(A) Determine as dimens˜oes do retˆangulo de ´area m´axima que pode ser inscrito num triˆangulo equil´atero de lado a, com dois dos v´ertices sobre um dos lados do triˆangulo.
(B) Os pontos A e B s˜ao opostos um ao outro nas margens de um rio reto com 3 km de largura. O ponto C est´a na mesma margem que B, mas a 6 km de B, rio abaixo. Uma com- panhia telefˆonica deseja estender um cabo de A at´e C. Se o custo por km do cabo ´e 25% mais caro sob a ´agua do que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia ?
(C) Um cartaz de 20 p´es de altura est´a localizado no topo de um edif´ıcio de tal modo que seu bordo inferior est´a a 60 p´es acima do n´ıvel do olho de um observador. Use fun¸c˜oes trigonom´etricas inversas para determinar a que distˆancia de um ponto diretamente abaixo do cartaz o observador deve se colocar para maximizar o ˆangulo entre as linhas de vis˜ao do topo e da base do cartaz.
Exerc´ıcios:
1) Se uma caixa de base quadrada, aberta no topo, deve ter um volume de 4 p´es c´ubicos, determine as dimens˜oes que exigem a menor quantidade de material (desprezar a espessura e aperda de material). Refa¸ca o problema considerando o caso de uma caixa coberta.
2) Determine as dimens˜oes do cone circular reto de volume m´aximo que pode ser inscrito numa esfera de raio a.
3) Uma longa folha retangular de metal, de 12 polegadas de largura, vai ser utilizada para formar uma calha, dobrando-se em ˆangulo reto duas bordas (de mesma medida). Quantas polegadas devem ser dobradas de forma que a capacidade da calha seja m´axima ? Refa¸ca o problema considerando que os lados da calha devam fazer um ˆangulo de 2π/3 rad com a base.
4) Encontre as dimens˜oes do retˆangulo de maior ´area que tem 200 cm de per´ımetro. 5) Determine o ponto do gr´afico de y = x3 mais pr´oximo do ponto (4, 0).
6) Um fabricante vende certo artigo aos distribuidores a US$20,00 por unidade para pedidos de menos de 50 unidades. No caso de pedidos de 50 unidades ou mais (at´e 600), o pre¸co unit´ario tem um desconto igual a US$0,02 vezes o n´umero de encomendas. Qual volume de encomendas proporciona maior receita para o fabricante ?
7) `As 13:00 horas um navio A est´a a 30 milhas ao sul do navio B e navegando rumo norte a 15 mph (milhas por hora). Se o navio B est´a navegando rumo oeste a 10 mph, determine o instante em que a distˆancia entre os dois navios ´e m´ınima.
8) Uma ilha est´a num ponto A, a 6 km do ponto B mais pr´oximo numa praia reta. Um armaz´em est´a num ponto C a 9 km de B na praia. Se um homem pode remar `a raz˜ao de 4 km/h e caminhar `a raz˜ao de 5 km/h, onde ele deveria desembarcar para ir da ilha ao armaz´em no menor tempo poss´ıvel ?
9) Encontre as dimens˜oes do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito num cone circular reto com altura 12 cm e raio da base 6 cm.
10) Jos´e comprou uma TV nova, de tela plana, para assistir `a Copa do Mundo. A TV tem uma altura de 0,5 m e vai ser colocada a 4 m de distˆancia dos olhos de Jos´e, quando ele estiver sentado confortavelmente em seu sof´a, xingando aqueles milion´arios que est˜ao jogando vezes o que deveriam para ganhar a Copa ( → 0). Sabendo que os olhos de Jos´e, ao sentar-se, est˜ao a 1,5 m de altura do solo e num n´ıvel entre os bordos inferior e superior da TV, a que altura do solo deve ser colocada a TV para que o ˆangulo de vis˜ao de Jos´e seja m´aximo ?
11) Corta-se um peda¸co de arame de 2 m de comprimento em duas partes. Uma parte ser´a dobrada em forma de c´ırculo e a outra em forma de quadrado. Como dever´a ser cortado o arame para que: (a) a soma das ´areas das duas figuras seja t˜ao pequena quanto poss´ıvel; (b) a soma das ´areas das duas figuras seja a maior poss´ıvel.
12) Um oleoduto deve ligar dois pontos A e B, distantes 3 milhas e situados nas margens opostas e um rio retil´ıneo de 1 milha de largura. Parte do oleoduto ser´a constru´ıda sob a ´
agua, de A at´e um ponto C na margem oposta, e o restante `a superf´ıcie, de C at´e B. Se o custo de constru¸c˜ao do oleoduto sob a ´agua ´e quatro vezes o custo da constru¸c˜ao `a superf´ıcie e sabendo que a regi˜ao onde est´a sendo constru´ıdo o oleoduto n˜ao pertence `a Bol´ıvia, determine a localiza¸c˜ao de C que minimize o custo de constru¸c˜ao.
13) O propriet´ario de um pomar estima que, plantando 24 ´arvores por are, cada ´arvore produzir´a 600 ma¸c˜as por ano. Para cada ´arvore adicional plantada por are, haver´a uma redu¸c˜ao de 12 ma¸c˜as por p´e por ano. Quantas ´arvores deve plantar por are para maximizar o n´umero de ma¸c˜as (por are por ano) ?
14) Um piloto de testes da F´ormula 1 percorre um circuito el´ıptico plano, de forma que sua posi¸c˜ao, ap´os t vezes 10-segundos, ´e dada por s(t) = (x(t), y(t)) = (2 cos t, sen t) (fa¸ca um esbo¸co da trajet´oria percorrida pelo piloto). O vetor velocidade (tangencial), num instante t ´e dado por v(t) = s0(t) = (−2. sen t, cos t) (tente fazer um esbo¸co). A velocidade (tangencial) escalar ´e dada pelo m´odulo do vetor velocidade: |v(t)|. Supondo que o piloto n˜ao ´e o Rubinho Barrichello e portanto deve completar pelo menos uma volta no circuito, calcule os pontos onde o piloto alcan¸ca as velocidades m´aximas e m´ınimas. (Sugest˜ao: maximizar e minimizar |v(t)|2)