Recordando...
Quando estudamos acr´escimos e diferenciais, vimos que se f : X → IR ´e deriv´avel em x ∈ X, ou seja, se existe f0(x) = lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x , ent˜ao a varia¸c˜ao da fun¸c˜ao y = f (x), dada por ∆y = f (x + ∆x) − f (x) , pode ser aproximada por f0(x) · ∆x quando ∆x est´a pr´oximo de 0:
∆y = f (x + ∆x) − f (x) ≈ f0(x) · ∆x = dy quando ∆x → 0
Isto ´e o mesmo que
Geometricamente:
A id´eia ´e aproximar o gr´afico de f por uma reta numa vizinhan¸ca em torno de x. A reta que melhor cumpre esse papel ´e a reta tangente ao gr´afico de f em (x, f (x)), cujo coeficiente angular ´e f0(x) . Quando fazemos essa aproxima¸c˜ao, cometemos um erro r = r(∆x) .
Quanto menor ´e |∆x| , ou seja, quanto mais pr´oximos est˜ao ∆x e 0, melhor a aproxima¸c˜ao obtida e menor ´e o erro cometido.
Pergunta: Podemos melhorar este processo e obter aproxima¸c˜oes cada vez melhores ? Resposta: SIM ! (sob certas condi¸c˜oes)
Um passo adiante:
Se f : I (intervalo aberto) → IR ´e duas vezes deriv´avel em um ponto x ∈ I ent˜ao, se x + ∆x ∈ I , temos f (x + ∆x) ≈ f (x) + f0(x) · ∆x + f 00(x) 2! · (∆x) 2 (∆x pequeno)
Da mesma forma que antes, quanto menor |∆x| , melhor ´e a aproxima¸c˜ao.
Por´em, desta vez estamos aproximando f (em torno de x) por um polinˆomio do 2o grau, ou
seja, geometricamente, o gr´afico de f ´e aproximado por um arco de par´abola e a expectativa ´e que isto funcione melhor como aproxima¸c˜ao do que uma reta:
Generalizando:
Se f : I (intervalo aberto) → IR ´e n−vezes deriv´avel em um ponto x ∈ I ent˜ao, se x + ∆x ∈ I , temos: f (x + ∆x) ≈ f (x) + f0(x) · ∆x + f 00(x) 2! · (∆x) 2+f 000(x) 3! · (∆x) 3+ . . . + f (n)(x) n! · (∆x) n
e quanto menor |∆x|, melhor ´e a aproxima¸c˜ao.
Obs.:
1) Como o ponto x ∈ I, onde a fun¸c˜ao ´e n−vezes deriv´avel, est´a fixo e ∆x varia (∆x → 0), vamos adotar uma NOVA NOTAC¸ ˜AO:
f : I → IR n−vezes deriv´avel em um ponto a ∈ I . Se a + h ∈ I , temos: f (a + h) ≈ f (a) + f0(a) · h +f 00(a) 2! · h 2+ f 000(a) 3! · h 3+ . . . + f(n)(a) n! · h n
e quanto menor |h| , melhor ´e a aproxima¸c˜ao.
2) Se f : I → IR ´e n−vezes deriv´avel em um ponto a ∈ I , definimos o POLIN ˆOMIO DE TAYLOR DE GRAU n DA FUNC¸ ˜AO f NO PONTO a:
Pn,f (a)(h) = a0 + a1 · h + a2 · h2+ . . . + an· hn
sendo a0 = f (a) , a1 = f0(a) , a2 =
f00(a) 2! , . . . , an = f(n)(a) n! , ou seja, ai = f(i)(a) i! i = 1, 2, . . . , n Neste caso temos:
f (a + h) ≈ Pn,f (a)(h)
Exemplos:
(B) g(x) = sen x , a = 0 , n = 7 .
(C) h(x) = cos x , a = 0 , n = 10 (Exerc´ıcio)
Buscando estimativas: A F´ormula de Taylor:
Teorema 2.8. (F´ormula de Taylor)
Se uma fun¸c˜ao f ´e n + 1 vezes deriv´avel em um intervalo aberto I contendo x = a ent˜ao, se a + h ∈ I, temos: f (a + h) = f (a) + f0(a) · h +f 00(a) 2! · h 2+ . . . + f(n)(a) n! · h n+ f(n+1)(z) (n + 1)! · h n+1 com z = z(n, h) entre a e a + h.
• Continuamos tendo f (a + h) ≈ Pn,f (a)(h) quando h est´a pr´oximo de 0.
• Rn(h) =
f(n+1)(z) (n + 1)! · h
n+1 ´e o erro cometido na aproxima¸c˜ao f (a + h) ≈ P
n,f (a)(h)
(quanto menor |h|, menor o erro).
