Em alguns problemas, podemos ter v´arias grandezas relacionadas atrav´es de equa¸c˜oes. Exemplos:
(A) Uma escada com 5 m de comprimento est´a inclinada e apoiada numa parede vertical. Sua base, apoiada no ch˜ao, est´a sendo empurrada na dire¸c˜ao da parede a uma velocidade de 0,5 m/s. Qual a velocidade com que a ponta da escada (apoiada na parede) se move quando a base est´a a 4 m da parede ?
(B) Infla-se um bal˜ao esf´erico de tal modo que seu volume aumenta `a raz˜ao de 5 dm3/min. A
(C) Um tanque de ´agua com a forma de cone invertido e altura igual ao diˆametro est´a sendo enchido `a raz˜ao de 3 m3/s. Qual a velocidade com que o n´ıvel de ´agua sobe, quando a parte cheia com ´agua tem 2 m de altura ?
(D) Um farol, situado a 1000 m de uma costa (praticamente) reta est´a girando com uma velocidade de 3 rpm (rota¸c˜oes por minuto). Qual a velocidade da luz do farol na regi˜ao costeira quando o ˆangulo entre o feixe de luz e a perpendicular do farol `a praia ´e de π/4 rad ?
Exerc´ıcios:
1) Um papagaio de papel est´a voando a uma altura de 40m. Um garoto est´a empinando o papagaio de tal modo que este se move horizontalmente a uma raz˜ao de 3m/seg. Se a linha est´a esticada, com que raz˜ao deve o garoto dar linha quando o comprimento da corda solta ´e 50m ?
2) Um carro que viaja `a raz˜ao de 30m/seg aproxima-se de um cruzamento. Quando o carro est´a a 120m do cruzamento, um caminh˜ao que viaja a 40m/seg atravessa o cruzamento. O carro e o caminh˜ao est˜ao em estradas que formam ˆangulos retos uma com a outra. Com que rapidez separam-se o carro e o caminh˜ao 2 segundos depois que o caminh˜ao passou pelo cruzamento ?
3) De um orif´ıcio em um recipiente vaza areia, que forma um monte cˆonico cuja altura ´e sempre igual ao raio da base. Se a altura aumenta `a raz˜ao de 6 pol/min, determine a taxa de vazamento da areia quando a altura da pilha ´e 10 pols.
4) Uma lˆampada colocada em um poste est´a a 5m de altura. Se um homem de 2m de altura caminha afastando-se da lˆampada `a raz˜ao de 1m/seg, com que rapidez se move a extremidade de sua sombra no instante em que ele est´a a 4m do poste ? Com que rapidez se alonga sua sombra neste instante ? Qual velocidade ´e a maior, a da extremidade da sombra ou a de alongamento da sombra ? O que ocorre em outros instantes ?
5) A Lei de Boyle para os gases afirma que p.v = c, onde p ´e a press˜ao, v ´e o volume e c uma constante. Em certo instante, o volume ´e de 75 pols3, a press˜ao 30 lbs/pol2 e a press˜ao
decresce `a raz˜ao de 2 lbs/pol2 por minuto. Qual a taxa de varia¸c˜ao do volume neste instante ?
6) Um ponto P (x, y) se move sobre o gr´afico da equa¸c˜ao y = ln(x3) (x > 0) e sua abscissa
x varia `a raz˜ao de 0,5 unidade por segundo. A ordenada y tamb´em varia a uma raz˜ao fixa ? Qual a taxa de varia¸c˜ao da ordenada no ponto (e, 3) ?
7) Quando duas resistˆencias el´etricas R1 e R2 s˜ao ligadas em paralelo, a resistˆencia total
R ´e dada por 1/R = (1/R1) + (1/R2). Se R1 e R2 aumentam `a raz˜ao de 0,01 ohms/s e 0,02
ohms/s, respect., qual a taxa de varia¸c˜ao de R no instante em que R1 = 30 ohms e R2 = 90
ohms ?
8) Uma vara de metal tem a forma de um cilindro circular reto. Ao ser aquecida, seu comprimento aumenta `a taxa de 0,005 cm/min e seu diˆametro cresce `a raz˜ao de 0,002 cm/min. Qual a taxa de varia¸c˜ao do volume quando o comprimento ´e 40 cm e o diˆametro ´e 3 cm ?
9) Uma escada com 6 m de comprimento est´a apoiada em um dique inclinado a 60◦ em rela¸c˜ao `a horizontal. Se a base da escada est´a sendo movida horizontalmente na dire¸c˜ao do
dique `a raz˜ao de 1 m/s, com que rapidez move-se a parte superior da escada (apoiada no dique), quando a base estiver a 4 m do dique ?
10) Um avi˜ao voa a uma altura constante de 5000 p´es ao longo de uma reta que o levar´a diretamente a um ponto acima de um observador no solo. Se, em dado instante, o observador nota que o ˆangulo de eleva¸c˜ao do avi˜ao ´e de 60◦e aumenta `a raz˜ao de 1◦por segundo, determine a velocidade do avi˜ao neste instante.
11) Um triˆangulo is´osceles tem os dois lados iguais com 6 pols cada um. Se o ˆangulo entre os lados iguais varia `a raz˜ao de 2◦ por min, com que velocidade varia a ´area do triˆangulo quando θ = 30◦?
12) A luz de um farol localizado a 1/8 de milha do ponto mais pr´oximo P de uma estrada retil´ınea est´a sobre um carro que percorre a estrada com a velocidade de 50 milhas por hora, se afastando de P. Determine a taxa de rota¸c˜ao do farol no instante em que o carro est´a a 1/4 de milha do farol.
13) Uma escada de 5 m de altura est´a apoiada numa parede vertical. Se a parte inferior da escada ´e puxada horizontalmente para fora da parede de tal forma que o topo da escada escorrega `a raz˜ao de 3 m/s, com que velocidade est´a variando a medida do ˆangulo entre a escada e o solo quando a parte inferior da escada est´a a 3 m da parede ?
14) Um homem num cais est´a puxando um bote `a raz˜ao de 2 m/s por meio de uma corda (esta ´e a velocidade com que puxa a corda). As m˜aos do homem est˜ao a 30 cm do n´ıvel do ponto onde a corda est´a presa no bote. com que velocidade varia a medida do ˆangulo de deflex˜ao da corda (entre a corda e o movimento do bote) quando o comprimento da corda ´e de 50 cm ?
15) Um quadro de 40 cm de altura est´a colocado numa parede, com sua base a 30 cm acima do n´ıvel dos olhos de um observador. Se o observador se aproximar da parede `a raz˜ao de 4 m/s, com que velocidade varia a medida do ˆangulo subtendido pelo quadro a seus olhos, quando o observador estiver a 1 m da parede ?
16) Despeja-se ´agua num recipiente de forma cˆonica `a raz˜ao de 8 cm3/min. O cone tem
20 cm de profundidade e 10 cm de diˆametro em sua parte superior. Com que velocidade deve aumentar a profundidade da ´agua no recipiente quando a ´agua estiver a 16 cm do fundo ? Suponhamos agora que se tenha a informa¸c˜ao adicional de que existe um furo no fundo, pelo qual a ´agua escoa, e que a ´agua est´a subindo `a raz˜ao de 1/8π cm/min neste instante (quando a ´agua est´a a 16 cm do fundo). Com que velocidade a ´agua est´a escoando ?