Observando a Figura 55, é possível constar que os alunos da turma do 9.º ano cometeram os seguintes erros na resolução das inequações:

 Aplicação incorreta do 2.º princípio de equivalência (PE) (71%);  Lapsos em números ou no seu sinal (13%);

 Aplicação incorreta da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição (7%);

 Uso incorreto dos sinais de desigualdade (5%);

 Aplicação incorreta do 1.º princípio de equivalência (2%);  Redução incorreta de termos (2%);

Figura 56: Percentagem de alunos que cometeram erros nos intervalos de inequações numa tarefa e em quatro exercícios das fichas de trabalho

Em relação aos intervalos, os respetivos erros identificados fazem parte da Figura 56, e são os seguintes:

 Construção de um intervalo ilimitado inferiormente quando deveríamos ter um intervalo ilimitado superiormente, e vice-versa (31%);

 Lapsos em números ou no seu sinal (22%);

 Determinação de um intervalo aberto quando deveria ter-se um intervalo fechado, e vice-versa (19%);

 Lapsos na representação do símbolo de infinito (11%);

 Posição incorreta do símbolo de infinito no intervalo, ou seja, o símbolo de mais (menos) infinito no lado esquerdo (direito) do intervalo (8%);

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 Uso incorreto do parêntese reto com concavidade voltada para dentro nos símbolos de infinito, +∞ e -∞ (6%);

 Representação incorreta do conjunto vazio (3%).

Considerando as dezasseis inequações resolvidas pelos alunos no âmbito da realização da Tarefa 1 e dos quatro exercícios referidos acima, constato que o José e o Luís cometeram erros em duas e três inequações, respetivamente. No entanto, quanto aos intervalos, o José não cometeu qualquer erro, mas o Luís apresentou três intervalos incorretos. O Quadro 25 contém a descrição destes erros cometidos por cada um dos dois estudantes no tratamento de inequações.

Quadro 25: Resumo dos resultados do José e do Luís na resolução de inequações e na determinação dos respetivos intervalos

Inequações Intervalos

José Luís José Luís

Ficha n.º 2 Tarefa 1 6 Itens Sinal de desigualdade em f)







Ex. 1 4 Itens



Aplicação do 2.º PE em 1.3



Sinal de um n.º em 1.3 Ficha n.º 3 Ex. 4 2 Itens Aplicação do 2.º PE e sinal de desigualdade em 4.2 Aplicação do 2.º PE em 4.1 e 4.2



Ilimitado superiormente em vez de inferiormente, e vice-versa, em 4.1 e 4.2 Ficha n.º 5 Ex. 1 2 Itens









Ex. 2 2 Itens









Assim, o José errou no sinal de desigualdade da inequação da alínea f) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 2; e o mesmo aluno aplicou incorretamente o 2.º princípio de equivalência e usou o sinal de desigualdade incorreto na inequação do item 4.2 do Exercício 4 da Ficha de Trabalho n.º 3.

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O Luís aplicou, de forma incorreta, o 2.º princípio de equivalência na inequação da alínea 1.3 do Exercício 1 da Ficha de Trabalho n.º 2; e nas duas inequações dos itens 4.1 e 4.2 do Exercício 4 da Ficha de Trabalho n.º 3.

Quanto aos intervalos, ao contrário do José que não cometeu qualquer erro, o Luís trocou o sinal de um número no intervalo do item 1.3 do Exercício 1; e indicou um intervalo ilimitado superiormente em vez um intervalo ilimitado inferiormente na alínea 4.1 e apresentou um intervalo ilimitado inferiormente quando deveria ser um intervalo ilimitado superiormente na alínea 4.2, ambas do Exercício 4.

Note-se que nos dois exercícios da Ficha de Trabalho n.º 5, o José e o Luís não revelaram qualquer dificuldade.

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No documento Representações em situações problemáticas que envolvem inequações do 1.º grau a uma incógnita : um estudo com alunos do 9.º ano de escolaridade (páginas 155-170)