Atividade 3

Esta atividade apresentava dois objetivos: o primeiro era estimar a média dos dados representados em um gráfico de barras; o segundo era perceber que o gráfico de barras se equilibrava quando o eixo está em cima de média aritmética.

Inicialmente observamos que, no primeiro gráfico (figura 35), a estudante não teve dificuldades em estimar a média, visto que a distribuição dos dados era simétrica e, portanto, a média estaria no meio da distribuição. Segundo a estudante: “nesse caso é mais fácil porque

está tudo igual, né. Então a média vai ser literalmente o número do meio dessa vez”. Enquanto

a aluna dizia “está tudo igual” ela realizava movimentos com a seta na tela, indicando que as frequências representadas pelas barras do gráfico eram simétricas em relação à média. Apesar disso, pela sua justificativa ainda não foi suficiente compreender se a aluna tomou consciência de que a média aritmética leva em conta a igualdade das somas das distâncias dos dados em relação à média em ambos os lados, esquerdo e direito.

Figura 35 - Gráfico de barras com distribuição simétrica.

Fonte – Acervo da pesquisa.

Para verificar quais aspectos a estudante leva em conta para estimar a média em distribuições assimétricas, a pesquisadora apresentou outros gráficos presentes no objeto. Neste instante, constatamos que, em todos os casos, ela levou em consideração o intervalo de maior frequência dos dados e, também, a ideia de equilíbrio por meio da compensação das distâncias. O diálogo a seguir sobre a média do gráfico E4 (figura 36) comprova esse fato:

P: Tu estás te baseando pelo o que a maioria tirou para estimar a média?

E: É de certa forma. Pelo o que a maioria tirou e, também, porque está meio que balanceado o número de pessoas que tiraram um, dez, [...] é mais ou menos. Então sei lá, a média está entre 6 e 7, é 7, por aí.

Figura 36 – Estudante E estimando a média aritmética no gráfico E4.

Fonte – Acervo da pesquisa.

Quando a aluna responde “está meio que balanceado” ela faz referência a frequência dos dados representados pelas barras presentes no 1 e no 10 da escala, dando a entender que, para ela, está subentendida a ideia de equilíbrio entre os valores. Compreendemos que a estudante leva em consideração as suas observações dos gráficos que ficam equilibrados quando o eixo está posicionado no valor da média dos dados, visto que, após a estimação da média em cada gráfico, o mesmo também era apresentado em desequilíbrio.

Sobre a questão da média como ponto de equilíbrio, a aluna concluiu, ao observar o primeiro gráfico com distribuição simétrica, que o mesmo se equilibrava na média porque ela estava posicionada justamente no meio. Na sequência, ao observar o gráfico seguinte com distribuição assimétrica em desequilíbrio, sua opinião não se manteve, visto que a média não coincidia com o meio do gráfico. Segundo ela: “Agora eu já não sei mais. Acho que ele se

equilibra na média, não sei. Talvez na média? Na média. Porque não é mais o meio né. Não sei, acho que na média”.

Conforme a estudante experimentava equilibrar outros gráficos com distribuições assimétricas, através do arrastar do ponto presente no eixo no gráfico, sua hipótese se confirmava. Ao fazer uma síntese das suas observações nos gráficos a aluna responde: “É que

conforme a ‘bolinha’ se aproximava da média o desequilíbrio ia diminuindo, até que ficava equilibrado o gráfico”. A estudante conclui ainda que “a média é o ponto de equilíbrio dos valores”. Quando solicitada a explicar o que seria o ponto de equilíbrio da média, no contexto

do gráfico E5 presente na tela (figura 37), a aluna responde: “Não sei. Se somasse todas as

notas, a nota que poderia definir a nota da turma, considerando quem tirou 1 e quem tirou 10 [...] considerando toda a diferença que teve, seria 5,3 a nota média. É a nota que representaria a turma, nesse caso.”

Figura 37 – Estudante E estimando a média aritmética no gráfico E5.

Fonte – Acervo da pesquisa.

A resposta da estudante sugere que ela está levando em consideração as somas das diferenças de cada valor até a média tanto à esquerda quanto à direita dela. Para compreender se a aluna tomou consciência dessa propriedade propomos a seguinte situação:

P: Um aluno justificou o equilíbrio da média porque poderíamos empilhar as barrinhas à esquerda e à direita do gráfico. Gostaria de saber o que tu achas desse raciocínio?

E: Se tu não levares em consideração o peso, não vai ficar equilibrado. Mas se tu levares em consideração que tivesse pesos diferentes, então talvez sim. Ai, eu não sei afirmar se iria ficar equilibrado ou se não iria. [Conclui a estudante após pensar e mudar de ideia várias vezes.]