• A F´ormula de Taylor nos permite, al´em de aproximar f (a + h) por Pn,f (a)(h) , tentar
obter estimativas para o erro cometido.
Indo um pouco mais al´em: A S´erie de Taylor:
Uma fun¸c˜ao f : I (intervalo aberto) → IR ´e chamada ANAL´ITICA quando para cada a ∈ I admite o desenvolvimento em S´erie de Taylor numa vizinhan¸ca em torno de a:
f (a + h) = f (a) + f0(a) · h + f 00(a) 2! · h 2 +f 000(a) 3! · h 3 + . . .
Quando a + h est´a pr´oximo de a (o quanto, depende de f e sua S´erie) a soma `a direita, chamada a S´ERIE DE TAYLOR DE f EM TORNO DE a converge para o valor (exato de) f (a + h), ou seja, se aproxima tanto quanto desejarmos de f (a + h).
Obs.:
1) Uma fun¸c˜ao anal´ıtica pode ser derivada tantas vezes quanto desejarmos.
2) As fun¸c˜oes cl´assicas p(x) = a0+a1x+. . .+anxn, ex, sen x, cos x, ln x s˜ao todas anal´ıticas.
Exemplos:
(A) f : IR → IR dada por f (x) = ex em torno de a = 0 .
(B) g : IR → IR dada por g(x) = sen x em torno de a = 0 .
Coletˆanea de provas anteriores (1)
Quest˜ao 1: (20 pts) Para medir a altitude de um pico (ponto A, mais elevado e inacess´ıvel) em rela¸c˜ao ao seu n´ıvel, um explorador (ponto B) utilizou dois equipamentos. Usou inicial- mente um sofisticado aparelho baseado num feixe de laser e obteve √17 km como medida da distˆancia de B ao ponto A . Por´em, para medir o ˆangulo θ da linha BA com o horizonte foi utilizado um outro aparelho, n˜ao t˜ao preciso, e obtida a leitura de θ = π/3 rad, com possibili- dade de erro igual a ∆θ = ±0, 01 rad.
(a) Obtenha a equa¸c˜ao que expressa o desn´ıvel h(θ) entre A e B, como fun¸c˜ao do ˆangulo θ. (b) Baseado na leitura de θ = π/3 rad, qual o desn´ıvel h(θ) calculado pelo explorador ? (USE DIFERENCIAIS para obter um resultado aproximado).
(c) Utilizando diferenciais, obtenha uma aproxima¸c˜ao para o erro h(θ + ∆θ) − h(θ) no c´alculo do desn´ıvel.
Quest˜ao 2: (15 pts) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equa¸c˜ao s(t) = [ln(1 + t)] − t/4 (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) = posi¸c˜ao ao longo de um eixo orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade m´edia entre os instantes t = 0 e t = 2. (b) Obtenha a velocidade nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 2. (c) Em que instante o objeto p´ara ? Em que posi¸c˜ao isto ocorre ? Qual a acelera¸c˜ao neste instante ?
Quest˜ao 3: (20 pts) Uma escada de 5 m de comprimento est´a apoiada em uma parede vertical. Sua base, que est´a apoiada no ch˜ao, est´a sendo empurrada na dire¸c˜ao da parede a uma velocidade constante de 1 m/s. (a) Mostre que a velocidade com que o topo da escada se desloca n˜ao ´e constante. (b) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca quando a base est´a a 3 m da parede ? (c) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca quando o ˆangulo da escada com o ch˜ao ´e de π/4 rad ?
Quest˜ao 4: (20 pts) Uma ilha est´a num ponto A, a 3√3 km do ponto B (localizado no continente), o mais pr´oximo numa praia reta. Um armaz´em est´a num ponto C a 7 km de B na praia. Se um homem pode remar `a raz˜ao de 2 km/h e caminhar `a raz˜ao de 4 km/h, onde ele deveria desembarcar, para ir da ilha ao armaz´em no menor tempo poss´ıvel ?
Quest˜ao 5: (25 pts) ESCOLHA UMA das fun¸c˜oes abaixo e fa¸ca um estudo completo da fun¸c˜ao escolhida: pontos cr´ıticos, cresc./decresc., m´aximos ou m´ınimos, concavidade, ass´ıntotas horizontais/verticais, etc. Utilize este estudo para fazer um esbo¸co do gr´afico da fun¸c˜ao esco- lhida.
(a) f : IR − {4} → IR dada por f (x) = 2x
2
(x − 4)2 (b) g : IR → IR dada por g(x) =
3x ex
Coletˆanea de provas anteriores (2)
Quest˜ao 1: (20 pts) a) Usando diferenciais, obtenha uma aproxima¸c˜ao para a VARIAC¸ ˜AO da ´area de uma esfera quando seu raio aumenta de 5
π cm para 5
π + 0, 005
cm.
b) Usando diferenciais, responda: Qual o aumento ∆r do raio que, aplicado `a esfera de raio r = 15 cm provoca um aumento aproximado de 10% em seu volume?
