Notas de aulas. André Arbex Hallack

(1)

Notas de aulas

Andr´

e Arbex Hallack

(2)

(3)

0 Preliminares 1

0.1 N´umeros reais . . . 1

0.2 Rela¸c˜ao de ordem em IR . . . 3

0.3 Valor absoluto . . . 6

0.4 Fun¸c˜oes . . . 7

0.5 Fun¸c˜oes exponenciais e logar´ıtmicas . . . 13

0.6 Fun¸c˜oes trigonom´etricas . . . 17

1 A Derivada 21 1.1 Motiva¸c˜ao . . . 21

1.2 Limites . . . 24

1.3 Teoremas para (ajudar no) c´alculo de limites . . . 27

1.4 Continuidade . . . 35

1.5 A defini¸c˜ao da Derivada . . . 38

1.6 Derivadas e continuidade . . . 42

1.7 Regras de deriva¸c˜ao . . . 43

1.8 Deriva¸c˜ao impl´ıcita . . . 50

2 Aplica¸c˜oes da Derivada 65 2.1 Acr´escimos e diferenciais . . . 65

2.2 A Derivada como raz˜ao de varia¸c˜ao . . . 70

2.3 Taxas relacionadas . . . 77

2.4 Alguns resultados importantes . . . 81 i

(4)

2.6 Aplica¸c˜oes em problemas de m´aximos e/ou m´ınimos . . . 89

2.7 Aplica¸c˜oes nos esbo¸cos de gr´aficos . . . 92

2.8 Apˆendice A : Limites no infinito . . . 94

2.9 Apˆendice B : Limites infinitos . . . 97

2.10 Apˆendice C : Formas indeterminadas e a Regra de L’Hopital . . . 101

2.11 Apêndice D: Aproxima¸cões via Polinômios de Taylor . . . 105

3 A Integral Definida 123 3.1 Motiva¸c˜ao . . . 123

3.2 Somas de Riemann e a defini¸c˜ao da Integral Definida . . . 126

3.3 Propriedades da Integral Definida . . . 127

3.4 O Teorema Fundamental do C´alculo . . . 129

3.5 Integrais Indefinidas . . . 134

3.6 Mudan¸ca de vari´avel na integra¸c˜ao . . . 135

4 Técnicas de integra¸cão 145 4.1 Integra¸cão por partes . . . 145

4.2 Algumas integrais trigonom´etricas . . . 148

4.3 Substitui¸c˜oes trigonom´etricas . . . 151

4.4 Integrais de fun¸c˜oes racionais (Fra¸c˜oes Parciais) . . . 154

4.5 Integrais impr´oprias . . . 158

5 Aplica¸c˜oes geom´etricas da Integral Definida 169 5.1 Areas de regi˜´ oes planas . . . 169

5.2 Volumes de (alguns) s´olidos de revolu¸c˜ao . . . 173

(5)

Preliminares

0.1 N´

umeros reais

Ao longo deste curso iremos trabalhar sobretudo com o conjunto IR dos n´umeros reais, os quais identificamos geometricamente com os pontos de uma reta (orientada), a “reta real”:

Vejamos agora alguns conjuntos de números reais nessa identifica¸cão: IN = { 1, 2, 3, . . . } (números naturais) ⊂ IR

∩

Z = { . . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } (n´umeros inteiros) ⊂ IR ∩

Q = { p/q ; p, q ∈ Z , q 6= 0 } (n´umeros racionais) ⊂ IR

Temos ainda números reais que não são racionais. São os chamados números irracionais. Alguns exemplos:

(A) Consideremos um triângulo retângulo cujos catetos medem 1: Do Teorema de Pitágoras, temos a2 _{= b}2_{+ c}2 _{= 2 .}

Portanto a = √2 (e √2 n˜ao ´e racional).

(6)

(B) Outro n´umero irracional famoso:

FATO: A razão entre o comprimento e o diâmetro de qualquer circunferência é constante. Essa razão é um número chamado π .

Assim, se C ´e qualquer circunferˆencia, l o seu comprimento e r seu raio, temos: l

2r = π π ´e um n´umero irracional ( π ≈ 3, 141592 )

Obs.: Existem muito mais n´umeros irracionais do que racionais !

Opera¸

c˜

oes b´

asicas em IR

Existem em IR duas opera¸c˜oes b´asicas:

ADIÇ ÃO: a ∈ IR, b ∈ IR 7−→ a + b ∈ IR (soma) MULTIPLICAÇ ÃO: a ∈ IR, b ∈ IR 7−→ a · b ∈ IR (produto)

Essas opera¸c˜oes possuem as seguintes propriedades:

COMUTATIVIDADE: a + b = b + a a · b = b · a

quaisquer que sejam a, b ∈ IR.

ASSOCIATIVIDADE: a + (b + c) = (a + b) + c a · (b · c) = (a · b) · c

quaisquer que sejam a, b e c ∈ IR.

EXIST ˆENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS: a + 0 = a a · 1 = a

para todo a ∈ IR.

EXIST ˆENCIA DE INVERSOS:

Todo a ∈ IR possui um INVERSO ADITIVO (−a) ∈ IR tal que a + (−a) = 0 .

Todo a 6= 0 em IR possui um INVERSO MULTIPLICATIVO a−1 ∈ IR tal que a · a−1 _{= 1 .}

(7)

Conseqüências: (das propriedades) 1) Duas novas opera¸cões:

Subtra¸c˜ao: Dados a, b ∈ IR, definimos: a − b = a + (−b) ; Divis˜ao: Dados a, b ∈ IR, com b 6= 0, definimos: a

b = a · b

−1

. 2) a · 0 = 0 para todo a ∈ IR .

3) Se a · b = 0 , ent˜ao a = 0 ou b = 0 .

4) Cada a ∈ IR possui um ´unico inverso aditivo −a ∈ IR.

Cada a 6= 0 em IR possui um ´unico inverso multiplicativo a−1 ∈ IR . 5) −a = (−1) · a para todo a ∈ IR.

6) a−1 = 1

a para todo a 6= 0 em IR.

7) Para todos a, b ∈ IR , temos: a · (−b) = (−a) · b = −(a · b) e (−a) · (−b) = a · b . 8) Se a2 _{= b}2 _ent˜_{ao a = ±b .}

0.2 Rela¸

c˜

ao de ordem em IR

Podemos decompor a reta IR como uma uni˜ao disjunta IR = IR+∪ IR−∪ { 0} :

IR+ é o conjunto dos números reais POSITIVOS; IR− é o conjunto dos números reais NEGATIVOS. De modo que:

• Dado a ∈ IR, ocorre uma, e apenas uma, das seguintes alternativas: ou a ∈ IR+ ou a = 0 ou a ∈ IR−

• a ∈ IR+ _{⇔ −a ∈ IR}−

;

• A soma de dois números positivos é um número positivo. O produto de dois números positivos é um número positivo.

(8)

Dados números reais a e b, escrevemos a a ) e dizemos que a é menor do que b (ou b é maior do que a ) quando b − a ∈ IR+, ou seja, b − a é um número positivo:

Propriedades da rela¸c˜ao de ordem: 1) Se a < b e b < c ent˜ao a < c .

2) Se a, b ∈ IR ent˜ao a = b ou a b . 3) Se a < b ent˜ao a + c < b + c para todo c ∈ IR.

4) Se a 0 ⇒ a · c b · c 5) Se a 0 ent˜ao 1 a > 0 . 8) Se 0 < a < b ent˜ao 0 < 1 b < 1 a .

Intervalos: Dados n´umeros reais a < b , definimos:

(a, b) = { x ∈ IR ; a < x < b }

[a, b] = { x ∈ IR ; a ≤ x ≤ b }

(a, b] = { x ∈ IR ; a < x ≤ b }

(9)

(a, +∞) = { x ∈ IR ; x > a }

[a, +∞) = { x ∈ IR ; x ≥ a }

(−∞, b) = { x ∈ IR ; x < b }

(−∞, b] = { x ∈ IR ; x ≤ b }

(−∞, +∞) = IR

• Aten¸cão: +∞ e −∞ não são números reais ! São apenas s´ımbolos !

Conjuntos limitados:

Um subconjunto X ⊂ IR ´e dito LIMITADO quando existem n´umeros reais a e b tais que, para todo x ∈ X tem-se a ≤ x ≤ b .

Isto significa que X ⊂ [a, b] , com a, b ∈ IR . (Exemplos)

Observa¸c˜oes:

(A) Todo conjunto finito ´e limitado.

(B) CUIDADO ! N ˜AO CONFUNDA ILIMITADO COM INFINITO ! Podemos ter conjuntos infinitos que sejam limitados.

(C) FATO: O conjunto IN = { 1, 2, 3, 4, . . .} dos números naturais N ÃO É limitado. Conseqüências importantes deste fato:

(C.1) Propriedade arquimediana: Dados números reais a e b , com a > 0 , é poss´ıvel obter um número natural n ∈ IN tal que n · a > b .

⇓

(C.2) Densidade dos racionais: Dados dois números reais a e b quaisquer, com a < b , é poss´ıvel obter um n´_{umero RACIONAL r = p/q ∈ Q (p, q ∈ Z, q 6= 0) tal que a < r < b} (por menor que seja a distância entre a e b ).

(10)

A “densidade dos racionais” nos permite concluir que, dado qualquer número real x (mesmo irracional), é poss´ıvel obter uma seqüência de números RACIONAIS que se aproximam de x tanto quanto quisermos !!!

Exemplos: 1) π = 3, 141592 . . . 3 3, 1 = 31 10 3, 14 = 314 100 3, 141 = 3141 1000 3, 1415 = 31415 10000 . . . −→ π 2) Tome um n´umero racional r1 > 0 e considere:

r2 = 1 2 r1+ 3 r1 ∈ Q (r2 > 0 , r22 > 3 ) ↓ r3 = 1 2 r2+ 3 r2 ∈ Q (r2 ≥ r3 > 0 , r32 > 3 ) ↓ r4 = 1 2 r3+ 3 r3 ∈ Q (r2 ≥ r3 ≥ r4 > 0 , r42 > 3 ) ↓ .. . ↓ rn+1= 1 2 rn+ 3 rn ∈ Q (rn ≥ rn+1> 0 , rn+12 > 3 ) ↓ .. .

Esta seq¨uˆencia de racionais (r1, r2, r3, . . . ) se aproxima (cada vez mais) de um certo

n´umero real. Qual ?

Tente generalizar esse processo !

0.3 Valor absoluto

Dado qualquer n´umero real x , definimos o VALOR ABSOLUTO DE x (ou M ´ODULO DE x ) da seguinte forma:

|x| = (

x se x ≥ 0 −x se x < 0

Geometricamente (na Reta), o valor absoluto de um número real x é a distância de x até o 0 (zero). (Exemplos)

(11)

Propriedades:

1) Para todo x ∈ IR temos |x| = max {x, −x} (o maior dos dois valores). 2) Para todo x ∈ IR temos |x|2 = x2 _.

