Varia¸c˜ao m´edia:
Sejam f : X → IR e y = f (x) .
A vari´avel y representa uma quantidade de “alguma grandeza” (distˆancia, volume, ´area, etc.) que depende da vari´avel independente x, a qual por sua vez representa tamb´em uma quantidade de alguma grandeza.
J´a vimos que ∆y = f (x1 + ∆x) − f (x1) ´e a varia¸c˜ao da fun¸c˜ao, correspondente a uma
varia¸c˜ao de x1 a x1+ ∆x (∆x ´e o chamado acr´escimo em x).
Ent˜ao ∆y ∆x =
f (x1+ ∆x) − f (x1)
∆x ´e a chamada VARIAC¸ ˜AO M´EDIA de y por unidade de varia¸c˜ao de x, quando x varia de x1 a x1 + ∆x.
Exemplo: Seja S (em cent´ımetros quadrados) a ´area de um cubo de aresta x (cent´ımetros). Encontre a raz˜ao de varia¸c˜ao m´edia da ´area por unidade de varia¸c˜ao no comprimento da aresta quando x varia de ... (a) ... 3 a 3, 2 cm (b) ... 3 a 3, 1 cm
Varia¸c˜ao instantˆanea:
Quando fazemos ∆x → 0 no quociente ∆y/∆x lim ∆x→0 ∆y ∆x
, o limite (quando existir)
ser´a a RAZ ˜AO (TAXA) DE VARIAC¸ ˜AO INSTANT ˆANEA de y por unidade de varia¸c˜ao de x em (no INSTANTE em que) x = x1 .
Mas lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim∆x→0 f (x1 + ∆x) − f (x1) ∆x = f 0
(x1) (se existir o limite).
Portanto a derivada f0(x1) representa a raz˜ao (taxa) de varia¸c˜ao instantˆanea de y = f (x)
Exemplo: Considerando o exemplo anterior, qual a raz˜ao de varia¸c˜ao da ´area do cubo por varia¸c˜ao de cent´ımetro no comprimento da aresta quando x = 3 ?
Definimos ainda a taxa (raz˜ao) de VARIAC¸ ˜AO RELATIVA de y por unidade de varia¸c˜ao de x em x1 como sendo
f0(x1)
f (x1)
(propor¸c˜ao da varia¸c˜ao instantˆanea em rela¸c˜ao `a quantidade f (x1) em x = x1). Multiplicando por 100, temos a taxa de VARIAC¸ ˜AO PERCENTUAL,
dada por f 0(x 1) f (x1) · 100 . Exemplos:
(A) Um cilindro reto, de base circular, tem altura constante igual a 10 cm. Se V cm3 ´e o
volume desse cilindro e r cm o raio de sua base, encontre:
(a) A raz˜ao de varia¸c˜ao m´edia do volume por unidade de varia¸c˜ao do raio, quando r varia de 5 a 5, 1 cm.
(b) A raz˜ao de varia¸c˜ao instantˆanea do volume , por unidade de varia¸c˜ao do raio, quando r = 5 e quando r = 5, 1 cm.
(c) As taxas de varia¸c˜ao relativas do volume, por unidade de varia¸c˜ao do raio, quando r = 5 e quando r = 5, 1.
(B) O lucro de um dep´osito de retalhos ´e de 100y reais quando x reais s˜ao gastos diariamente em propaganda e y = 2500 + 36x − 0, 2x2 . Use a derivada para determinar se seria vantajoso que o or¸camento di´ario de propaganda aumentasse, nos seguintes casos:
(a) O or¸camento atual ´e de 60 reais di´arios; (b) O or¸camento atual ´e de 100 reais di´arios.
(C) Em um circuito el´etrico, se E ´e a for¸ca eletromotriz, R ohms ´e a resistˆencia e I amperes ´e a corrente, a Lei de Ohm afirma que IR = E .
Admitindo que E seja constante, mostre que R decresce em uma raz˜ao que ´e proporcional ao inverso do quadrado de I.