Obs.: Se uma esfera tem raio r cm, sua ´area ´e 4πr2 cm2 e seu volume ´e 4
3πr
3 cm3
Quest˜ao 2: (15 pts) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equa¸c˜ao s(t) = 10 ln(2t + 1)
(2t + 1) (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posi¸c˜ao ao longo de um eixo orientado, medida em metros).
(a) Obtenha a velocidade m´edia entre os instantes t = 0 e t = 3. (b) Obtenha a velocidade nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 3. (c) Em que instante o objeto est´a parado ? (d) Descreva o deslocamento do objeto, quando t varia de 0 at´e t → +∞ .
Quest˜ao 3: (20 pts) A luz de um farol que gira `a taxa de 1,5 rpm (rota¸c˜oes por minuto) est´a iluminando (acompanhando) um carro que passa numa estrada retil´ınea. (Obs.: O farol est´a distante da estrada)
No momento em que o ˆangulo do feixe de luz do farol com a perpendicular do farol `a estrada ´
e de π/3 rad, a distˆancia do farol ao carro ´e de 250 m = 1/4 km. Obtenha a velocidade do carro neste instante, em km/h.
A velocidade de rota¸c˜ao do farol ´e constante. Responda se a velocidade do carro tamb´em ´
e constante e justifique.
Quest˜ao 4: (20 pts) Dado um cilindro circular reto de altura h cm e raio das bases r cm, sua ´area total ´e S = (2πr2+ 2πrh) cm2 e seu volume ´e V = πr2h cm3. DENTRE TODOS OS CILINDROS DE ´AREA TOTAL S = 12π cm2, obtenha as dimens˜oes (r e h) daquele que tem o maior volume poss´ıvel e forne¸ca o maior volume que pode ser obtido.
Quest˜ao 5: (25 pts) ESCOLHA UMA das fun¸c˜oes abaixo e fa¸ca um estudo completo da fun¸c˜ao escolhida: pontos cr´ıticos, cresc./decresc., m´aximos ou m´ınimos, concavidade, ass´ıntotas horizontais/verticais, etc. Utilize este estudo para fazer um esbo¸co do gr´afico da fun¸c˜ao esco- lhida.
(a) f : IR → IR dada por f (x) = x
2
ex (b) g : IR − {±2} → IR dada por g(x) =
x2 4 − x2
Coletˆanea de provas anteriores (3)
Quest˜ao 1: (20 pts) a) Ao encomendar uma pizza gigante, com 50 cm de diˆametro, vocˆe recebe a oferta de pagar 10% a mais por um acr´escimo de 3 cm no diˆametro. Sem calcular ´
areas, USE DIFERENCIAIS para responder, JUSTIFICANDO, se aceita ou n˜ao a oferta. (Sugest˜ao: Calcule aproximadamente o aumento percentual na ´area devido ao acr´escimo ∆d = 3 cm)
Para qual diˆametro (aproximadamente) essa oferta de 3cm a mais no diˆametro com um aumento de 10% no pre¸co seria justa para ambas as partes (vocˆe e o vendedor) ?
b) Use diferenciais para aproximar √3 0, 065 .
Quest˜ao 2: (15 pts) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equa¸c˜ao s(t) = 2t
2
et (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posi¸c˜ao ao longo de um
eixo orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade m´edia entre os instantes t = 0 e t = 2, a velocidade no instante t = 1 e responda qual delas ´e a maior (mostre as contas). (b) O que ocorre com s(t) quando t → +∞ ? (c) Qual a maior distˆancia da posi¸c˜ao inicial que ´e atingida pelo objeto ?
Quest˜ao 3: (20 pts) Uma escada de 4 m est´a apoiada numa parede vertical. Se a base da escada (apoiada no ch˜ao) ´e empurrada na dire¸c˜ao da parede `a raz˜ao (constante) de 2 m/s, com que velocidade est´a variando a medida do ˆangulo (agudo) entre a escada e a parede vertical quando a base da escada est´a a 2 m da parede ? A velocidade de varia¸c˜ao deste ˆangulo ´e constante ? (Justifique)
Quest˜ao 4: (20 pts) Quando duas resistˆencias el´etricas R1 e R2 s˜ao ligadas em paralelo, a
resistˆencia total R ´e dada por 1 R = 1 R1 + 1 R2 .
Se R1 > 0, R2 > 0 e R1+ R2 = 50 ohms, obtenha (JUSTIFICANDO) R1 e R2 tais que R
seja m´axima. (Sugest˜ao: Exprima R como fun¸c˜ao de uma ´unica vari´avel para ent˜ao resolver o problema)
E se fossem pedidos R1 e R2 tais que R seja m´ınima ? Justifique a resposta.