3) |a · b| = |a| · |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR . 4) |a + b| ≤ |a| + |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .

5) Seja c > 0 : |x| ≤ c ⇔ −c ≤ x ≤ c

|x| ≥ c ⇔ x ≤ −c ou x ≥ c

0.4 Fun¸

c˜

oes

• Defini¸cão: Uma fun¸cão f : X → Y é constitu´ıda de:

(a) Um conjunto X chamado o DOMÍNIO da fun¸cão (onde a fun¸cão está definida)

(b) Um conjunto Y chamado o CONTRA-DOMÍNIO da fun¸cão (onde f “toma os valores”) (c) Uma correspondência que associa, de modo bem determinado, a CADA elemento x ∈ X um ÚNICO elemento f (x) = y ∈ Y .

Obs.: Estaremos interessados em estudar fun¸cões tais que X e Y são conjuntos de números reais. Por isso vamos sempre considerar este caso de agora em diante.

• Imagem: Dada uma fun¸c˜ao f : X → Y , sua IMAGEM ´e o conjunto f (X) = { f (x) ; x ∈ X } ⊂ Y

• Os elementos do dom´ınio são representados por uma VARI ÁVEL INDEPENDENTE. Os elementos da imagem são representados por uma VARI ÁVEL DEPENDENTE.

• Gráfico: O GR ÁFICO de uma fun¸cão f : X → Y é o conjunto dos pontos (x, y) do Plano Cartesiano tais que y = f (x) , com x ∈ X .

• Fun¸cões limitadas: Uma fun¸cão f : X → Y é dita LIMITADA quando sua imagem f (X) é um conjunto limitado. Em geral, é dita LIMITADA EM A ⊂ X quando f (A) é um conjunto limitado.

(12)

• Fun¸cões crescentes ou decrescentes: Uma fun¸cão f : X → Y é dita ... ... CRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f (x1) < f (x2) .

... DECRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f (x1) > f (x2) .

(Obs.: o mesmo tipo de defini¸cão se aplica também a subconjuntos do dom´ınio - por exemplo, podemos dizer que uma certa fun¸cão é crescente ou decrescente em um determinado intervalo dentro do dom´ınio).

Exemplos:

(A) f1 : IR → IR dada por f1(x) = −x2+ 4 .

(B) f2 : [1, 3] → IR dada por f2(x) = −x2+ 4 .

(C) f3 : IR → IR dada por f3(x) = |x| .

(D) f4 : IR → IR dada por f4(x) = |−x2+ 4| .

(E) f5 : [−1, 1] → [0, +∞) dada por f5(x) =

√

1 − x2 _.

(F) f6 : [−1, 1] → IR que associa x 7→ y tais que x2+ y2 = 1 N ÃO É UMA FUNÇ ÃO

BEM DETERMINADA. (G) f7 : IR → IR dada por f7(x) =          1 x se x > 1 4 −3 se x ≤ 1 4 (H) f8 : (−∞, 0) ∪ (1, 2] → IR dada por f8(x) = x .

(I) f9 : IR → IR dada por f9(x) = −2x + 1 .

(J) f10 : [0, +∞) → IR dada por f10(x) = −

√ x .

(13)

• Máximos e m´ınimos: Dizemos que uma fun¸cão f : X → Y assume VALOR M ÁXIMO ABSOLUTO (ou GLOBAL) em um ponto c ∈ X quando f (x) ≤ f (c) para todo x ∈ X . Neste caso f (c) é chamado VALOR M ÁXIMO ABSOLUTO DE f .

Quando existir um intervalo (a, b) contendo c ∈ X tal que f (x) ≤ f (c) para todo x ∈ (a, b) ∩ X , então c é dito um PONTO DE M ÁXIMO RELATIVO (ou LOCAL) e f (c) ´

e um VALOR M ´AXIMO RELATIVO DE f .

De modo análogo, definimos também MÍNIMOS ABSOLUTOS (GLOBAIS) E MÍNIMOS RELATIVOS (LOCAIS).

(Ilustra¸c˜ao)

Exemplo: f4 : IR → IR dada por f4(x) = |−x2+ 4| .

Observa¸c˜oes:

(i) Todo máximo (m´ınimo) absoluto é máximo (m´ınimo) local.

(ii) Uma fun¸cão PODE N ÃO ASSUMIR valores máximos ou m´ınimos.

Exerc´ıcio: Para cada uma das fun¸c˜oes dos exemplos anteriores (Exemplos (A)-(J)), deter-mine seus pontos e valores m´aximos e m´ınimos, se existirem.

• Constru¸cão de fun¸cões através de opera¸cões: Sejam f, g : X → IR fun¸cões definidas num mesmo dom´ınio X ⊂ IR .

A partir de f e g vamos construir novas fun¸c˜oes (f + g), (f − g), (f · g) : (f + g) : X → IR dada por (f + g)(x) = f (x) + g(x) (f − g) : X → IR dada por (f − g)(x) = f (x) − g(x)

(14)

Para ilustrar, consideremos a fun¸cão indentidade f : IR → IR dada por f (x) = x e fun¸cões constantes do tipo gc : IR → IR dadas por gc(x) = c (cada c é um número real

qualquer, fixado).

Utilizando a fun¸cão identidade e fun¸cões constantes, podemos construir (através das opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão) um importante tipo de fun¸cão p : IR → IR chamada FUNÇ ÃO POLINOMIAL:

p(x) = anxn+ an−xn−1+ . . . + a2x2+ a1x + a0 para todo x ∈ IR

an, an−1, . . . , a2, a1, a0 ∈ IR , an6= 0

(essa ´e dita uma fun¸c˜ao polinomial de grau n) (Exemplos)

Se quisermos utilizar a opera¸cão de divisão, temos que tomar o cuidado para evitar “divisões por 0 (zero)”.

Assim, dadas f, g : X → IR e sendo Z = { x ∈ X ; g(x) = 0 } , podemos definir: (f /g) : X − Z → IR pondo (f /g)(x) = f (x)

g(x)

Para ilustrar, temos as chamadas FUNÇ ÕES RACIONAIS, dadas pelo quociente de fun¸cões polinomiais: p, q : IR → IR (polinomiais) , Z = { x ∈ IR ; q(x) = 0 } ⇓ (p/q) : IR − Z → IR dada por (p/q)(x) = p(x) q(x) (Exemplos)

• Composi¸c˜ao de fun¸c˜oes:

Sejam f : X → IR e g : Y → Z fun¸c˜oes tais que f (X) ⊂ Y (a imagem de f est´a contida no dom´ınio de g).

(15)

A cada elemento de X associamos um único elemento de Z, aplicando inicialmente a fun¸cão f e depois a fun¸cão g.

Podemos pensar então em uma fun¸cão de X em Z que associa a cada elemento x ∈ X um único elemento g(f (x)) ∈ Z :

(g ◦ f ) : X −→ Z x 7−→ g(f (x)) (Exemplos)

• Invers˜ao de fun¸c˜oes:

Seja f : X → Y uma fun¸cão. A cada x ∈ X está associado um único f (x) ∈ Y .

Nos interessa a situa¸cão em que a associa¸cão inversa f (x) 7→ x é uma fun¸cão de Y em X. Para isso, f deverá possuir duas caracter´ısticas:

• f (X) = Y (a imagem de f ´e todo o conjunto Y ); • x1 6= x2 em X ⇒ f (x1) 6= f (x2) em Y .

Uma fun¸cão f : X → Y é chamada SOBREJETORA quando f (X) = Y , ou seja, a imagem de f é todo o contradom´ınio Y . (Exemplos)

Uma fun¸cão f : X → Y é chamada INJETORA quando elementos distintos do dom´ınio têm sempre imagens distintas, ou seja, x1 6= x2 em X ⇒ f (x1) 6= f (x2) em Y . (Exemplos)

Uma fun¸cão f : X → Y é INVERTÍVEL quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo (BIJETORA). Neste caso existe uma FUNÇ ÃO g : Y → X que associa y 7→ g(y) e tal que g(f (x)) = x ∀ x ∈ X e f (g(y)) = y ∀ y ∈ Y .

g é dita A INVERSA DA FUNÇ ÃO f e escrevemos g = f−1 .

(16)

Exerc´ıcio: Para cada uma das fun¸cões dadas posteriormente, fa¸ca o que se pede: a) Fa¸ca um esbo¸co do GR ÁFICO da fun¸cão.

b) Obtenha o conjunto IMAGEM e responda se a fun¸cão dada é LIMITADA ou não. c) Em que partes de seu dom´ınio a fun¸cão é CRESCENTE ou DECRESCENTE ? d) Determine pontos e valores M ÁXIMOS ou MÍNIMOS (quando existirem). e) A fun¸cão é INJETORA ? Justifique.

f) A fun¸c˜ao ´e SOBREJETORA ? Justifique.

g) Se a fun¸cão dada for INVERTÍVEL, determine sua INVERSA e fa¸ca um esbo¸co do GR ÁFICO DA FUNÇ ÃO INVERSA.

1) f1 : IR → IR dada por f1(x) = 3x − 1 . 2) g1 : IR → IR+∪ {0} dada por g1(x) = |3x − 1| . 3) h1 : IR → IR dada por h1(x) = −x2+ 9 . 4) p1 : (0, 3] → (0, 6] dada por p1(x) = 2x . 5) q1 : (−∞, 5] → IR dada por q1(x) = ( x2 se x < 1 −x + 2 se x ≥ 1 . 6) r1 : [0, +∞) → IR+∪ {0} dada por r1(x) = |x2− 3x| . 7) s1 : IR → IR dada por s1(x) = x2+ 2 . 8) u1 : [−2, 3] → IR dada por u1(x) = x2+ 2 . 9) v1 : IR+→ IR+ dada por v1(x) = x2 . 10) f2 : IR → IR dada por f2(x) = − |x| . 11) g2 : IR → IR dada por g2(x) = − x 3 + 1 .

(17)

12) h2 : (−3, +∞) → IR dada por h2(x) = − x 3 + 1 . 13) p2 : IR+∪ {0} → IR−∪ {0} dada por p2(x) = − √ 2x . 14) q2 : IR → IR dada por q2(x) = ( 1 se 1 ≤ x ≤ 3 0 se x < 1 ou x > 3 . 15) r2 : IR → IR dada por r2 = q2.s1 . 16) s2 : IR → IR dada por s2(x) = ( 1/x se x 6= 0 0 se x = 0 . 17) u2 : IR → [−1, +∞) dada por u2(x) =      √ −x se x < 0 −1/2 se x = 0 √ x − 1 se x > 0 . 18) v2 : (−∞, −1) ∪ [0, +∞) → IR dada por v2(x) = ( −π se x < −1 x2 se x ≥ 0 . 19) f3 : (−1, 1] → IR dada por f3(x) = 1 − √ 1 − x2 _.

