Média aritmética como ponto de equilíbrio

Esta atividade consiste em observar se as estudantes compreendem a média como um ponto de equilíbrio dos dados. Para isso, foi aplicada uma atividade21 no GeoGebra, na qual as alunas deveriam estimar a média aritmética através da observação do gráfico de barras e, em seguida, comprovar a sua estimativa selecionando o item “comprovar” presente na tela. Em outra tela, é possível observar o mesmo gráfico sendo equilibrado quando o controle deslizante presente no eixo horizontal é movido e posicionado na média aritmética, conforme ilustra a figura 17:

Figura 17 - Média Aritmética como ponto de equilíbrio.

Fonte: Atividade criada por José Luis Álvarez García22 _{e adaptada pela autora}23_.

21 _{Atividade 2 sobre média aritmética descrita no apêndice D.}

22 _{Disponível em <https://www.geogebra.org/m/fwMmYGtx>. Acesso em: 10 mar. 2017.}

O primeiro gráfico observado era o mesmo presente da figura 17, onde as alunas deveriam estimar a média aritmética e em seguida posicioná-las no eixo horizontal do gráfico. A primeira atitude de uma das alunas foi recorrer à calculadora para encontrar a média. Outra estudante sugeriu que a média estivesse no meio, conforme expresso no diálogo a seguir:

B: Eu colocaria bem no meio. Sabe por quê? Porque dos dois lados ela tem o mesmo valor, então a média seria bem ao meio. Eu penso assim. [Explica a aluna com os olhos fixos na tela tentando justificar sua resposta.]

P: Tu achas que a média está bem no meio? [Pergunta a pesquisadora tentando compreender a resposta da aluna.]

B: Eu acho porque dos dois lados eles têm os mesmos valores. Se fosse calcular a média, ela seria a central ali eu acho. Entre o 5 e o 6. Eu acho que é isso.

P: Certo, então clica no botão estimar. B: Deu 5,5.

P: Confirmou o que tu pensavas?

B: Sim, mas eu ainda não entendi. Eu fiz essa associação por cima porque eles tinham os mesmos valores mesmo sendo números diferentes. Mas eu ainda não entendi.

P: Quem tinham os mesmos valores? B: As barras.

A partir da resposta da estudante, a pesquisadora propõe que seja acessada a tela onde aparece o mesmo gráfico em desequilíbrio e propõe que seja movimentado o controle deslizante sobre o eixo horizontal do gráfico, conforme ilustra a figura 18:

Figura 18 - Gráfico sendo “equilibrado” pela aluna através do controle deslizante.

Ao observar a tela com o gráfico em desequilíbrio a aluna se espanta: P: Movimenta o ponto azul embaixo do triângulo.

B: Movimento para onde?

P: Para onde tu quiseres. Fica movendo e observa o que acontece. B: Ah ... Que legal! [Surpreende-se a aluna ao mover os pontos.] P: Clica em comprovar. Não deu a média que tu tinhas estimado? B: Sim! [Responde a aluna ao observar a média posicionada no gráfico.] P: Agora posiciona o ponto azul.

B: É como se fosse uma balança. P: E aí?

B: A média é o que equilibra.

P: A média é o que equilibra quando a balança se equilibra? [Pensando sobre a resposta de aluna.] A: Quando está no meio.

B: Não, quando está na média.

P: Quando está no meio ou quando está na média? A: É que essa média é no meio, daí equilibrou a balança.

P: Será que o gráfico se equilibra porque está no meio ou porque está na média? B: Porque está na média.

P: Será?

A: Eu não sei. Tinha que ver outro exemplo.

A pesquisadora propõe que seja observado outro gráfico de barras, com uma distribuição assimétrica dos dados para que as alunas pudessem investigar se o gráfico se equilibraria no meio ou na média. A figura 19 ilustra o gráfico observado pelas alunas:

Figura 19 - Gráfico de barras com distribuição assimétrica.

Neste gráfico, as alunas tiveram dificuldades em estimar a média, visto que nunca haviam pensado sobre essa estimação a partir de um gráfico de barras, necessitando se apoiar no cálculo da média a partir da calculadora. O rastro da seta rosa localizada na escala horizontal do gráfico permitiu que as estudantes observassem o equilíbrio do gráfico sobre o valor da média. O diálogo a seguir descreve suas reações ao mover a seta:

B: Ah, então realmente é a média é que equilibra. P: Não é o meio então?

B: Não, não é o meio.

A: É! Olha ali que lindo! Equilibrou! [Expressa a aluna ao verificar através da tela de outro computador que o gráfico se equilibra na média aritmética.]

P: Então, o que nós poderíamos dizer sobre a média? B: É o equilíbrio...

A: Não, não é o equilíbrio. Temos que achar uma resposta. Se a média equilibra o gráfico... o gráfico são os nossos resultados...

D: São os nossos dados. [Interrompe a colega tentando ajudá-la.]

A: São os nossos dados. Então...eu não consigo formar um raciocínio. Deixa eu ver. [Responde a aluna tentando elaborar uma resposta.]

D: É que a gente não sabe o conceito da média. P: Mas ela está relacionada à ideia de equilíbrio, né? C: A média é o equilíbrio. [Afirma a aluna.]

A: A média é meio que a nossa base.

P: A média é o equilíbrio, tu achas? [Pergunta para a aluna C.] C: Acho que sim.

B: Eu acho que sim.

O rastro da seta rosa na escala horizontal do gráfico permitiu a modificação do objeto na tela pelas alunas ao mesmo tempo em que pensavam nas características sobre a média aritmética a partir desse movimento. A ideia de balança e equilíbrio, expressas inicialmente pelas alunas, são resultantes do processo de abstração reflexionante do tipo pseudo-empírica, visto que as características atribuídas por elas resultam das coordenações de suas ações a partir do movimento observado no gráfico. Consideramos ainda que a interpretação da média como o equilíbrio pelas alunas “B” e “C” é resultado do processo de abstração a partir dos gráficos com distribuições diferentes presentes no GeoGebra. Observamos que a aluna “A”, ao tentar formalizar o raciocínio sobre média, busca reorganizar as abstrações obtidas a partir do movimento do gráfico em um patamar superior, porém não conseguiu formalizar as ideias observadas sobre a média aritmética. Ou seja, ela tenta justificar a ideia de equilíbrio, mas não consegue observar que o equilíbrio ocorre devido à combinação existente entre as distâncias e as frequências dos valores do gráfico em relação à média.