Quest˜ao 5: (25 pts) ESCOLHA UMA das fun¸c˜oes abaixo e fa¸ca um estudo completo da fun¸c˜ao escolhida: pontos cr´ıticos, cresc./decresc., m´aximos ou m´ınimos, concavidade, ass´ıntotas horizontais/verticais, etc. Use o estudo para fazer um esbo¸co do gr´afico da fun¸c˜ao escolhida. (a) f : IR − {1} → IR , f (x) = −3x
(1 − x)2 . (b) g : IR − {0} → IR , g(x) = x · ln(x 2) .
Coletˆanea de provas anteriores (4)
Quest˜ao 1: (20 pts) a) Pretende-se construir uma ponte sobre um riacho. No ponto onde ser´a constu´ıda a ponte, o riacho tem 3 m de largura e as margens s˜ao desniveladas. Mede-se ent˜ao o ˆangulo de inclina¸c˜ao que a ponte ter´a e obtem-se a medida de 30o, com possibilidade
de erro de 1o. Use diferenciais para obter uma aproxima¸c˜ao do erro no c´alculo do comprimento
da ponte.
b) Se ln 4 ≈ 1, 3863 , use diferenciais para aproximar ln(3, 99) .
Quest˜ao 2: (15 pts) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equa¸c˜ao s(t) = t · ln(1 + 2t) (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posi¸c˜ao ao longo de um eixo orientado, medida em metros).
(a) Obtenha a velocidade m´edia entre os instantes t = 0 e t = e
3− 1
2 . (b) Obtenha a veloci- dade nos instantes t = 0 e t = e
3− 1
2 . (c) Obtenha a acelera¸c˜ao no instante t = 0 . (d) O que ocorre com a velocidade e com a acelera¸c˜ao quando t → +∞ ?
Quest˜ao 3: (20 pts) Dois ciclistas partem de um mesmo ponto `as 8 horas da manh˜a, um viajando para leste, a 15 km/hora, e o outro para o sul, a 20 km/hora.
(a) Como estar´a variando a distˆancia entre eles quando for meio-dia ?
(b) Como estar´a variando a ´area do triˆangulo formado pelo ponto de partida e as posi¸c˜oes dos ciclistas ao meio-dia ?
Quest˜ao 4: (20 pts) Um fazendeiro disp˜oe de 1km de cerca. Uma parte da cerca ser´a uti- lizada para cercar uma ´area circular e o restante para cercar uma ´area quadrada. Ele tamb´em pode utilizar toda a cerca para cercar uma ´unica ´area (circular ou quadrada). Como ele deve proceder para que: (a) A ´area total cercada seja a menor poss´ıvel; (b) A ´area total cercada seja a maior poss´ıvel.
Quest˜ao 5: (25 pts) ESCOLHA UMA das fun¸c˜oes abaixo e fa¸ca um estudo completo da fun¸c˜ao escolhida: pontos cr´ıticos, cresc./decresc., m´aximos ou m´ınimos, concavidade, ass´ıntotas horizontais/verticais, etc. Use o estudo para fazer um esbo¸co do gr´afico da fun¸c˜ao escolhida. (a) f : IR − {0} → IR dada por f (x) = e
x
x3 (b) g : IR → IR dada por g(x) =
3
√ 1 − x2
Coletˆanea de provas anteriores (5)
Quest˜ao 1: (20 pts) a) Um empres´ario fabrica tanques com a forma de cones “invertidos” nos quais a altura ´e sempre igual ao diˆametro da base. Sem calcular volumes, USE DIFE- RENCIAIS para obter (JUSTIFICANDO) o aumento percentual aproximado na capacidade (volume) dos tanques se o raio da base ´e aumentado em 3, 333 . . . % .
b) Se ln 8 ≈ 2, 0794 , use diferenciais para aproximar ln(8, 1) .
Quest˜ao 2: (15 pts) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equa¸c˜ao s(t) = 3 − e−t2 (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posi¸c˜ao ao longo de um eixo orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade m´edia entre os instantes t = 0 e t = 2, a velocidade no instante t = 1 e responda qual delas ´e a maior (mostre as contas). (b) O que ocorre com a velocidade instantˆanea v(t) quando t → +∞ ? (c) O que ocorre com s(t) quando t → +∞ ? Qual a maior distˆancia da posi¸c˜ao inicial que ´e atingida pelo objeto (se existir)?
Quest˜ao 3: (20 pts) Um homem num cais est´a puxando um bote `a raz˜ao de 1 m/s por meio de uma corda (esta ´e a velocidade do bote). As m˜aos do homem est˜ao a 1 m acima do n´ıvel do ponto onde a corda est´a presa no bote. Com que velocidade varia a medida do ˆangulo de deflex˜ao da corda (entre a corda e o movimento do bote) quando o bote est´a a √3 m de distˆancia (“medidos na horizontal”) do homem ?