0.5 Fun¸

c˜

oes exponenciais e logar´ıtmicas

Revis˜

ao:

a ∈ IR , n = 1, 2, 3, . . . ⇒ an= a · a · a · . . . · a (n vezes). a 6= 0 ⇒ a0 _{= 1 e a}−n₌ 1 an (n = 1, 2, 3, . . .) . n PAR e a ≥ 0 : b = √n_{a ⇔ b}n _{= a , b ≥ 0 .} n ´IMPAR e a ∈ IR : b = √n_{a ⇔ b}n _{= a .}

Definimos potˆencias RACIONAIS de n´umeros reais positivos do seguinte modo: a > 0 , p, q inteiros , q 6= 0 ⇒ ap/q =√qap

(18)

Nos interessa agora definir ax, com x ∈ IR (qualquer, mesmo irracional). Para isso consideremos a > 0 .

Se x ´e racional, j´a temos ap/q =√q

ap _.

Se x é IRRACIONAL, sabemos que é poss´ıvel obter uma seqüência de racionais r1, r2, r3, . . .

que se aproxima de x tanto quanto quisermos:

r1, r2, r3, . . . −→ x

FATO: A seq¨uˆencia ar1_{, a}r2_{, a}r3_{, . . . se aproxima de um n´}_{umero real, o qual}

DEFINI-MOS como ax _.

Temos ent˜ao a nossa fun¸c˜ao exponencial de base a:

• Fixado a > 0 em IR, a fun¸c˜ao fa: IR → IR+ dada por fa(x) = ax para todo x ∈ IR

é chamada FUNÇ ÃO EXPONENCIAL DE BASE a.

Propriedades: ax· ay _{= a}x+y _, _(ax₎y _{= a}x·y _, _{(a · b)}x _{= a}x_{· b}x _, _a0 _{= 1} Gráfico: Crescimento ou decrescimento: fa(x) = ax é ( CRECENTE se a > 1 DECRESCENTE se a < 1 Inversa: Se a 6= 1 então fa : IR → IR+ x 7→ ax ´

e SOBREJETORA e INJETORA,

ad-mitindo portanto uma fun¸c˜ao inversa f_a−1 : IR+ → IR y 7→ f_a−1(y)

(19)

f_a−1 é chamada FUNÇ ÃO LOGARÍTMICA DE BASE a e escrevemos f_a−1(y) = log_ay . Temos então: y = ax ⇔ x = log_ay .

x 7−→ afa x = y f −1 a 7−→ x = log_ay = log_aax y f −1 a 7−→ x = log_ay 7−→ y = afa x = alogay

• Fixado a > 0 , a 6= 1 em IR, temos a fun¸c˜ao f_a−1 : IR+ → IR dada por f−1

a (y) = logay .

Propriedades:

log_a(x · y) = log_ax + log_ay , log_a(xy) = y · log_ax , log_a1 = 0

Gr´afico:

Um n´

umero especial

(A) S´eries num´ericas:

Uma SÉRIE NUMÉRICA é uma soma x1+ x2+ x3+ . . . com uma quantidade INFINITA

de parcelas.

ATENÇ ÃO: Uma série pode representar ou não um número real bem definido !!! Para vermos isso, precisamos observar o comportamento das chamadas somas parciais:

s1 = x1

s2 = x1+ x2

s3 = x1+ x2 + x3

.. .

(20)

Quando a seqüência s1, s2, s3, . . . se aproxima tanto quanto desejarmos de um número

a ∈ IR `a medida que n cresce, dizemos que a s´erie CONVERGE PARA a e escrevemos x1+ x2+ x3+ . . . = a

Caso contrário a série é chamada DIVERGENTE (a soma não é um número real bem definido).

Exemplos:

1) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + . . . ´e uma s´erie DIVERGENTE. s1 = 1 s2 = 1 + 1 = 2 s3 = 1 + 1 + 1 = 3 .. . sn= n .. .

A seqüência s1, s2, s3, . . . não se aproxima de nenhum número real em particular.

Por-tanto a s´erie ´e divergente.

2) Se r ∈ IR e |r| < 1 , sabemos que 1 + r + r2+ r3+ . . . = 1 1 − r (CONVERGENTE!) Em particular: 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16+ . . . = 1 1 − 1₂ = 1 1 2 = 2 3) 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1

5 + . . . (série harmônica) é uma série DIVERGENTE. 4) π 2 − 1 3! π 2 3 + 1 5! π 2 5 − 1 7! π 2 7 + . . . = 1 (CONVERGENTE)

5) 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . ´e uma s´erie DIVERGENTE.

(B) S´eries de termos n˜ao-negativos:

Vamos considerar s´eries x1+ x2+ x3+ . . . tais que xn ≥ 0 para todo n ∈ IN .

FATO: Uma s´erie x1+ x2+ x3+ . . . de termos n˜ao-negativos converge se, e somente se,

(21)

(C) O n´umero e : Consideremos a s´erie 1 + 1 + 1 2!+ 1 3! + 1 4! + 1 5! + . . . ´

E f´acil ver que 2 < 1 + 1 + 1 2! + 1 3!+ 1 4!+ 1 5!+ . . . < 1 + 1 + 1 2 + 1 22 + 1 23 + 1 24 + . . . = 3

Segue do FATO anterior que a s´erie 1 + 1 + 1 2! +

1 3! +

1

4!+ . . . CONVERGE para um n´umero real (entre 2 e 3), conhecido por CONSTANTE DE EULER e denotado por e .

O número real e acima definido irá desempenhar um importante papel ao longo do nosso curso de Cálculo I, no que se refere às fun¸cões exponencial e logar´ıtmica, na base e :

Exponencial: ex _{e sua inversa, a fun¸c˜}_{ao logar´ıtmica log}

ex (escrevemos log x ou ln x ).

Obs.: Outro modo de obter o n´umero e : 1 + 1 1 1 , 1 + 1 2 2 , 1 + 1 3 3 , 1 + 1 4 4 . . . −→ e

0.6 Fun¸

c˜

oes trigonom´

etricas

• Medidas de ˆangulos em radianos:

Um ângulo mede 1 RADIANO quando corresponde a um arco de circunferência (centrada no vértice do ângulo) de comprimento igual ao raio da circunferência considerada:

Assim, um ˆangulo que mede θ rad corresponde a um arco de comprimento θ · r , sendo r o raio da circunferˆencia considerada:

θ 1 =

l

r ⇒ l = θ · r

Desta forma, é fácil ver que a medida de “uma volta” em radianos é 2π rad :

(22)

• Rela¸cões trigonométricas nos triângulos retângulos: Consideremos 0 < θ < π

2 e um ângulo de θ rad em um triângulo retângulo:

sen θ = b a cos θ = c a tg θ = sen θ cos θ = b c cos 2_{θ + sen}2_{θ = 1}

• O c´ırculo trigonom´etrico:

Rela¸c˜oes:

cos2θ + sen2θ = 1 , sec2θ = 1 + tg2θ , csc2θ = 1 + ctg2θ , ctg θ = 1

tg θ ( sen θ 6= 0) • ˆAngulos not´aveis:

θ (rad) 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π sen θ 0 1₂ √ 2 2 √ 3 2 1 0 −1 0 cos θ 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 −1 0 1 tg θ 0 √ 3 3 1 √ 3 _@ 0 _@ 0

(23)

• F´ormulas de transforma¸c˜ao: 

 

cos(a + b) = cos a · cos b − sen a · sen b cos(a − b) = cos a · cos b + sen a · sen b sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a sen (a − b) = sen a · cos b − sen b · cos a          sen2a = 1 − cos 2a 2 cos2a = 1 + cos 2a 2                      cos a · cos b = 1 2 · cos(a + b) + 1 2 · cos(a − b) sen a · sen b = 1 2 · cos(a − b) − 1 2 · cos(a + b) sen a · cos b = 1 2 · sen (a + b) + 1 2 · sen (a − b)

• Fun¸c˜oes trigonom´etricas:

Fun¸c˜ao SENO:

sen : IR −→ IR x 7−→ sen x Gr´afico:

Im ( sen ) = [−1, 1]

sen (−x) = − sen x (é uma fun¸cão ÍMPAR)

(24)

A fun¸c˜ao SENO ´e ...

... CRESCENTE em [kπ − π/2 , kπ + π/2] , k PAR, k ∈ Z ... DECRESCENTE em [kπ − π/2 , kπ + π/2] , k ´IMPAR, k ∈ Z

Assume o VALOR M ´_{AXIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kπ + π/2 (k ∈ Z)} Assume o VALOR M´INIMO ABSOLUTO −1 em x = 2kπ + 3π/2 (k ∈ Z)

Se sen x 6= 0 , ent˜ao temos csc x = 1

sen x . Assim, não é dif´ıcil ver que a fun¸cão csc : IR − {kπ , k ∈ Z} → IR , que associa x 7→ csc x = 1/ sen x tem gráfico:

A fun¸cão SENO N ÃO É injetora e N ÃO É sobrejetora, mas f : [−π/2, π/2] −→ [−1, 1]

x 7−→ sen x ´

e BIJETORA

e tem portanto inversa

f−1 : [−1, 1] −→ [−π/2, π/2]

y 7−→ f−1(y) = arc sen y

Exerc´ıcio: Fa¸ca um estudo semelhante ao que fizemos com a fun¸c˜ao SENO, para as fun¸c˜oes COSSENO e TANGENTE.

(25)

A Derivada

1.1 Motiva¸

c˜

ao

Seja dada uma fun¸c˜ao f : X → Y (X, Y ⊂ IR) .

Para cada x ∈ X , a melhor maneira de se aproximar f numa vizinhan¸ca de x por uma fun¸cão cujo gráfico é uma reta é através da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x, f (x)) , se houver esta tangente.

Conseqüência: Podemos relacionar uma série de informa¸cões sobre o comportamento de f com o coeficiente angular mt da reta tangente ao gráfico de f em cada ponto (onde existir).

Por exemplo:

(A) f crescente em um intervalo ⇔ mt > 0 neste intervalo.

(26)

(B) f decrescente em um intervalo ⇔ mt< 0 neste intervalo.

(C) f assumindo m´aximo ou m´ınimo local no interior de um intervalo

)

⇒ mt = 0 no ponto de m´aximo ou m´ınimo.

(D) Concavidade do gr´afico de f

voltada para cima, em um intervalo )

⇒ mt crescente neste intervalo.

(E) Concavidade do gr´afico de f

voltada para baixo, em um intervalo )

⇒ mt decrescente neste intervalo.

