Média aritmética sensível aos valores extremos

Esta atividade consiste em observar se as estudantes compreendem a média como uma medida que leva em conta todos os dados e é modificada na presença de valores muito afastados do conjunto de dados. Para isso, a pesquisadora retornou ao gráfico de pontos referente às idades dos alunos e solicitou que as estudantes movessem um ponto do gráfico, afastando-o dos demais. A figura 20 mostra o ponto afastado no gráfico pela aluna, posicionado no 36 da escala.

Figura 20 - Ponto afastado no gráfico pela aluna.

Fonte: Acervo da pesquisa.

Ao mover o ponto, as alunas imediatamente perceberam que a média foi alterada e novas reflexões foram feitas a partir do arrastar de pontos conforme o diálogo a seguir:

A: A média alterou bastante. [Observa uma aluna quando o ponto foi arrastado.]

P: O que acontece quando temos um dado como esse em nossa pesquisa? Imagine que, ao observar a idade das pessoas, percebemos que a maioria das idades estão entre 14 e 20 anos e há um aluno com 36 anos de idade.

A: Eu acho que tu desconsideras esse ponto.

D: Na verdade se for pensar não, porque mudou a média então ele faz parte do gráfico. P: Por que tu desconsideras?

A: Porque ele é um só, daí... [aluna pensando]. É porque a média já está pronta ali. Agora se a gente tem um intervalo, onde está todo mundo ali junto com o mesmo resultado, daí tem um só que é “um caso à parte” ... [aluna pensando]. Eu acho que não considera, sei lá. [...]. É porque a média já está pronta, a gente já calculou a média, então vai alterar porque tu estás movendo um ponto. Mas se a gente não tem uma média e a gente for calcular, daí não precisa.

Cremos que a expressão “mesmo resultado” da aluna referia-se ao intervalo 14 a 20 e a expressão “um só” referia-se ao ponto afastado que foi posicionado no 36 da escala.

A resposta apresentada pela aluna “A” poderia levar o diálogo para outro caminho, não sendo possível atingir o objetivo pretendido pela pesquisadora. Portanto, neste momento do diálogo, a pergunta inicial foi retomada, propondo dessa vez que um novo ponto seja arrastado pelas alunas, onde novamente o diálogo se reestabelece:

P: Ao arrastar o novo ponto, a média foi modificada? D: Sim.

P: O que podemos pensar sobre isso? Ou seja, que características da média podemos extrair?

D: É que a média não é o que mais aparece, ela é a soma de todos eles. Não importa se um tem 14 e dez tem 16. Eu acho. [Concluiu a aluna.]

A expressão “ela é a soma de todos eles”, dita pela aluna “D”, sugere que ela percebe que a média considera todos os dados do grupo pesquisado e por isso a média foi modificada quando um ponto foi afastado dos demais dados.

O próximo diálogo refere-se à representatividade da média, onde a pesquisadora busca investigar se as alunas percebem em quais situações a média é considerada uma medida representativa para o conjunto de dados observados.

P: Podemos dizer que a nova média – 18,08 – calculada a partir do movimento do ponto do gráfico, representa a idade dos alunos?

B: Não, porque só uma pessoa tem 36 e o resto das pessoas são mais jovens do que ela.

P: Então poderíamos dizer que os alunos têm em média 18 anos? Esse valor representa bem o grupo de alunos pesquisados?

C: Sim, porque é a média.

P: No que vocês pensam quando ouvem a frase: “A média de idade dos alunos é de 18 anos”. A, B, C e D: Que a maioria dos alunos tem 18 anos.

As estudantes B e C pareciam discordar da representatividade do valor da média encontrado. Porém, a distribuição dos dados no gráfico também não permitia que as alunas observassem as características que a professora desejava, pois não estava evidente que a média pode não ser em alguns casos uma boa medida para representar o conjunto de dados. Então ela propõe o arrastar de alguns pontos do gráfico de modo que o valor da média seja modificado dinamicamente, ficando ora mais próximo, ora mais afastado do conjunto de dados. Ao observar o movimento uma aluna faz a seguinte observação:

B: Então a média sempre vai acompanhar o ponto máximo? P: Será que ela irá acompanhar?

Novamente, percebe-se aqui uma frase que revela a percepção da aluna sobre a média como uma medida sensível aos valores extremos graças ao caráter dinâmico do software que modificava o valor da média ao arrastar os pontos no gráfico. No entanto, a pesquisadora estava interessada em saber se as estudantes percebiam a média como representativa e retoma o diálogo sobre a representatividade da média.

P: Ok, mas vamos observar o novo valor da média: 17,36. Esse valor representa bem a idade dos alunos de acordo com o gráfico?

B: Não resumiria mais se fosse o número 16. P: E o que está “puxando” a média para o 17,36? B: A pessoa que tem 36 anos.

P: E será que a média é a melhor medida para representar as idades dos alunos? B: Talvez a moda representaria melhor.

P: Será? Um aluno me disse que acha que nem sempre a média é eficiente. Será que ele tem razão? D: Tem outros recursos, a gente pode usar a média, a moda e a mediana. Daí depois que a gente fizer todos eles a gente pode chegar a uma conclusão.

De acordo com os diálogos transcritos compreendemos que as alunas perceberam por abstração pseudo-empírica que a média é alterada quando um ponto é afastado dos demais, visto que, ao arrastar um ponto do gráfico, o objeto foi modificado cuja conclusão das alunas ocorreu a partir dessa modificação. Quando a aluna “D” justifica esse fato argumentando que a média “é a soma de todos eles” compreendemos que ela percebeu, também por abstração pseudo-empírica, que a alteração da média ocorreu porque levou em consideração todos os dados. No entanto, não sabemos se ela estende essa observação para diferentes contextos, generalizando a propriedade.