Se E = 100 volts, qual a taxa de varia¸c˜ao de I por unidade de varia¸c˜ao de R quando R = 20 ohms ?
(D) A temperatura T (em graus Celsius) de uma solu¸c˜ao no instante t (minutos) ´e dada por T (t) = 10 + 4t − 3
t + 1 , com 1 ≤ t ≤ 10 .
(E) A Lei de Boyle para os gases afirma que p · V = c , onde p ´e a press˜ao, V ´e o volume e c uma constante. Suponhamos que no instante t (minutos), a press˜ao seja dada por 20 + 2t u.p., com 0 ≤ t ≤ 10 . Se em t = 0 o volume ´e de 60 cm3, determine a taxa de varia¸c˜ao do volume por unidade de varia¸c˜ao do tempo quando t = 5.
Um caso particular: interpreta¸c˜ao cinem´atica da Derivada
Suponhamos agora que s = s(t) represente a posi¸c˜ao de um objeto ao longo de uma linha reta, como fun¸c˜ao do tempo t:
Se em t1 o objeto estava em s(t1) e em t1+ ∆t estava em s(t1+ ∆t) , a varia¸c˜ao total da
posi¸c˜ao do objeto entre os instantes t1 e t1+ ∆t ´e dada por
∆s = s(t1+ ∆t) − s(t1)
A taxa de varia¸c˜ao m´edia de s por unidade de varia¸c˜ao de tempo, entre o t1 e t1+ ∆t ´e
s(t1+ ∆t) − s(t1)
∆t
Essa ´e a VELOCIDADE M´EDIA com que o objeto se movimentou de s(t1) at´e s(t1+ ∆t)
entre os instantes t1 e t1+ ∆t.
A raz˜ao de varia¸c˜ao instantˆanea da posi¸c˜ao s do objeto por unidade de varia¸c˜ao do tempo, no instante t1 ´e dada por
s0(t1) = lim ∆t→0
s(t1+ ∆t) − s(t1)
∆t
Se s0(t1) > 0 ent˜ao a taxa de varia¸c˜ao em t1 ´e positiva, ou seja, s est´a aumentando em t1,
ou melhor, o objeto est´a se movimentando no sentido adotado como positivo. Se s0(t1) < 0 , o movimento em t1 ´e contr´ario ao sentido positivo.
Se s0(t1) = 0 ent˜ao o objeto est´a parado no instante t1.
Exemplos:
(A) Um foguete ´e lan¸cado verticalmente para cima e est´a a s m do solo t s ap´os ter sido lan¸cado (t ≥ 0), sendo s(t) = 160t − 5t2 (o sentido positivo ´e para cima). Determine:
(a) A velocidade m´edia entre os instantes t = 0 e t = 4 s.
(b) A velocidade instantˆanea nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 2 s. (c) Em t = 20 s, o foguete est´a subindo ou caindo ?
(d) Quanto tempo leva o foguete para alcan¸car a sua altura m´axima ? (e) Qual a altura m´axima atingida pelo foguete ?
(B) Uma pedra ´e solta de um edif´ıcio de 80 m de altura e a equa¸c˜ao do movimento ´e dada por s(t) = −5t2 (t em segundos, t ≥ 0, orienta¸c˜ao positiva para cima).
(a) Qual a velocidade da pedra 1 segundo ap´os ser lan¸cada ? (b) Quanto tempo leva a pedra para alcan¸car o solo ?
(c) Qual a velocidade (instantˆanea) da pedra ao atingir o solo ?
Obs.: Assim como definimos a velocidade como varia¸c˜ao da posi¸c˜ao por unidade de varia¸c˜ao do tempo, definimos a ACELERAC¸ ˜AO como sendo a varia¸c˜ao da velocidade (olhando v = v(t)) por unidade de varia¸c˜ao do tempo.
(C) A posi¸c˜ao s de um objeto em movimento retil´ıneo ´e dada por s(t) = 2t3− 15t2+ 48t − 10 ,
com t medido em segundos e s(t) em metros. Determine a acelera¸c˜ao quando a velocidade ´e de 12 m/s. Determine a velocidade quando a acelera¸c˜ao ´e de 10 m/s2.