Obtendo “m

t

” (coeficiente angular da reta tangente)

Dada f : X → Y (X, Y ⊂ IR) , seja a ∈ I(intervalo aberto) ⊂ X. Queremos obter o coeficiente angular mta da reta ta , tangente ao gr´afico de f no ponto (a, f (a)) :

(27)

Para fazermos isso, vamos utilizar “APROXIMAC¸ ˜OES POR RETAS SECANTES”: Para cada x 6= a (em I), temos uma reta secante sa (que depende do ponto x),

secante ao gr´afico de f , passando pelos pontos (a, f (a)) e (x, f (x)) :

Temos ent˜ao uma fun¸c˜ao msa : I − {a} → IR

x 7→ msa(x) =

f (x) − f (a) x − a

Nos interessa investigar o comportamento de msa(x) (coeficiente angular das secantes)

quando x se aproxima de a , sem assumir o valor a ( x → a ).

O esperado ´e que, quando x → a , msa(x) se aproxime tanto quanto quisermos de algum

n´umero real e teremos

msa(x) → mta ∈ IR , quando x → a

Neste caso, dizemos que a fun¸cão f é derivável no ponto a, existe a reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f (a)) e seu coeficiente angular mta é chamado a derivada de f no ponto

a (escrevemos f0(a) ).

Obs.: É fundamental, para fazermos x → a , que possamos aproximar o ponto a por uma seqüência de pontos do dom´ınio X de f , diferentes de a.

(28)

Precisamos portanto sistematizar o todo este processo, ou seja,

Dada uma fun¸c˜ao g : X → Y e um ponto a que pode ser aproximado por pontos x ∈ X , x 6= a queremos estudar o comportamento de g(x) quando x → a (x se aproxima de a por valores diferentes de a) e saber se g(x) → L ∈ IR quando x → a .

1.2 Limites

Dada uma fun¸c˜ao f : X → IR , nos interessa conhecer o comportamento de f (x) quando x se aproxima de a , x 6= a .

Para isso, a n˜ao precisa pertencer ao dom´ınio de f , mas deve ser aproximado por pontos do dom´ınio:

Defini¸cão 1.1. (Ponto de acumula¸cão): Um ponto a é chamado um PONTO DE ACUMULAÇ ÃO do conjunto X quando podemos encontrar pontos de X, diferentes de a, tão próximos de a quanto quisermos, ou seja, a pode ser aproximado por pontos de X diferentes de a.

Denotamos por X0 o conjunto dos pontos de acumula¸c˜ao de X. Exemplos:

(A) A = [−1, 3)

O conjunto dos pontos de acumula¸c˜ao de A ´e A0 = [−1, 3] . (B) B = (0, 2) ∪ (2, 3)

Temos B0 = [0, 3] . (C) C = [1, 2] ∪ (3, 5) ∪ {7}

(29)

Consideremos agora, por exemplo, a fun¸c˜ao f : IR − {1} → IR dada por

f (x) = 3x

2_{− 2x − 1}

x − 1

1 não pertence ao dom´ınio de f , mas é ponto de acumula¸cão de IR − {1} . Podemos então observar o comportamento de f (x) quando x → 1 (x se aproxima de 1, x 6= 1)

Temos:

x 0 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999 f (x) 1 3, 7 3, 97 3, 997 3, 9997

x 2 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001 f (x) 7 4, 3 4, 03 4, 003 4, 0003

Observemos que f (x) se aproxima cada vez mais de 4 `a medida que x → 1 .

Dizemos ent˜ao que 4 ´e o limite de f (x) quando x tende a 1 (x → 1) e escrevemos:

lim

x→1

3x2_{− 2x − 1}

x − 1 = 4 .

A defini¸

c˜

ao de limite

Defini¸cão 1.2. Sejam f : X → IR uma fun¸cão e a ∈ X0 (a é ponto de acumula¸cão do dom´ınio - não precisa pertencer a X).

Dizemos que um n´umero real L ´e o LIMITE de f (x) quando x tende a a , e escrevemos lim

x→a f (x) = L

quando ...

... podemos obter f (x) t˜ao pr´oximo de L quanto desejarmos, sempre que x se aproxima de a, por va-lores (no dom´ınio de f ) diferentes de a .

m TRADUZINDO

... para cada > 0 dado, ´e poss´ıvel obter um δ > 0 (em geral dependendo do ) tal que :

(30)

Alguns limites fundamentais

• Fixemos c ∈ IR e seja f1 : IR → IR dada por f1(x) = c ∀ x ∈ IR (fun¸c˜ao constante).

Para cada a ∈ IR temos:

lim

x→a f1(x) = limx→a c = c

• Seja f2 : IR → IR dada por f2(x) = x ∀ x ∈ IR (fun¸c˜ao identidade).

Para cada a ∈ IR temos:

lim

x→a f2(x) = limx→a x = a

• Seja f3 : IR → IR dada por f3(x) = sen x ∀ x ∈ IR .

Temos:

lim

x→0 sen x = 0

• Seja f4 : IR → IR dada por f4(x) = cos x ∀ x ∈ IR .

Temos:

lim

x→0 cos x = 1

• Seja f5 : IR − { 0} → IR dada por f5(x) =

sen x x ∀ x 6= 0 . Temos: lim x→0 sen x x = 1

cos x − 1 x ∀ x 6= 0 . Temos: lim x→0 cos x − 1 x = 0

ex_{− 1} x ∀ x 6= 0 . Temos: lim x→0 ex_{− 1} x = 1

(31)

1.3 Teoremas para (ajudar no) c´

alculo de limites

Teorema 1.1. Sejam f : X → IR e a ∈ X0 . Temos: lim

x→a f (x) = L ⇔ x→alim (f (x) − L) = 0 ⇔ x→alim |f (x) − L| = 0

Em particular, considerando L = 0 , temos: lim

x→af (x) = 0 ⇔ x→alim |f (x)| = 0 .

Exemplo: Sabemos que lim

x→0 x = 0 . Ent˜ao segue que limx→0 |x| = 0 .

Teorema 1.2. (Sandu´ıche) Sejam f , g , h fun¸c˜oes tais que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x 6= a em um intervalo aberto contendo a .

Se lim

x→af (x) = L = limx→ah(x) , ent˜ao limx→ag(x) = L .

Exemplo: Vamos mostrar que lim

(32)

Teorema 1.3. Sejam f , g : X → IR , a ∈ X0 e lim

x→a f (x) = L , limx→ag(x) = M . Ent˜ao:

lim x→a[f (x) ± g(x)] = L ± M ; lim x→a f (x) · g(x) = L · M ; lim x→a f (x) g(x) = L M se M 6= 0 ; lim x→a n p f (x) = √nL (

se n é ÍMPAR e L é qualquer real se n é PAR e L > 0

Exemplos:

(A) Seja p : IR → IR dada por p(x) = cnxn+ cn−1xn−1+ . . . + c1x + c0 ,

(33)

(B) Fun¸c˜oes racionais (quocientes de fun¸c˜oes polinomiais)

(C) lim

(34)

(D) lim x→0 sen x x = 1 (E) lim x→0 cos x − 1 x = 0

(35)

Teorema 1.4. Se lim

x→a f (x) = 0 e g ´e limitada num intervalo aberto contendo o ponto a

(sem precisar estar definida em a), ent˜ao lim

x→a f (x) · g(x) = 0 .

(Exemplo)

Teorema 1.5. (Troca de vari´aveis) Se lim

u→b f (u) = L , limx→a u(x) = b (x → a ⇒ u → b) e

x 6= a ⇒ u 6= b , ent˜ao

lim

x→a f (u(x)) = limu→b f (u) = L

Exemplos: (A) lim x→0 sen 4x 4x (B) lim x→0 sen 3x x

(C) Seja f uma fun¸c˜ao definida num intervalo contendo um ponto a. Vamos observar o que ocorre com o limite lim

x→a

f (x) − f (a)

x − a quando fazemos a mudan¸ca de vari´aveis h = x − a :

(D) lim

x→0

5x_{− 1}

(36)

Exerc´ıcios:

1) Prove que se lim

x→af (x) = L 6= 0 e limx→ag(x) = 0 ent˜ao @ (n˜ao existe) limx→a

f (x) g(x) .

Sugest˜ao: Suponha que exista lim

x→a

f (x)

g(x) = M e considere limx→af (x) = limx→a

f (x)

g(x) · g(x)

.

2) Calcule os limites abaixo, justificando:

a) lim x→3 x2_{− 9} x − 3 b) limx→1/2 3 + 2x 5 − x c) limx→0 √ x + 2 −√2

x Sugest˜ao: racionalize o numerador d) lim

x→2

x − 2

x4_{− 16} Sugest˜ao: use que (a

n_{− b}n_{) = (a − b).(a}n−1_{+ a}n−2_{b + . . . + ab}n−2_{+ b}n−1₎ e) lim x→−3 x + 3 (1/x) + (1/3) f) limx→0 |x| √ x4_{+ 7} g) limx→−3 x2+ 5x + 6 x2_{− x − 12} h) lim_u→1 1 √ 5 − u i) lim x→0 x 3_sen 1 3 √ x j) lim h→0 4 −√16 + h h k) limx→3 3 s 2 + 5x − 3x3 x2_{− 1} l) lim_y→−2 y3+ 8 y + 2 m) lim t→0 1 − cos t sen t n) limx→2 x2_{− x − 2} (x − 2)2 o) lim_x→4 3x2_{− 17x + 20} 4x2_{− 25x + 36} p) lim_w→0 sen 3w sen 5w q) lim h→0 3 √ h + 1 − 1 h r) limx→0 1 + tg x sen x s) limt→0 sen2_2t t2 t) lim_x→π sen x x − π u) limx→0 x cos x v) lim x→0 1 − cos x x2 w) lim_x→0 3x_{− 1} x x) limx→0 3x2 1 − cos2_(x/2)

Teoremas adicionais sobre limites

Teorema 1.6. (Unicidade do limite) Sejam f : X → IR e a ∈ X0. O lim

x→a f (x) , quando existe, ´e ´unico.

Teorema 1.7. Sejam f : X → IR e a ∈ X0. Se existe L = lim

x→a f (x) então a fun¸cão f é

LIMITADA num intervalo aberto contendo o ponto a.

Exemplo: Seja f : IR − {0} → IR dada por f (x) = 1

x ∀ x 6= 0 . 0 ´e ponto de acumula¸c˜ao do dom´ınio IR − {0} .

Podemos afirmar que N ˜AO EXISTE o lim

x→0

1

x , pois f n˜ao ´e limitada em nenhum intervalo aberto contendo 0 .

(37)

Teorema 1.8. Sejam f : X → IR , a ∈ X0 e L = lim

x→a f (x) .

Se L > M ent˜ao f (x) > M para todo x 6= a do dom´ınio em um intervalo aberto contendo o ponto a .