Quest˜ao 4: (20 pts) Obtenha o raio das bases e a altura do CILINDRO CIRCULAR RETO de VOLUME M ´AXIMO que pode ser inscrito numa esfera de raio 3
2 m.
Quest˜ao 5: (25 pts) Fa¸ca um estudo completo da fun¸c˜ao dada abaixo: pontos cr´ıticos, cresc./decresc., m´aximos ou m´ınimos, concavidade, ass´ıntotas horizontais/verticais, etc. Uti- lize este estudo para fazer um esbo¸co do gr´afico da fun¸c˜ao.
f : IR → IR dada por f (x) = 2x
2
Respostas de exerc´ıcios
• P´agina 69: 1) a) Express˜ao ≈ 3, 12 b) √3 65 ≈ 4 + 1/48 = 193/48 c) √37 ≈ 6 + 1/12 = 73/12 d) √3 0, 00098 ≈ 1 10− 2 3 · 103 e) √ 0, 042 ≈ 0, 205 f) Express˜ao ≈ 9− 3 125 = 1122 125 = 8, 976 g) √41 15 ≈ 65 128 2) ln(2, 01) ≈ 0, 6981 3) ctg 46◦ ≈ 1 − π 90 4) S(2, 02) − S(2) ≈ 8π 25 p´es 2 5) ∆θ ≈ ± 1 164 rad 6) ∆V ≈ ± 9π 50 cm 3 7) ∆l ≈ 0, 6 cm 8) ∆h ≈ ±4π 3 pols 9) ≈ R$19,20 10) Erro ±2% em d ⇒ Erro no c´alculo de R ≈ ∓4%• P´agina 76: 1) ∆V ∆t = − 728π 3 p´es 3/hora ; V0 (3) = −72π p´es3/hora. 2) ∆P ∆t = 11 bpm/s ; P 0(2) = 7 bpm/s ; P0(3) = 11 bpm/s ; P0(4) = 15 bpm/s. 3) I0(20) = −0, 12 u.i./p´e 4) F0(C) = 9 5 ◦ F/◦C 5) V (s) = 4s3− 200s2+ 2400s ; V0(s) = 12s2− 400s + 2400 ;
V0(5) = 700 cm3/cm ⇒ ´e conveniente aumentar s quando s = 5;
V0(10) = −400 cm3/cm ⇒ n˜ao ´e conveniente aumentar s quando s = 10. 6) (a) s(0) = 1 ; v(t) = s0(t) = 6t − 12 ⇒ v(0) = −12 ; a(t) = v0(t) = 6 ; v(t) = 0 ⇒ t = 2 ⇒ s(2) = −11 ; v(5) = 18 ; s(5) = 16 . (b) s(1) = s(4) = 5 ; v(t) = 1 − 4/t2 ; v(1) = −3 ; v(4) = 3/4 ; a(t) = 8/t3 ; v(t) = 0 ⇒ t = 2 ⇒ s(2) = 4 . (c) s(−2) = 20 ; s(3) = 15 ; v(t) = 6 − 3t2 ; v(−2) = −6 ; v(3) = −21 ; a(t) = −6t ; v(t) = 0 ⇒ t = ±√2 ⇒ s(−√2) ≈ 18, 3 , s(√2) ≈ 29, 7 . (d) s(0) = 0 ; s(2) ≈ o, 33 ; v(t) = e−3t > 0 ; v(0) = 1 ; v(2) ≈ 0, 0025 ; a(t) = −3e−3t.
(e) s(0) = s(2) = 3 ; v(t) = −3π sen (πt) ; v(0) = v(2) = 0 ; a(t) = −3π2cos(πt) ; v(1) = 0 ; s(1) = −3 . (f) s(0) = 0 ; s(4) ≈ 9, 5 ; v(t) = 2t − 4 t + 1 ; v(0) = −4 ; v(4) = 7, 2 ; a(t) = 2 + 4 (t + 1)2 ; v(t) = 0 ⇒ t = 1 ⇒ s(1) = 1 − 4 ln 2 .
7) v(0) = 144 p´es/s ; a(0) = −32 (p´es/s)/s ; v(3) = 48 p´es/s ; a(3) = −32 (p´es/s)/s ; Em t = 3s, o objeto est´a a 288 p´es de altura, subindo e perdendo velocidade ;
Altura m´axima: 324 p´es (em t = 9/2s) ; Atinge o solo em t = 9 segundos.
