Parte II Enquadramento teórico
1. Breve incursão pela história da Geometria De Euclides até ao séc XX
É fundamental incluir neste trabalho uma referência a Euclides de Alexandria (325 a. C.-265 a.C.), mesmo que esta seja muito breve. Intitulado por inúmeros autores como o pai da Geometria, Euclides, deixou-nos um legado da maior importância, a sua obra composta por treze livros, “Os Elementos”.
No livro I é tratada a Geometria Plana - Propriedades dos triângulos, teoria das paralelas e figuras equivalentes. Os conteúdos abordados em cada nos outros doze livros são a Álgebra Geométrica, a Geometria do Círculo, os Polígonos Regulares, a Teoria das Proporções, Tales e figuras semelhantes, a Teoria dos Números, Números Incomensuráveis, a Geometria Espacial de Posição, as Áreas e volumes e os Poliedros regulares.
Os Elementos é uma obra que contém o tratamento axiomático-dedutivo mais antigo da Matemática e pode ser encarado como uma antecipação do método axiomático da Matemática moderna.
O livro I18 começa com uma lista de Definições (da I à XXXV) sem qualquer comentário como, por exemplo:
“I. Ponto é o, que não tem partes, ou o, que não tem grandeza alguma.”; “II. Linha é o, que tem comprimento sem largura.”;
“III. As extremidades da linha são pontos.” (…)
A seguir às Definições surgem os Axiomas e os Postulados, por esta ordem. Da lista dos doze axiomas vejam-se os exemplos:
(…)
“XI. Todos os angulos rectos são eguaes. [Postulado 4]
XII. E se uma linha recta, encontrando-se com outras duas rectas, fizer os ângulos internos da mesma parte menores que dous rectos, estas duas rectas, produzidas ao infinito concorrerão para a mesma parte dos dictos angulos internos. [Postulado 5]”
Da etimologia latina do vocábulo “postular” que significa “pedir com instância” concluímos que Euclides “pede” a aceitação das proposições geométricas que formula nos Postulados (usualmente axiomas):
“I. Pede-se como cousa possivel, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha recta.
II. E que uma linha recta determinada se continue em direitura de si mesma, até onde seja necessario.
III. E que com qualquer centro e qualquer intervallo se descreva um circulo.”
Note-se que toda a Geometria Euclidiana assenta nos três conceitos fundamentais, o de ponto, o de reta e o de círculo, e nos cinco postulados a eles referentes. O 5.º postulado, por ter um texto mais complexo que os outros quatro levou a que se pensasse que ele era independente deles e que não se tratasse de uma verdade de igual modo imediata.
Começou a grande odisseia, que duraria séculos, da tentativa de demonstrar o quinto postulado partindo dos outros quatro. Matemáticos tais como Ptolomeu (87-150 d. C.), Proclus (410-485) e Wallis (1616-1703) falharam o intento. Girolamo Saccheri (1667-1733) também não consegue fazê-lo, mas é o primeiro a utilizar na sua demonstração a possibilidade de existência de triângulos cuja soma dos ângulos internos é maior ou menor do que 180º, o que contraria a Geometria Euclidiana. No século XVIII o francês Legendre (1752-1833) conseguiu demonstrar que este axioma é equivalente a afirmar que "A soma dos ângulos internos de um
18 Livro I da Versão Latina de Frederico Commandino, Coimbra, Imprensa da Universidade, 1855,
acedido no sítio http://jnsilva.ludicum.org/hm2008_9/Elementos_livroI.pdf em 03/03/2014 (Commandino, 1855).
triângulo é sempre igual a dois ângulos retos". No mesmo século, o matemático britânico John Playfair19 (1748-1819) apresentou uma formulação equivalente do 5.º postulado mais simples do que a de Euclides. Poucos anos depois, Gauss (1777-1855), tal como todos os que o antecederam, tentou deduzir o axioma das paralelas a partir dos restantes quatro. Não o conseguindo após repetidos esforços, convenceu-se, por volta de 1817, de que este era independente dos restantes e começou a investigar as consequências de uma geometria em que o axioma das paralelas não fosse verificado. Então, o 5.º postulado, já designado por "Postulado das paralelas", passou a ser posto em causa, como axioma fundamental, dando origem a novas axiomáticas, designadas de não-euclidianas (Blumenthal, 1980).
Estávamos no início do século XIX. Lobatschewski (1792-1856) e János Bolyai (1802-1860), com trabalhos independentes, mas com ponto de partida comum, procuraram o desenvolvimento de uma nova geometria a partir de um sistema axiomático em que o Postulado das Paralelas fosse substituído por outro alternativo. Pela primeira vez são publicados resultados relativos a uma nova Geometria Não Euclidiana: Geometria Hiperbólica. Na Geometria Hiperbólica o Postulado das Paralelas é substituído pelo axioma, dada uma reta e um ponto exterior à reta, existem, pelo menos, duas retas distintas contendo o ponto dado e paralelas à reta dada. O primeiro modelo para a geometria Hiperbólica foi apresentado em 1868 por Eugenio Beltrami (1835-1900). Um segundo modelo da Geometria Hiperbólica é o modelo de Poincaré num semiplano que foi apresentado por Henri Poincaré (1854-1912) em 1882. Para além do semiplano, Poincaré também desenvolveu o modelo do Disco que mantém o seu nome. Proposto por Félix Klein (1849-1945), outro modelo para a Geometria Hiperbólica é o do Disco de Klein.
Outra hipótese de substituição do postulado das paralelas pelo axioma, dada uma reta e um ponto exterior à reta, não existe nenhuma reta contendo o ponto dado e paralela à reta dada, remete-nos para a Geometria esférica. A Geometria Esférica enquanto Geometria Não Euclidiana em que não existem retas paralelas foi primeiramente reconhecida por Bernhard Riemann (1826-1866). Nesta geometria as retas são círculos máximos e contrariamente ao que acontece na Geometria Hiperbólica e na Geometria Euclidiana duas retas distintas não se intersetam num único ponto, mas sim em dois pontos (dois círculos máximos distintos têm dois pontos em comum que se designam-se por pontos antípodas). Nesta situação o primeiro postulado de Euclides, “dois pontos definem uma única reta”, não se verifica. Esta questão é resolvida pelo matemático Felix Klein (1849-1925) que em 1871 propõe a identificação de ponto na esfera como sendo um par de pontos antípodas e uma reta como sendo um círculo máximo com os seus extremos identificados. Felix Klein designa esta nova geometria por Geometria Elíptica.
19 O livro que aborda este assunto é “Elementos de Geometria”, disponível na versão original em
http://books.google.pt/books?id=2XlaAAAAcAAJ&printsec=frontcover&hl=pt-PT#v=onepage&q&f=false, consultado em 04/03/2014 (Playfair, 1866).
A partir do momento em que são descobertas as Geometrias Não Euclidianas surgem vários sistemas axiomáticos. Desses sistemas sobressai Fundamentos da Geometria, de David Hilbert (1862-1943) estruturalmente influenciado por Euclides (Kline, 1972).
Desenvolvida por Hermann Minkowski (1864-1909), a Geometria Táxi é uma forma de Geometria Não Euclidiana, caraterizada por uma métrica nova em que a distância entre dois pontos é obtida pela soma dos trajetos verticais e horizontais entre eles, ou seja, a partir das coordenadas cartesianas desses dois pontos do plano, a distância é a soma das diferenças absolutas entre as suas coordenadas. Existem várias designações para esta geometria, neste estudo manteremos a designação de Geometria Táxi.