Em particular, se lim

x→a f (x) > 0 ent˜ao f (x) > 0 para todo x 6= a do dom´ınio em um

intervalo aberto contendo a .

Obs.: Analogamente, vale resultado semelhante caso lim

x→a f (x) = L < M .

Teorema 1.9. (Limites laterais) Sejam f : X → IR e a ∈ X0 .

Se a pode ser aproximado tanto por pontos de X maiores que a quanto por pontos de X menores do que a, podemos investigar ambos os limites laterais de f :

lim

x→a+ f (x)

(limite de f (x) quando x tende a a PELA DIREITA, isto ´e, por valores x ∈ X, com x > a) lim

x→a− f (x)

(limite de f (x) quando x tende a a PELA ESQUERDA, isto ´e, por valores x < a em X) Temos, neste caso, que existe L = lim

x→af (x) se, e somente se, existem e s˜ao iguais a L

ambos os limites laterais, ou seja: lim

x→a+ f (x) = lim_x→a− f (x) .

Exemplo: Seja f : IR − {0} → IR dada por f (x) = |x| x .

Obs.: OS TEOREMAS ANTERIORES VALEM TAMB ÉM PARA LIMITES LATERAIS, COM AS DEVIDAS ADAPTAÇ ÕES !

(38)

Exerc´ıcios:

1) Sejam f, g : IR → IR dadas por:

f (x) = ( x3_{+ 3} _{se x ≤ 1} x + 1 se x > 1 g(x) = ( x2 _{se x ≤ 1} 2 se x > 1 Fa¸ca um estudo sobre os limites: lim

x→1 f (x) limx→1 g(x) x→1lim (f.g)(x)

2) Mostre que lim

x→a

f (x) − f (a)

x − a = limh→0

f (a + h) − f (a)

h (se existirem)

3) Para cada fun¸cão f : X → IR dada a seguir e cada a ∈ X ∩ X0 (a é ponto do dom´ınio e ponto de acumula¸cão do dom´ınio), também fornecido, obtenha

mta = coeficiente angular da reta tangente ao gr´afico de f no ponto (a, f (a)).

(a) f1 : IR → IR dada por f1(x) = 3x − 1 e a = −5 .

(b) f2 : IR → IR dada por f2(x) = −x2 e a = 3 .

(c) f3 : IR → IR dada por f3(x) = sen x e a = π/6 .

(d) f4 : IR → IR dada por f4(x) = cos x e a = π/6 .

(e) f5 : IR → IR dada por f5(x) = ex e a = 2 .

(f) f6 : (0, +∞) → IR dada por f6(x) = 1/x e a =

√ 2 .

Fa¸ca ainda um esbo¸co e confira se a resposta encontrada faz sentido com o esbo¸co. Sugest˜oes:

Aproxime mta pelos coeficientes angulares msa(x) das secantes por (a, f (a)) e (x, f (x)),

fazendo x → a.

Para as letras (c),(d) e (e), use tamb´em o exerc´ıcio anterior.

Pode tentar tamb´em fazer antes o Exerc´ıcio 4) (veja o enunciado abaixo) e assim este e-xerc´ıcio se torna um caso particular.

4) Para cada fun¸c˜ao f : X → IR do exerc´ıcio anterior, tente generalizar o resultado, obtendo mta para um a ∈ X qualquer !

(39)

1.4 Continuidade

Defini¸cão 1.3. Consideremos uma fun¸cão f : X → IR tal que X ⊂ X0 (todo ponto do dom´ınio é ponto de acumula¸cão).

Dado um ponto a , dizemos que f É CONTÍNUA NO PONTO a quando as seguintes condi¸cões são satisfeitas:

1) Existe f (a) (ou seja, a ∈ X); 2) Existe lim

x→a f (x) ;

3) lim

x→a f (x) = f (a) .

Se f não é cont´ınua em um ponto a, dizemos que f É DESCONTÍNUA EM a, ou que f TEM UMA DESCONTINUIDADE EM a.

Dizemos que f : X → IR é uma FUNÇ ÃO CONTÍNUA EM X quando ela é cont´ınua em todos os pontos de seu dom´ınio.

Exemplos: (e contra-exemplos) (A) Toda fun¸c˜ao polinomial ´e cont´ınua !

(B) Seno e cosseno, no ponto 0 :

(40)

(D) Contra-exemplo: uma descontinuidade ESSENCIAL:

Continuidade e opera¸

c˜

oes entre fun¸

c˜

oes

Teorema 1.10. Sejam f, g : X → IR , X ⊂ X0 e a ∈ X . Se f e g s˜ao cont´ınuas no ponto a ∈ X , ent˜ao:

(f ± g) s˜ao cont´ınuas em a ;

(f · g) é uma fun¸cão cont´ınua em a ; (f /g) é cont´ınua em a se g(a) 6= 0 .

Teorema 1.11. (Composi¸c˜ao) Sejam f : X → IR (X ⊂ X0) e g : Y → IR (Y ⊂ Y0) de forma que a composta g ◦ f : X → IR est´a bem definida

Se f é cont´ınua em a ∈ X e g é cont´ınua em b = f (a) ∈ Y então a composta g ◦ f : X → IR é cont´ınua no ponto a ∈ X .

Exerc´ıcios:

1) Seja f : [0, +∞) → IR dada por f (x) =√x . (i) Mostre que lim

x→0

√

x = 0 (Sugest˜ao: Considere apenas o limite lateral lim

x→0+

√

(41)

s´o pode ser aproximado “pela direita” - e para isto, compare √x com √3_{x para 0 < x < 1 )}

(ii) Conclua que f ´e cont´ınua (em todos os pontos de seu dom´ınio).

(iii) Mostre que @ lim

x→0

√ x

x (racionalize).

(iv) Generalize para g : [0, ∞) → IR dada por g(x) = √n_{x , n = 2, 4, 6, 8, . . .}

2) Dadas f : X → IR abaixo, discuta a sua CONTINUIDADE (onde f ´e cont´ınua ou n˜ao), justificando:

(a) f : (−∞, 16] → IR dada por f (x) =√16 − x . (b) f : [0, +∞) → IR dada por f (0) = 0 e f (x) = 1 x2 se x 6= 0 . (c) f : IR → IR dada por f (x) =        x + 1 x3 _{+ 1} se x 6= −1 3 se x = −1 .

Fun¸

c˜

oes cont´ınuas em intervalos

• Quando estudamos problemas sobre máximos e m´ınimos, podemos ter fun¸cões que não assumem valores máximos e/ou m´ınimos.

Por exemplo:

f : IR → IR dada por f (x) = x N ÃO ASSUME M ÁXIMO NEM MÍNIMO !

(42)

Existe uma situa¸cão (envolvendo continuidade) na qual estes problemas não ocorrem: Teorema 1.12. (MAX-MIN) Se f : [a, b] → IR é uma fun¸cão cont´ınua (em todos os pontos do intervalo limitado e fechado [a, b]), então f assume valores máximo e m´ınimo neste intervalo [a, b] , ou seja, existem pontos cM e cm em [a, b] tais que

f (cM) ≥ f (x) para todo x ∈ [a, b]

f (cm) ≤ f (x) para todo x ∈ [a, b]

• Outra boa propriedade das fun¸cões cont´ınuas é a “PROPRIEDADE DO VALOR IN-TERMEDI ÁRIO”:

Teorema 1.13. (Teorema do valor intermediário) Se f : X → IR é cont´ınua no intervalo [a, b] ⊂ X e f (a) 6= f (b) , então f assume todos os valores entre f (a) e f (b) , ou mellhor, dado qualquer d entre f (a) e f (b) , existe x entre a e b tal que f (x) = d .

(Ilustra¸c˜ao)

(Exemplo)

1.5 A defini¸

c˜

ao da Derivada

Defini¸cão 1.4. Consideremos uma fun¸cão f : X → IR , com X ⊂ X0 (todo ponto do dom´ınio é ponto de acumula¸cão do dom´ınio).

Dizemos que f ´e DERIV ´AVEL em a ∈ X quando existe o limite f0(a) = lim x→a f (x) − f (a) x − a = limh→0 f (a + h) − f (a) h

(43)

Observa¸c˜oes:

• Em nossas aplica¸cões, o dom´ınio X será sempre um intervalo (e já teremos X ⊂ X0); • Outras nota¸cões para f0(a) :

f0(a) = Dxf (a) = df dx(a) = df dx x=a

ou ainda f0(a) = y0(a) = dy

dx(a) , se y = f (x) • Podemos considerar a fun¸cão f0 : x 7→ f0(x) definida em todos os pontos x ∈ X onde existir f0(x) . f0 é chamada a FUNÇ ÃO DERIVADA DE f .

Interpreta¸

c˜

ao geom´

etrica

Já vimos, como motiva¸cão para o estudo de limites, que se f : X → IR é derivável em a ∈ X , então f0(a) representa o coeficiente angular mta da reta tangente ao gráfico

de f no ponto (a, f (a)) :

Vimos tamb´em que o conhecimento de f0(a) = mta para os pontos a ∈ X pode nos

trazer uma série de informa¸cões sobre o comportamento da fun¸cão f .

Primeiros exemplos:

(44)

(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 ∀ x ∈ IR . Vamos calcular g0_{(2) , por exemplo:}

Exerc´ıcio:

(i) Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x3 _ent˜_{ao g}0_{(x) = 3x}2 _{∀ x ∈ IR .}

(ii) Generalize (i) e mostre que se f (x) = xn _{(n = 1, 2, 3, . . .) ent˜}_{ao f}0_{(x) = nx}n−1 _.

(C) Seja f : IR → IR dada por f (x) = sen x .

Exerc´ıcio: Obtenha a derivada de g : IR → IR dada por g(x) = cos x .

(45)

(E) Seja f : IR → IR dada por f (x) = |x| .

(F) Seja g : IR − {0} → IR dada por g(x) = 1 x4 = x

−4

.

Exerc´ıcio: Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x−n (n = 1, 2, 3, . . .) ent˜ao g0(x) = −nx−n−1 ∀x 6= 0 .

(46)

1.6 Derivadas e continuidade

Teorema 1.14. Se f : X → IR é DERIV ÁVEL em a ∈ X , então f é CONTÍNUA em a.

De fato:

Se f é derivável em a ∈ X , então existe o limite lim

x→a

f (x) − f (a) x − a = f

0

(a) . Existe f (a) (pois a ∈ X).

Se x 6= a , temos: f (x) − f (a) = f (x) − f (a) x − a · (x − a) . Como lim x→a f (x) − f (a) x − a = f 0 (a) e lim

x→a(x − a) = 0 , segue que

lim

x→af (x) − f (a) = limx→a

f (x) − f (a)

x − a · limx→a(x − a) = f 0

(a) · 0 = 0

Logo lim

x→a f (x) = f (a) e portanto f ´e cont´ınua no ponto a .