• P´aginas 79-80: 1) 9 5 m/s 2) 14 m/s 3) 600π pol 3/min 4) Extremidade: 5 3 m/s ; Alonga: 2
3 m/s (menor). Outros inst.: mantˆem velocidades 5) 5 pol3/min 6) 3 2e u/s 7) 11 1600 Ω/s 8) 21π 160 cm 3/min 9) 2 + √ 6 4 m/s 10) −1000π 27 p´es/s 11) π√3 10 pol 2/min 12) 100 rad/hora = 5 6π rpm 13) -1 rad/s 14) 3 rad/s 15) ≈ 0, 778 rad/s 16) 1
2π cm/min , 6cm
3/min (escoando)
• P´aginas 91-92:
1) Aberta: b = 2 p´es, a = 1 p´e; Coberta: b = a =√3
4 p´es 2) h = 4a 3 , r =
2a√2 3 3) ˆAngulo reto: d = 3 pols ; ˆAngulo 2π/3 : d = 4 pols 4) a = b = 50 cm 5) P (1, 1) 6) 500 unidades 7) t = 18/13 horas ap´os 13:00
8) a 8 km de B, entre B e C 9) h = r = 4 cm 10) a 1,25m do solo 11) (a) Menor: 2π
4 + π m para o c´ırc. e 8
4 + π m para o quad.; (b) Maior: 2m para o c´ırc. 12) a √1
15 milhas de B, entre B e C 13) 37 ´arvores por are 14) M´axima em: s(π/2) e s(3π/2) ; M´ınima em: s(0) e s(π)
• P´agina 110: Coletˆanea 1
Quest˜ao 1) (a) h(θ) = √17 · sen θ km (b) h(π/3) ≈ 25
7 = 3, 571... km (c) h(θ + ∆θ) − h(θ) ≈ ± √ 17 200 km (com θ = π/3 , ∆θ = ± 1 100 ) Quest˜ao 2) (a) vm[0, 2] = 1 2 ln 3 − 1 2 m/s (b) v(0) = 3 4 m/s ; v(2) = 1 12 m/s (c) v = 0 em t = 3 s : s(3) = ln 4 − 3 4 m e a(3) = − 1 16 (m/s)/s
Quest˜ao 3) x(t) = dist. da base da escada `a parede ; y(t) = dist. do topo at´e o ch˜ao
(a) y0 = x
y (b) quando x = 3 m : y
0 = 3
4 m/s (c) quando θ = π/4 rad : y
0 = 1 m/s
Quest˜ao 4) x = distˆancia de onde vai desembarcar at´e B ( x ∈ [0, 7] )
T = T (x) = tempo gasto para ir de A at´e C ⇒ T (x) = √
27 + x2
2 + 7 − x
4
Ap´os testar os candidatos (x = 3 , x = 0 , x = 7), temos que x = 3 km minimiza T .
Quest˜ao 5) (a) f (x) = 2x
2
(x − 4)2
Pontos cr´ıticos: x = 0 (f0(0) = 0) , x = 4 (n˜ao existe f0(4) - descontinuidade); Decresc. em (−∞, 0] e (4, +∞) . Cresc. em [0, 4). M´ınimo em x = 0 .
Concav. para cima em (−2, +∞) . Para baixo em (−∞, −2) . Inflex˜ao em P (−2, f (−2)) . Ass´ıntota horizontal: y = 2 , pois lim
x→±∞ f (x) = 2 .
Ass´ıntota vertical: x = 4 , pois lim
x→4 f (x) = +∞ .
(b) g(x) = 3x
ex . Ponto cr´ıtico: x = 1 (g
0(1) = 0) ;
Crescente em (−∞, 1] . Decresc. em [1, +∞). M´aximo em x = 1 .
Concav. para baixo em (−∞, 2) . Para cima em (2, +∞) . Inflex˜ao em P (2, g(2)) . Ass´ıntota horizontal: y = 0 , pois lim
x→+∞ g(x) = 0 . x→−∞lim g(x) = −∞
• P´agina 111: Coletˆanea 2 Quest˜ao 1) (a) S(r + ∆r) − S(r) ≈ S0(r) · ∆r = 1/5 cm2 (b) ∆r = 0, 5 cm. Quest˜ao 2) (a) vm[0, 3] = 10 ln 7 21 m/s (b) v(0) = 20 m/s ; v(3) = 20 − 20 ln 7 49 m/s (c) v = 0 em t = e − 1 2 s (d) s(0) = 0 m , v(0) = 20 m/s (inicialmente) ; s e − 1 2 = 10
e m (objeto parado) ; t→+∞lim s(t) = 0 (se aproxima da posi¸c˜ao 0 qdo t → +∞).
Quest˜ao 3) x(t) = dist. do carro a (perp. ∩ estrada) ; θ(t) = ˆangulo feixe-perpendicular
Quando θ = π/3 rad : x0 = 90π km/h ; x0 n˜ao ´e constante x0 = 45π sec 2θ 2 Quest˜ao 4) h = 6 − r 2
r (rela¸c˜ao entre h e r nos cilindros de ´area total 12π cm
2)
⇒ V = V (r) = π(6r − r3) , 0 < r <√6 ⇒ Ponto cr´ıtico: r =√2 .