Observamos que essa pergunta desequilibrou as estruturas de pensamento da aluna, visto que, apesar de haver compreendido a média como ponto de equilíbrio, não sabia justificar esse equilíbrio com suas próprias palavras. Diante dessa situação, a pesquisadora apresentou, em uma outra tela, novamente um gráfico de pontos (figura 38) com distribuição assimétrica. O objetivo era mostrar que a ideia de equilíbrio está relacionada ao princípio do funcionamento da alavanca que leva em conta, no contexto da Estatística, a proporção entre a frequência e a distância dos valores até a média, conforme o diálogo a seguir:

Figura 38 – Estudante E investigando a Média Aritmética como ponto de equilíbrio.

Fonte - Acervo da pesquisa.

P: Me explica essa ideia de ponto de equilíbrio nesse caso. Porque tu estavas me falando sobre essa ideia de ter peso ou não. Me explica agora nesse contexto. Neste caso o que está fazendo com que a média seja esse ponto de equilíbrio?

E: Nesse caso, eu já não sei. Porque se essas bolinhas aqui (à esquerda da média) pesam a mesma coisa que essas bolinhas aqui (a direita da média) aí eu acho... [Respondeu sem conseguir concluir o raciocínio.]

P: Mas o que está fazendo atribuir o peso as bolinhas?

E: O lugar em que elas estão. [...] É porque se tu levares em consideração o peso, daí é diferente. Tipo assim: todas as bolinhas que estão no 1 e as quatro bolinhas que estão no 10 [...] se botar uma barra aqui e o eixo onde está a média, não vai ficar reto. Ou vai? Não, acho que não vai ficar. Ah, ou vai. Não? P: Se tu pensares em uma gangorra?

E: Ah, vai sim. Estou tentando me lembrar da gangorra. [...] Tá! Vai ficar em equilíbrio. Por que, por exemplo, na gangorra: se o eixo não está bem no meio e tu colocas alguma coisa na ponta do lado que está maior, então tu precisas de vários outros pontos do lado que está menor para conseguir balancear, para deixar reto. É como se o peso contasse mais lá na ponta do que quando está perto do eixo, digamos assim. Sei lá, finge que tem uma barra. Aqui tem 7 cm da barra e aqui tem 2 cm da barra. Põeum peso

onde tem 7 cm lá na ponta. Tu precisas de vários outros pesos iguais lá na ponta de 2 cm para equilibrar a gangorra ou a balança.

P: Entendi. E tu achas que a ideia dele de empilhar barras faz sentido?

E: Aqui no gráfico de barras eu diria que sim, lá no gráfico de pontos eu diria que não. Mas acho que é porque nesse caso a média está bem longe do centro sabe. Lá a média está bem perto do centro. Daí quando a média está quase no centro eu me perco um pouco.

Compreendemos, através desse diálogo, que ao se deparar com uma situação nova a aluna teve que reorganizar as suas estruturas internas de pensamento. Além disso, o gráfico de pontos forneceu elementos observáveis para a realização de abstrações do tipo pseudo- empíricas relativas à ideia de equilíbrio da média. Em particular, a aluna relaciona a ideia de equilíbrio à compensação da soma das distâncias dos pontos à média tanto à direita quando à esquerda dela. Ainda que a estudante tenha apresentado dificuldades ao associar as ideias de equilíbrio em ambos os gráficos (de pontos e de barras), compreendemos que ela tomou consciência do significado de ponto de equilíbrio associado à média.

Para finalizar, a pesquisadora propôs que a aluna expressasse o significado da média sem utilizar a definição da fórmula. Segundo a aluna: “A média é um ponto de equilíbrio. [...]

A média é o ponto do meio. Não, o ponto do meio é a mediana. Sei lá, não sei definir sem usar a fórmula e sem dizer equilíbrio”. Percebemos que, desta vez, a aluna demonstra mais clareza

ao considerar as diferenças entre média e mediana, demonstrando uma elevação de reflexionamento ao patamar das comparações.

Quando interrogada sobre qual a contribuição dessa atividade no GeoGebra para a ideia de média, a estudante faz referência a ideia de equilíbrio. Segundo ela: “eu nunca pensei

nisso na vida”. Até o presente momento, a estudante apenas conseguia definir a média por meio

da fórmula, dando indícios de que ela sabia calcular a média sem compreender e refletir sobre o seu significado, ou seja, fazer sem compreender. Os recursos presentes no GeoGebra possibilitaram transcender os limites do fazer e do compreender, oferecendo movimento à ideia de equilíbrio para a média, permitindo a realização de abstrações reflexionantes, conforme observado nessa atividade.