Algumas conseq¨uˆencias:

• S˜ao cont´ınuas em todos os pontos de seus dom´ınios as fun¸c˜oes: f : IR − {0} → IR dada por f (x) = 1

xn (n = 1, 2, 3. . . .) ,

g1 : IR → IR dada por g1(x) = sen x , g2 : IR → IR dada por g2(x) = cos x ,

u : IR → IR dada por u(t) = at _{(a > 0) , pois s˜}_{ao todas deriv´}_{aveis em todos os pontos de}

seus dom´ınios.

• Se uma determinada fun¸cão é descont´ınua em algum ponto de seu dom´ınio, então ela não é derivável neste ponto de descontinuidade.

• CUIDADO! Não podemos garantir a rec´ıproca do teorema anterior, ou seja, podemos ter uma fun¸cão que é cont´ınua mas não é derivável em determinados pontos.

Exemplo: f (x) = |x| ´e cont´ınua no ponto 0 ( lim

x→0 |x| = 0 = f (0) ), mas j´a vimos que @ f 0_{(0) .}

(47)

1.7 Regras de deriva¸

c˜

ao

Teorema 1.15. Se f , g : X → IR são deriváveis em a ∈ X , então:

(a) Para cada constante c ∈ IR , (cf ) : X → IR é derivável em a e (cf )0(a) = c · f0(a) ; (b) f ± g são deriváveis em a e (f ± g)0(a) = f0(a) ± g0(a) ;

(c) (f · g) ´e deriv´avel em a e (f · g)0(a) = f0(a).g(a) + f (a).g0(a) ;

(d) (f /g) ´e deriv´avel em a se g(a) 6= 0 e (f /g)0(a) = f

0_{(a).g(a) − f (a).g}0_(a)

[g(a)]2 .

Exemplos:

(A) Para cada fun¸c˜ao f dada abaixo, obtenha f0 (onde existir a derivada) 1) f : IR → IR dada por f (x) = 6x3− 3x2_{− x + 7 .}

2) f : IR → IR dada por f (t) = 6t − 10 t2_{+ 5} .

3) f : IR − Z → IR , Z = {x ∈ IR ; cos x = 0} , dada por f (x) = tg x .

Exerc´ıcio: Obtenha d dxctg x , d dxsec x , d dxcsc x 4) f : IR → IR dada por f (u) = eu_(u3 _{+ 3 cos u) .}

(48)

5) f : IR → IR dada por f (t) = sen 2t .

6) f : IR − {0} → IR dada por f (x) = 1 xn = x

−n

(n = 1, 2, 3, . . .) .

(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = 4 − x2 .

1) Obtenha as equa¸c˜oes das retas tangentes ao gr´afico de g e que passam pelos pontos: A(1, 3) , B(1, 7) , e C(1, 2) .

(49)

3) Obtenha a equa¸c˜ao da reta normal ao gr´afico de g no ponto A(1, 3) .

4) Em que ponto a tangente ao gr´afico ´e “horizontal”? (tem coeficiente angular 0)

5) Onde o coeficiente angular da tangente ´e positivo ?

6) Onde o coeficiente angular da tangente ´e negativo ?

A Regra da Cadeia - Derivadas de fun¸

c˜

oes compostas

Teorema 1.16. (Regra da Cadeia) Sejam u : X → IR e g : Y → IR tais que u(X) ⊂ Y e a composta (g ◦ u) : X → IR est´a bem definida:

Dado a ∈ X , se u é derivável em a (existe u0(a)) e g é derivável em b = u(a) (existe g0(b) = g0(u(a)) ), então a composta (g ◦ u) : X → IR é derivável em a ∈ X em temos ainda:

(g ◦ u)0(a) = g0(b) · u0(a) = g0(u(a)) · u0(a)

Quanto `a fun¸c˜ao derivada (g ◦u)0 : x 7→ (g ◦u)0(x) , escrevemos (g ◦u)0(x) = g0(u(x))·u0(x) para todo x onde existirem as derivadas.

(50)

Exemplos:

Para cada fun¸c˜ao f : IR → IR dada abaixo, obtenha f0 (onde existir a derivada): (A) f dada por f (x) = cos(x3+ 1) .

(B) f dada por f (t) = (4t3_{− t}2_{+ 3t − 2)}2 _.

(C) f dada por f (x) = (5x2− 2x + 1)−3 _.

(D) f dada por f (w) = (2w2 _{− 3w + 1)(3w + 2)}4 _.

(51)

(F) f dada por f (t) = sen 2t .

(G) f dada por f (t) = cos5_{t .}

(H) f dada por f (x) = e(x2) .

(I) f dada por f (w) = (ew_{− sen w)}2 _.

(52)

Derivadas de fun¸

c˜

oes inversas

Teorema 1.17. Seja f : I (intervalo) → J (intervalo) uma fun¸cão INVERTÍVEL (bijetora = injetora e sobrejetora) e CONTÍNUA (em todos os pontos de seu dom´ınio I).

Sua inversa g : J → I ´e cont´ınua em todos os pontos de J . Mais ainda:

Se f é derivável em a ∈ I e f0(a) 6= 0 , então g é derivável em b = f (a) e podemos obter g0(b) através da Regra da Cadeia.

Exemplos:

(A) Derivada da fun¸c˜ao logar´ıtmica na base e:

Exerc´ıcio: Fixado a > 0 , a 6= 1 , obtenha g0(x) se g : (0, +∞) → IR ´e dada por g(x) = log_ax

Resposta: g(x) = log_ax , x ∈ (0, +∞) ⇒ g0(x) = 1

(53)

(B) Ra´ızes:

(C) Fun¸c˜oes trigonom´etricas e suas inversas:

Exerc´ıcio:

(a) Se g : [−1, 1] → [0, π] ´e dada por g(x) = arc cos x , mostre que g0(x) = −√ 1

(54)

(b) Se h : IR → (−π/2, π/2) ´e dada por h(x) = arc tg x , mostre que h0(x) = 1

1 + x2 ∀ x ∈ IR

1.8 Deriva¸

c˜

ao impl´ıcita

Seja f : [−1, 1] → IR a fun¸c˜ao dada por f (x) =√1 − x2 _{para todo x ∈ [−1, 1] .}

Pondo y = f (x) , temos: y =√1 − x2 ⇓ y2 = 1 − x2 , y ≥ 0 ⇓ (∗) x2+ y2 = 1 (y ≥ 0)

A equa¸cão (*) acima estabelece uma rela¸cão entre x e y = f (x) . Juntamente com a restri¸cão y ≥ 0 ela define bem a fun¸cão f . Por isso dizemos que f EST Á IMPLICITAMENTE DEFINIDA POR (*).

Tendo em mente que y = f (x) , ou seja, y é fun¸cão de x , é fácil ver que a equa¸cão (*) estabelece a igualdade entre x2 _{+ f (x)}2 _{e a fun¸c˜}_{ao constante e igual a 1. Podemos pensar}

portanto em DERIVAR EM RELAÇ ÃO À VARI ÁVEL x.

Vamos fazer isso, admitindo que y = f (x) ´e deriv´avel e tomando o cuidado de lembrar que y = f (x) , ou seja, y2 _´_{e uma composi¸c˜}_{ao de fun¸c˜}_{oes e DEVEMOS USAR A REGRA}

DA CADEIA: x2+ y2 = 1 ⇓ 2x + 2yy0 = 0 ⇓ (∗∗) y0 = − x y (y 6= 0)

Lembrando que y = f (x) =√1 − x2 _{, temos:}

f0(x) = y0 = −√ x

(55)

Poss´ıveis vantagens da deriva¸c˜ao impl´ıcita:

• Derivar a equa¸cão (*) que define f implicitamente pode ser mais simples do que tentar obter a derivada através da expressão expl´ıcita de f .

• Uma equa¸cão em x e y pode definir implicitamente várias fun¸cões e, caso isto ocorra, a deriva¸cão impl´ıcita serviria para todas elas.

Exemplos:

(A) Admitindo que f : (0, +∞) → IR dada por f (x) = ln x é derivável, obtenha f0(x) por deriva¸cão impl´ıcita.

(B) Fixado qualquer α ∈ IR e admitindo que f : (0, +∞) → IR dada por f (x) = xα _seja

deriv´avel, use logar´ıtmos para obter f0(x) por deriva¸c˜ao impl´ıcita.

(C) Obtenha a equa¸c˜ao da reta tangente `a curva x

2

4 + y

2 _{= 1 no ponto (1, −}√_{3 /2) .}

(D) Seja g : (0, +∞) → IR dada por g(x) = log_ax (a > 0, a 6= 1) . Admitindo que g é derivável, obtenha g0(x) via deriva¸cão impl´ıcita.

(56)

(E) Se y = 3

r x

x3_{+ 1} , obtenha y

0_{(x) por deriva¸c˜}_{ao impl´ıcita.}

Exerc´ıcios:

1) O objetivo deste exerc´ıcio é observar a naturalidade da medida de ângulos em radianos, no seguinte sentido: alguns cálculos podem ser mais simples quando utilizamos radianos ao invés de graus como unidades de medida.

Quando lidamos com as fun¸c˜oes trigonom´etricas, por exemplo, quase todos os resultados decorrem do seguinte limite:

lim

x→0

sen x

x = 1 (Limite Trigonom´etrico Fundamental)

Ajuste a demonstra¸c˜ao que fizemos em aula para o limite acima, considerando desta vez a medida dos ˆangulos em GRAUS.

Calcule tamb´em d sen x

dx quando x ´e medido em graus.

2) Para cada fun¸c˜ao dada abaixo (por quest˜oes de economia de espa¸co, estamos cometendo um abuso ao omitir os dom´ınios e contra-dom´ınios), calcule sua derivada (onde existir):

a) f (x) = 10x2+ 9x − 4 b) h(x) = (2x2− 4x + 1)(6x − 5) c) f (w) = 2w w3_{− 7} d) f (x) = 1 1 + x + x2_{+ x}3 e) g(x) = (8x−7) −5 f) s(t) = 3t + 4 6t − 7 3 g) h(z) = 9z 3_{+ 2z} 6z + 1 h) H(x) = √2x + 3 4x2_{+ 9} i) f (x) = 5 p1/x j) f (x) = 6x2₋ 5 x + 2 3 √ x2 k) f (w) = 3 √ 3w2

(57)

l) f (t) = (t6− t−6₎6 _{m) f (x) = x}m/n m, n 6= 0 ∈ Z n) h(s) = ln(5s2+1)3 o) f (x) = x ln x p) g(x) = x 2 ln x q) f (u) = ue −u _{r) h(s) = s}2_e−2s _{s) f (x) = e}x ln x _{t) g(w) = ln} e w_{+ 1} ew_{− 1}

u) f (x) = ecos 2x v) g(x) = xsen x w) h(x) = ln tg x x) f (w) = ln cos23w

y) f (x) = arc tg x

x2_{+ 1} z) f (x) =

e2x

arc sen 5x

3) Obtenha a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de y = 2x3 _{+ 4x}2 _{− 5x − 3 no ponto}

P (−1, 4).