Analisando o crescimento/decresc. do volume, temos que o volume ´e m´aximo quando r =√2 e h = 2√2 e temos V (√2 ) = 4π√2 cm2.
Quest˜ao 5) (a) f (x) = x
2
ex
Pontos cr´ıticos: x = 0 (f0(0) = 0) , x = 2 (f0(2) = 0) ;
Decresc. em (−∞, 0] e [2, +∞) . Cresc. em [0, 2] ; M´ınimo local em x = 0 e m´aximo local em x = 2 .
Concav. para cima em (−∞, 2 −√2) e (2 +√2, +∞) . Para baixo em (2 −√2, 2 +√2) . Inflex˜ao em P (2 −√2, f (2 −√2)) e Q(2 +√2, f (2 +√2)) .
Ass´ıntota horizontal: y = 0 , pois lim
x→+∞ f (x) = 0 . x→−∞lim f (x) = +∞ .
N˜ao possui ass´ıntotas verticais.
(b) g(x) = x
2
4 − x2 . Ponto cr´ıtico: x = 0 (g
0(0) = 0) ;
Decrescente em (−∞, −2) e (−2, 0] . Cresc. em [0, 2) e (2, +∞) . M´ınimo em x = 0 . Concav. para baixo em (−∞, −2) e (2, +∞) . Para cima em (−2, 2) .
Ass´ıntota horizontal: y = −1 , pois lim
x→±∞ g(x) = −1 .
Ass´ıntotas verticais em x = ±2 , pois lim
• P´agina 112: Coletˆanea 3
Quest˜ao 1) (a) Aceito a oferta, pois 3 cm a mais no diˆametro gera um aumento aproxi- mado de 12% na ´area da pizza. d = 60 cm para que a oferta seja justa para ambos.
(b) √3 0, 065 ≈ 193 480 . Quest˜ao 2) (a) vm[0, 2] = 4 e2 m/s, v(1) = 2 e m/s e v(1) > vm[0, 2] . (b) t→+∞lim s(t) = 0 .
(c) A maior distˆancia ´e atingida em t = 2 (justifique) e s(2) = 8 e2 m.
Quest˜ao 3) A velocidade de varia¸c˜ao do ˆangulo n˜ao ´e constante (depende de θ ) e temos θ0 = −
√ 3
3 rad/s quando x = 2 m.
Quest˜ao 4) R ´e M ´AXIMA quando R1 = 25 ohms e R2 = 25 ohms.
R N ˜AO ASSUME M´INIMO. Quest˜ao 5) (a) f (x) = −3x
(1 − x)2
Ponto cr´ıtico: x = −1 (f0(−1) = 0) ;
Cresc. em (−∞, −1] e (1, +∞) . Decresc. em [−1, 1) ; M´aximo local em x = −1 . Concav. para cima em (−∞, −2) . Para baixo em (−2, 1) e (1, +∞) . Inflex˜ao em P (−2, f (−2)) .
Ass´ıntota horizontal: y = 0 , pois lim
x→±∞ f (x) = 0 .
Ass´ıntota vertical: x = 1 , pois lim
x→1f (x) = −∞ .
(b) g(x) = x · ln(x2)
Pontos cr´ıticos: x = −1/e ou x = 1/e (onde g0 = 0 );
Crescente em (−∞, −1/e] e [1/e, +∞) . Decrescente em [−1/e, 0) e (0, 1/e] . M´aximo local em x = −1/e e m´ınimo em x = 1/e .
Concavidade para baixo em (−∞, 0) e para cima em (0, +∞) . Ass´ıntotas horizontais: n˜ao possui ( lim
x→+∞ g(x) = +∞ e x→−∞lim g(x) = −∞ ).
Ass´ıntotas verticais: n˜ao possui ( lim
• P´agina 113: Coletˆanea 4 Quest˜ao 1) (a) ∆l ≈ ± π/90 m. (b) ln(3, 99) ≈ 1, 3838 . Quest˜ao 2) (a) vm[0, e3− 1 2 ] = 3 m/s (b) v(0) = 0 m/s ; v( e3− 1 2 ) = 4e3− 1 e3 m/s (c) a(0) = 4 (m/s)/s. (d) lim t→+∞v(t) = +∞ e t→+∞lim a(t) = 0 .
Quest˜ao 3) (a) d0 = 25 km/h ao meio-dia. (b) S0 = 1200 km2/h ao meio-dia.
Quest˜ao 4) (a) A ´area total cercada ´e a menor poss´ıvel quando y = 4
4 + π ´e o per´ımetro da ´area quadrada e x = π
4 + π ´e o per´ımetro da ´area circular.