(D) Um bombardeiro est´a voando paralelo ao ch˜ao a uma altitude de 2 km e a uma veloci- dade constante de 4, 5 km/min. A que raz˜ao varia a distˆancia entre o bombardeiro e o alvo exatamente 20 segundos ap´os o bombardeiro passar sobre o alvo ?
Exerc´ıcios:
1) O volume de um bal˜ao esf´erico (em p´es c´ubicos) t horas ap´os 13:00 ´e dado pela equa¸c˜ao V (t) = 4
3π(9−2t)
3, com 0 ≤ t ≤ 4. Qual a varia¸c˜ao m´edia do volume por unidade de varia¸c˜ao
de tempo entre t = 0 e t = 4 ? Qual a taxa de varia¸c˜ao do volume por unidade de varia¸c˜ao de tempo `as 16:00 ?
2) Suponha que, t segundos ap´os ter come¸cado a correr, o pulso de um indiv´ıduo tenha sua taxa dada por P (t) = 56 + 2t2− t (batimentos por minuto), com 0 ≤ t ≤ 7 . Determine a
varia¸c˜ao m´edia de P por unidade de varia¸c˜ao de t quando t varia de 2 a 4 segundos. Obtenha a taxa de varia¸c˜ao de P por unidade de varia¸c˜ao de t em t = 2, t = 3, t = 4.
3) O iluminamento I (em u.i. - “unidades de iluminamento” ) de uma fonte de luz ´e diretamente proporcional `a intensidade S da fonte e inversamente proporcional ao quadrado da distˆancia d da fonte. Se, para uma certa fonte, I = 120 u.i. a uma distˆancia de 2 p´es, determine a taxa de varia¸c˜ao de I por unidade de varia¸c˜ao de d, quando d = 20 p´es.
4) A rela¸c˜ao entre a temperatura F , na escala Fahrenheit, e a temperatura C, na escala Celsius, ´e dada por C = 5/9(F − 32). Qual a taxa de varia¸c˜ao de F em rela¸c˜ao a C ?
5) Deve-se construir uma caixa aberta com uma folha retangular de cartolina de 40 cm de largura e 60 cm de comprimento, cortando-se um quadrado de s cm de lado em cada canto e dobrando-se a cartolina. Expresse o volume V da caixa em fun¸c˜ao de s e determine a taxa de varia¸c˜ao de V em rela¸c˜ao a s. Se queremos obter uma caixa com o maior volume poss´ıvel, responda se ´e conveniente ou n˜ao aumentar s quando: s = 5cm ou s = 10cm.
Obs.: Lembremos que a ACELERAC¸ ˜AO de um objeto em movimento retil´ıneo ´e a taxa de varia¸c˜ao da velocidade v por unidade de varia¸c˜ao do tempo t.
6) Para cada uma das situa¸c˜oes abaixo, define-se a posi¸c˜ao s de um objeto em movimento retil´ıneo como fun¸c˜ao do tempo t. Determine a velocidade e acelera¸c˜ao em cada instante t e tente descrever o movimento (posi¸c˜ao inicial, velocidade inicial, dire¸c˜oes do movimento, quando a velocidade aumenta, diminui, etc.) durante os intervalos de tempo indicados: (a) s(t) = 3t2−12t+1 , t ∈ [0, 5] (b) s(t) = t+4/t , t ∈ [1, 4] (c) s(t) = 24+6t−t3, t ∈ [−2, 3]
(d) s(t) = 1 − e
−3t
3 , t ∈ [0, 2] (e) s(t) = 3 cos πt , t ∈ [0, 2] (f) s(t) = t
2−4 ln(t+1) , t ∈ [0, 4]
7) Lan¸ca-se um objeto verticalmente para cima, sendo a altura atingida s p´es ap´os t segs dada por s(t) = 144t − 16t2. Obtenha a velocidade e a acelera¸c˜ao iniciais e no instante t = 3 s (descreva o que ocorre). Qual a altura m´axima atingida ? Quando o objeto atinge o solo ?