4) Obtenha a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de y = 3x2 _{+ 4x − 6 e tal que:}

(a) Essa tangente seja paralela `a reta 5x − 2y − 1 = 0 ; (b) Seja tangente ao gr´afico no ponto P (1, 1) .

5) Obtenha a equa¸cão da reta que passa por P (3, 1) e é tangente ao gráfico de y = 4

x

6) Obtenha a equa¸c˜ao da reta normal ao gr´afico de f (x) = (x − 1)4 _{no ponto P (2, 1) .}

7) Determine as equa¸c˜oes da tangente e da normal ao gr´afico de y = 8 sen3_{x no ponto}

(58)

Coletˆanea de provas anteriores (1):

Quest˜ao 1: (30 pts) Sem utilizar derivadas, obtenha os seguintes limites, JUSTIFI-CANDO: (a) lim x→1/√2 x5_{− (1/}√₂₎5 x − (1/√2) (b) x→−2lim (x − 1)(x + 2) x2_{+ 4x + 4} (c) lim_x→3 s x2_{− 9} x − 3 (d) lim y→0 e7y_{− 1}

sen y (e) limx→0

(1 − sec x). ctg x. cos x x

Quest˜ao 2: (10 pts) Seja f : IR → IR dada por f (x) = (

x5_{+ x}3 _{+ 2x}2_{+ 3} _{se x < 0}

−x + 2 se x ≥ 0 (a) Discuta a CONTINUIDADE de f .

(b) A equa¸c˜ao f (x) = 0 tem uma raiz entre −2 e −1. JUSTIFIQUE.

(c) Responda se f é derivável em x = 0. Se for, obtenha a derivada f0(0). Se não for, justifique.

Quest˜ao 3: (10 pts) Fa¸ca UM dos ´ıtens abaixo:

(a) Se f (x) = cos x ∀x ∈ IR , mostre (via defini¸c˜ao) que f0(x) = − sen x ∀x ∈ IR . (b) Se g(x) = 5x _{∀x ∈ IR , mostre (via defini¸c˜}_{ao) que g}0_{(x) = 5}x_{. ln 5 ∀x ∈ IR .}

Questão 4: (40 pts) Para cada fun¸cão dada abaixo (por questões de economia de espa¸co, estamos cometendo um abuso ao omitir os dom´ınios e contra-dom´ınios), calcule sua derivada (onde existir a derivada), indique onde existe e forne¸ca ainda, quando solicitado, a derivada nos pontos solicitados:

(a) f (x) = (3x − 1).(2x + 1)5 . (b) g(w) =√3

3w − 1 = (3w − 1)1/3_{. Obtenha ainda, em particular, g}0_(3).

(c) h(s) = π. sec s = π

cos s . Obtenha ainda, em particular, h

0_(0).

(d) f (t) = e(3t2_−t)

. Obtenha ainda, em particular, f0(1/3). (e) f (x) = ln( sen42x) .

Questão 5: (10 pts) Obtenha a equa¸cão da reta tangente ao gráfico de f : IR → (−2π, 2π) dada por f (x) = 4. arc tg x no ponto A(1, π) .

(59)

Quest˜ao 1: (30 pts) Sem utilizar derivadas, obtenha os seguintes limites, JUSTIFI-CANDO: (a) lim x→3 x2− 6x + 9 (x + 1)(x − 3) (b) limx→√3 π√3 − πx x3 _{− 3}√₃ (c) _x→π/2lim x − π/2 cos x (d) lim x→0 sen3x

5x(1 − cos x) (e) limy→0

3

s

1 − e2y y

x3_{− x − 3} _{se x < 2}

5 − x se x ≥ 2 (a) Onde f ´e cont´ınua ? (JUSTIFIQUE). (Considere os casos: a < 2, a = 2 e a > 2) (b) Em quais dos intervalos [−2, 0], [0, 1], [1, 3], [3, 6] podemos GARANTIR que existe x tal que f (x) = 0 ? JUSTIFIQUE.

(c) Responda se f é derivável em a = 2. Se for, obtenha a derivada f0(2). Se não for, justifique.

Quest˜ao 3: (8 pts) Fa¸ca UM dos ´ıtens abaixo:

(a) Seja f (x) = sen x ∀x ∈ IR . Obtenha (via defini¸c˜ao) f0(2π/3) .

(b) Se g(x) = arc tg x ∀x ∈ IR , prove que g0(x) = 1

1 + x2 ∀x ∈ IR .

Quest˜ao 4: (12 pts) Considere f : IR → IR dada por f (x) = e−2x .

(a) Qual a equa¸cão da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto A(0, 1) ? (b) Qual a equa¸cão da reta tangente ao gráfico de f e que tem coeficiente angular −1/2 ? Questão 5: (40 pts) Para cada fun¸cão dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir os dom´ınios e contra-dom´ınios), calcule sua derivada, indique onde existe e forne¸ca ainda, quando solicitado, a derivada nos pontos solicitados:

(a) f (x) = 2x

2

(x − 4)2 . Obtenha ainda, em particular, f 0_(2).

(b) h(s) = ctg s√ 2 =

cos s √

2 · sen s . Obtenha ainda, em particular, h

0_(π/4).

(c) g(t) = (2t − 1)3· e(t2_+2t)

. Obtenha ainda, em particular, g0(0). (d) f (w) = ln (5w2+ 2 + cos w) . Obtenha ainda, em particular, f0(0). (e) g(y) = arc tg (√y − 1 ) .

(60)

Quest˜ao 1: (30 pts) Sem usar derivadas, obtenha os limites abaixo (JUSTIFIQUE): (a) lim x→√2 3x − 3√2 x6 _{− 8} (b) lim_y→0 r sen πy y (c) limx→1 x2_{− 1} (1 − x)3 (d) lim x→−π 1 + cos x x + π (e) limx→0 ex_{+ sen}2_{x − 1} x

2x + 1 se x ≤ 3 −x2_{+ 8x − 8} _{se x > 3}

(a) Responda se f ´e cont´ınua em a = 3 . (JUSTIFIQUE).

(b) f é derivável em a = 3 ? Se for, PROVE e obtenha f0(2). Se não for, justifique. (c) Sabendo que f é crescente em (−∞, 7/2] e descrescente em [10, +∞) , podemos afirmar que existe xM ∈ [7/2, 10] tal que f (xM) ≥ f (x) para todo x ∈ IR ? (JUSTIFIQUE)

Quest˜ao 3: (8 pts) Fa¸ca UM dos ´ıtens abaixo: (a) Seja f (x) = 1

x3 ∀x 6= 0 . Obtenha, via defini¸c˜ao, f 0_{(1) .}

(b) Se g(x) = arc cos x ∀x ∈ [−1, 1] , prove que g0(x) = −√ 1

1 − x2 ∀x ∈ (−1, 1) .

Quest˜ao 4: (12 pts) Considere f : IR → IR dada por f (x) = arc tg x π .

(a) Qual a equa¸cão da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto A(0, 0) ? (b) Qual a equa¸cão da reta normal ao gráfico de f no ponto B(√3 , 1/3) ?

Quest˜ao 5: (40 pts) Para cada fun¸c˜ao dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir os dom´ınios e contra-dom´ınios), calcule sua derivada, indique onde existe e forne¸ca ainda, quando solicitado, o que se pede:

(a) f (x) = x

3

e2x . Responda: Para quais valores de x temos f

0_{(x) = 0 ?}

(b) h(s) = sen (3s2_{− s) + 2}(s2_+3s)

. Obtenha ainda, em particular, h0(0). (c) g(w) = tg w · ln(3 − w2) . Obtenha ainda, em particular, g0(0).

(d) v(t) = s(t)

2

3t (existe s

0_{(t) ∀ t ∈ IR). Se s(1) = 1 e s}0_{(1) = 2, obtenha v}0_{(1) .}

(e) u(y) = p2y4 ₂

(61)

Quest˜ao 1: (30 pts) Sem usar derivadas, obtenha os limites abaixo (JUSTIFIQUE): (a) lim x→3 3 r x − 3 27 − x3 (b) _x→−1lim x3+ 2x2+ x x + 1 (c) limx→0 esen x− 1 2x (d) lim y→0

sen 7y + cos πy − 1

y (e) limx→0

1 − cos x √

5 · x · sen x

x + 1 se x < −1 1 + sen (x + 1) se x ≥ −1 (a) Responda se f ´e cont´ınua em a = −1 . (JUSTIFIQUE).

(b) f é derivável em a = −1 ? Se for, PROVE e obtenha f0(−1). Se não, justifique. (c) Responda: Se [a, b] ⊂ IR , é poss´ıvel afirmar que dado d entre f (a) e f (b), existe c entre a e b com f (c) = d ? JUSTIFIQUE a resposta.

Quest˜ao 3: (8 pts) Seja f : IR → IR dada por f (x) =√5 _x _{∀ x ∈ IR .}

Mostre, via defini¸c˜_{ao, que @ (n˜ao existe) f}0(0) .

Prove (podendo usar que existe f0(x) para todo x 6= 0 ) que f0(x) = 1

5√5x4 ∀ x 6= 0 .

Questão 4: (12 pts) Seja f : IR → IR dada por f (x) = e(2x−1) ∀ x ∈ IR . Obtenha, se existir, a equa¸cão da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto A(1, 0)

Quest˜ao 5: (40 pts) Para cada fun¸c˜ao dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir os dom´ınios e contra-dom´ınios), calcule sua derivada, indique onde existe e forne¸ca ainda, quando solicitado, o que se pede:

(a) h(s) = 3 r

s2

1 + s2 . Obtenha ainda, em particular, h 0_(1).

(b) v(t) = ln 2 · log1 2(3t

2 _{+ 1) . v}0_{(1) ´}_{e positivo, negativo ou zero ? Obtenha v}0_{(1) para}

justificar.

(c) f (x) = x2_{· ln x −}x 2

2 . Responda: Para quais valores de x temos f

0_{(x) = x ?}

(d) g(w) = csc2_{w =} 1

sen2_w . Obtenha ainda, em particular, g

0_(π/4). (e) u(y) = tg arc tg 1 y

(62)

Quest˜ao 1: (24 pts) Sem usar derivadas, obtenha os limites abaixo (JUSTIFIQUE): (a) lim

x→√3

x3_{− 3}√₃

4x − 4√3 (b) limy→0

e2y_{− 1}

sen (3y) (c) limx→−1

x3_{+ x}2_{− x − 1}

x3_{− x} (d) lim_x→π/2

1 − sen x x − (π/2) Quest˜ao 2: (12 pts)

(a) Seja f : IR → IR uma fun¸c˜ao tal que f (x) = sen [π(x − 1)]

x − 1 ∀ x 6= 1 . f pode ser cont´ınua em x = 1 ? Se puder, qual o valor de f (1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se n˜ao, JUSTIFIQUE.