(b) A ´area total cercada ´e a maior poss´ıvel quando toda a cerca ´e utilizada para cercar uma ´unica ´area circular.
Quest˜ao 5) (a) f (x) = e
x
x3
Ponto cr´ıtico: x = 3 (f0(3) = 0) ;
Decresc. em (−∞, 0) e (0, 3] . Crescente em [3, +∞) ; M´ınimo local em x = 3 . Concavidade para baixo em (−∞, 0) e para cima em ; (0, +∞) .
Ass´ıntota horizontal: y = 0 , pois lim
x→−∞ f (x) = 0 . x→+∞lim f (x) = +∞ .
Ass´ıntota vertical: x = 0 , pois lim
x→0+ f (x) = +∞ e x→0lim−f (x) = −∞ .
(b) g(x) =√3
1 − x2
Pontos cr´ıticos: x = 0 (g0(0) = 0) , x = −1 (@ g0(−1) ) ou x = 1 (@ g0(1) ) . Decrescente em [0, +∞) e crescente em (−∞, 0] . M´aximo em x = 0 . Concavidade para baixo em (−1, 1) e para cima em (−∞, −1) e (1, +∞) . Inflex˜oes em P (−1, 0) e Q(1, 0) .
Ass´ıntotas horizontais: n˜ao possui ( lim
x→±∞ g(x) = −∞ ).
• P´agina 114: Coletˆanea 5
Quest˜ao 1) (a) 10% (aumento percentual aproximado no volume) (b) ln(8, 1) ≈ 2, 0919 .
Quest˜ao 2) (a) vm[0, 2] = e4− 1 2e4 m/s e v(1) = 2 e m/s. vm[0, 2] < v(1) . (b) lim
t→+∞v(t) = 0 . (c) t→+∞lim s(t) = 3 . A maior distˆancia do objeto `a posi¸c˜ao inicial
N ˜AO ´E ATINGIDA em momento algum, pois s(t) < 3 ∀ t e lim
t→+∞s(t) = 3 . Quest˜ao 3) θ0 = 1 4 rad/s quando x = √ 3 m. Quest˜ao 4) h = √ 3 2 m e r = √ 6
2 m para que o volume do cilindro seja m´aximo.
Quest˜ao 5) (a) f (x) = 2x
2
1 + x2
Ponto cr´ıtico: x = 0 (f0(0) = 0) ;
Decrescente em (−∞, 0] e crescente em [0, +∞) . M´ınimo local (absoluto) em x = 0 . Concavidade para baixo em (−∞, −√3/3) e (√3/3, +∞) .
Concavidade para cima em (−√3/3,√3/3) .
Inflex˜oes em P (−√3/3, f (−√3/3)) e Q(√3/3, f (√3/3)) . Ass´ıntota horizontal: y = 2 pois lim
x→±∞ f (x) = 2 .
A Integral Definida
3.1
Motiva¸c˜ao
Consideremos o problema geom´etrico de obter ´area de figuras n˜ao t˜ao regulares como os pol´ıgonos da geometria cl´assica, por exemplo. Vamos considerar inicialmente o seguinte caso:
Seja f : [a, b] → IR uma fun¸c˜ao cont´ınua, com f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] .
Vamos tentar obter a ´area S da regi˜ao delimitada pelas retas x = a e x = b , pelo eixo das abscissas e pelo gr´afico de f :
Uma primeira estimativa (e bem “grosseira”) :
Se m ´e o valor m´ınimo absoluto de f em [a, b] e M ´e o valor m´aximo absoluto de f em [a, b], temos:
Refinando nossas estimativas:
Fixemos n ∈ IN . Vamos agora subdividir nosso intervalo [a, b] em n sub-intervalos de comprimento ∆x = (b − a)
n cada um.
Para cada i = 1, 2, . . . , n , sejam mi e Mi o m´ınimo e o m´aximo absoluto de f no
i-´esimo intervalo. Temos ent˜ao:
´ E claro que m(b − a) ≤ m1∆x + . . . + mn∆x | {z } ≤ S ≤ M1∆x + . . . + Mn∆x | {z } ≤ M (b − a) n X i=1 mi∆x n X i=1 Mi∆x
(Soma inferior) (Soma superior)
Quanto maior o nosso n´umero n de divis˜oes, melhores s˜ao as aproxima¸c˜oes de S “POR FALTA” , dadas por
n
X
i=1
mi∆x , ou “POR EXCESSO” , dadas por n
X
i=1
Mi∆x .
⇓
ID´EIA: fazer n → ∞ (ou seja, ∆x = b − a n → 0 ) ⇓ A expectativa ´e que lim ∆x→0 n X i=1 mi∆x = S = lim ∆x→0 n X i=1 Mi∆x