(b) Seja g : IR → IR uma fun¸c˜ao tal que g(x) = |x − 1|

x − 1 ∀ x 6= 1 . g pode ser cont´ınua em x = 1 ? Se puder, qual o valor de g(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se n˜ao, JUSTIFIQUE.

Quest˜ao 3: (12 pts) Seja f : IR → IR dada por f (x) = 3 ·√3_{x ∀ x ∈ IR}

Mostre, VIA DEFINIC¸ ˜_{AO, que @ (n˜ao existe) f}0(0) e que f0(a) = √₃1

a2 ∀ a 6= 0 .

Questão 4: (12 pts) (a) A reta 3y +8x+1 = 0 é NORMAL ao gráfico de uma certa fun¸cão f : IR → IR no ponto A(1, −3) (pertencente ao gráfico de f ). Obtenha (JUSTIFICANDO) f0(1) .

(b) Qual o valor de b para que a reta y = 2bx + e seja TANGENTE ao gr´afico de g(x) = e(x2+6x+1) no ponto B(0, e) (pertencente ao gr´afico de g) ? (JUSTIFIQUE)

Quest˜ao 5: (40 pts) Para cada fun¸c˜ao dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir os dom´ınios e contra-dom´ınios), calcule sua derivada, indique onde existe e forne¸ca ainda o que se pede:

(a) f (x) = x · (ln 5 − 1 + ln x) . Obtenha ainda, em particular, f0(2) . (b) h(θ) = ( tg θ + 1)2 _{. Obtenha ainda, em particular, h}0_(π/3).

(c) g(w) = ln(w2 _{− w) +} 3

(3w2_−w3₎

ln 3 . Obtenha ainda, em particular, g

0_(2).

(d) v(t) = sen [s(t)]

t (existe s

0_{(t) ∀ t ∈ IR). Se s(2) = π/2 e s}0_{(2) = e, obtenha v}0_{(2) .}

(e) u(y) = 3 ·√3 _{arc tg y . Obtenha ainda u}0_{(1) e responda se u}0_{(1) ´}_{e maior ou menor}

(63)

Respostas de exerc´ıcios

• Página 32: Exerc´ıcio 2) a) 6 b) 8 9 c) √ 2 4 d) 1 32 e) −9 f) 0 g) 1 7 h) 1 2 i) 0 j) − 1 8 k) −2 l) 12 m) 0 _{n) @ (não existe)} o) 1 p) 3 5 q) 1 3 r) @ s) 4 t) −1 u) 0 v) 1 2 w) ln 3 x) 12 • Página 34: Exerc´ıcio 1) @ lim x→1 f (x) , @ limx→1 g(x) , limx→1(f.g)(x) = 4

Exerc´ıcio 2) Fa¸ca a mudan¸ca de vari´aveis x − a = h e aplique o Teorema sobre limites de fun¸c˜oes compostas !

Exerc´ıcio 3) (a) f₁0(−5) = mt−5 = 3 (b) f₂0(3) = mt3 = −6 (c) f₃0(π/6) = mtπ/6 = √ 3 2 (d) f₄0(π/6) = mtπ/6 = − 1 2 (e) f₅0(2) = mt2 = e 2 (f) f₆0(√2) = mt√ 2 = − 1 2 Exerc´ıcio 4) (a) f₁0(a) = 3 (b) f₂0(a) = −2a (c) f₃0(a) = cos a (d) f₄0(a) = − sen a (e) f₅0(a) = ea (f) f₆0(a) = − 1 a2

(64)

• P´aginas 36-37:

Exerc´ıcio 2) Cont´ınua em...

a) ... (−∞, 16] . Em a = 16 temos: lim x→16− √ 16 − x = 0 = f (16) b) ... (0, +∞) . Em a = 0 temos: @ lim x→0+f (x) c) ... IR − {−1} . Em a = −1 temos: ∃ lim x→−1f (x) = 1/3 6= f (−1) • P´aginas 52-53: Exerc´ıcio 1) lim x→0 sen x x = π 180 e d sen x dx = π cos x

180 (se x é dado em GRAUS). Exerc´ıcio 2) a) f0(x) = 20x + 9 ∀ x ∈ IR b) h0(x) = 36x2_{− 68x + 26 ∀ x ∈ IR} c) f0(w) = −4w 3 _{− 14} (w3_{− 7)}2 ∀ w 6= 3 √ 7 d) f0(x) = − (3x 2_{+ 2x + 1)} (1 + x + x2_{+ x}3₎2 ∀ x 6= −1 e) g0(x) = −40(8x − 7)−6 ∀ x 6= 7 8 f) s 0_{(t) = −}135(3t + 4)2 (6t − 7)4 ∀ t 6= 7 6 g) h0(z) = 108z 3_{+ 27z}2_{+ 2} (6z + 1)2 ∀ z 6= − 1 6 h) H 0_{(x) =} 18 − 12x p(4x2_{+ 9)}3 ∀ x ∈ IR i) f0(x) = − 1 5x√5 _x ∀ x 6= 0 j) f 0_{(x) = 12x +} 5 x2 − 4 3x√3x2 ∀ x 6= 0 k) f0(w) = 2 3 √ 9w ∀ w 6= 0 l) f 0_{(t) = 6(t}6_{− t}−6₎5_.(6t5_{+ 6t}−7_{) ∀ t 6= 0} m) f0(x) = m n · x m n − 1 ( ∀ x > 0 se n é par ∀ x 6= 0 se n é ´ımpar n) h 0_{(s) =} 30s 5s2_{+ 1} ∀ s ∈ IR o) f0(x) = ln x + 1 ∀ x > 0 p) g0(x) = 2x ln x − x (ln x)2 ∀ x > 0 q) f0(u) = (1 − u) · e−u ∀ u ∈ IR r) h0(s) = (s − s2_{) · 2e}−2s _{∀ s ∈ IR} s) f0(x) = xx_{(ln x + 1) ∀ x > 0} _{t) g}0_{(w) =} −2ew e2w _{− 1} ∀ w 6= 0

u) f0(x) = −2ecos 2x· sen 2x ∀ x ∈ IR v) g0(x) = xsen x cos x ln x + sen x x ∀ x > 0 w) h0(x) = 1 sen x cos x se tg x > 0 x) f 0_{(w) = −6 tg 3w} _{se cos 3w 6= 0} y) f0(x) = 1 − 2x arc tg x (x2_{+ 1)}2 ∀ x ∈ IR

(65)

z) f0(x) = 2e 2x_{· arc sen 5x ·}√_{1 − 25x}2 _{− 5e}2x √ 1 − 25x2 _{· ( arc sen 5x)}2 ∀ x ∈ −1 5 , 1 5 Exerc´ıcio 3) y = −7x − 3 Exerc´ıcio 4) a) y = 5 2x − 99 16 b) y = 10x − 9 Exerc´ıcio 5) y = −x + 4 ou y = −1 9 x + 4 3 Exerc´ıcio 6) y = −x 4 + 3 2 Exerc´ıcio 7) tangente: y = 3√3 x + 1 −π √ 3 2 ! normal: y = − √ 3 9 x + 1 + π√3 54 !

• P´agina 54: Coletˆanea 1

Questão 1) (a) 5/4 _{(b) @} (c) √6 (d) 7 (e) −1/2 Questão 2) (a) f é cont´ınua em todo a 6= 0 e não é cont´ınua em a = 0 .

(b) Como a fun¸cão f é cont´ınua no intervalo [−2, −1] e f (−2) < 0 < f (−1) , temos então pelo TEOREMA DO VALOR INTERMEDI ÁRIO que existe x entre −2 e −1 tal que f (x) = 0 .

(c) f não pode ser derivável em x = 0 pois f não é cont´ınua neste ponto. Questão 4) (a) f0(x) = (2x + 1)4_{(36x − 7) ∀ x ∈ IR} (b) g0(w) = 1 3 p(3w − 1)2 ∀ w 6= 1/3 e g 0_{(3) = 1/4} (c) h0(s) = π. tg s. sec s se cos s 6= 0 e h0(0) = 0 (d) f0(t) = e3t2−t· (6t − 1) ∀ t ∈ IR e f0(1/3) = 1 (e) f0(x) = 8 ctg 2x se sen 2x 6= 0 Questão 5) y = 2x + (π − 2)

(66)

• Página 55: Coletânea 2 Questão 1) (a) 0 (b) − π 9 (c) −1 (d) 2 5 (e) − 3 √ 2 Questão 2) (a) f é cont´ınua em todo a ∈ IR .

(b) Nos intervalos [1, 3] e [3, 6] : nestes intervalos a fun¸cão é cont´ınua e “muda de sinal”. O TEOREMA DO VALOR INTERMEDI ÁRIO nos garante que sob estas condi¸cões a fun¸cão assume o valor 0 (zero) nestes intervalos.

(c) f não é derivável em a = 2 (apesar de ser cont´ınua neste ponto).

Quest˜ao 4) (a) y = −2x + 1 (b) y = − 1 2 x + 1 + ln 4 4 Quest˜ao 5) (a) f0(x) = −16x (x − 4)3 ∀ x 6= 4 e f 0 (2) = 4 (b) h0(s) = −csc 2_s √ 2 se sen s 6= 0 e h 0 (π/4) = −√2 (c) g0(t) = (2t − 1)2_{· e}t2_+2t · [6 + (2t − 1)(2t + 2)] ∀ t ∈ IR e g0(0) = 4 (d) f0(w) = 10w − sen w 5w2_{+ 2 + cos w} ∀ w ∈ IR e f 0 (0) = 0 (e) g0(y) = 1 2y√y − 1 se y > 1

• Página 56: Coletânea 3 Questão 1) (a) √ 2 16 (b) √ π _{(c) @} (d) 0 (e) 1 Questão 2) (a) f é cont´ınua em a = 3 (verificados também os limites laterais).

(b) ∃ f0(3) = lim

x→3

f (x) − f (3)

x − 3 = 2 ( f ´e deriv´avel em a = 3 ).

(c) SIM! f é cont´ınua no intervalo LIMITADO e FECHADO [7/2, 10] e portanto assume a´ı máximo absoluto em um ponto xM deste intervalo. Mostra-se então (com as outras hipóteses)

que f (xM) ≥ f (x) ∀ x ∈ IR . Quest˜ao 4) (a) y = 1 π x (b) y = −4π x + 12π√3 + 1 3 ! Quest˜ao 5) (a) f0(x) = x 2_{(3 − 2x)} e2x ∀ x ∈ IR . f 0_{(x) = 0 quando x = 0 ou x = 3/2 .}