Natureza, Funções didáticas e Processo ensino/aprendizagem da Geometria

A geometria oferece-nos uma maneira de interpretar e refletir sobre o mundo em que vivemos. Para Laborde (1989), uma primeira caraterística da geometria fundamenta-se nas ligações complexas que ela preserva com o espaço físico que nos envolve. Assim, a geometria constitui-se como modelização deste espaço físico. Uma segunda caraterística diz respeito a uma mediação entre o espaço físico e os conhecimentos geométricos teóricos, que é constituída pelas representações gráficas (figuras da geometria plana, representações em perspetiva, sistemas de vistas de desenhos técnicos, …). Estas representações apresentam por um lado, aspetos figurativos e por outro lado simbólicos, assentes sobre códigos e convenções sociais, mas também sobre propriedades geométricas. Finalmente, uma terceira caraterística referente à existência de dois sistemas de significantes, as representações gráficas e o discurso em linguagem natural, mas fundamentalmente às correspondências entre estes dois sistemas cujas propriedades são totalmente diferentes (Laborde, 1989).

Referindo-se à importância da geometria, Guy Brousseau (2000) afirma que a aprendizagem da geometria leva os alunos a raciocinar matematicamente, ou seja, a uma mistura de raciocínio dedutivo e de imaginação indutiva que é ativada pela manipulação de imagens reconhecidas. Segundo este mesmo autor, a Geometria não consiste apenas em descrever o que se vê, mas para além disso permite-nos estabelecer o que deve ser visto (Brousseau, 2000).

Numa perspetiva curricular, Abrantes (1999) refere que a riqueza e variedade da geometria constituem argumentos muito fortes para a sua valorização no currículo e nas aulas de Matemática e fundamenta esta afirmação nos seguintes pressupostos: na geometria é possível encontrar inúmeros exemplos e concretizações da relação entre realidade concreta e situações matemáticas, o que permite tratar uma grande variedade de objetos e situações; a

geometria é uma “fonte” de uma grande variedade de problemas e processos de resolução, que podem ser de visualização, representação, construção, transformações geométrica, forma e dimensão, algébricos, cálculo combinatório, possibilitando conexões com outros domínios da Matemática; aspetos essenciais da natureza da Matemática podem ser trabalhados a partir de atividades investigativas na geometria, pois estas atividades favorecem a formulação e resolução de problemas, permitem ainda conjeturar, testar, validar ou refutar, generalizar, justificar, comunicar a descoberta de forma natural, assim como para a natureza e o valor da demonstração em Matemática; por último, qualquer que seja o nível de escolaridade ou de desenvolvimento dos alunos, é sempre possível propor atividades de exploração e investigação em geometria (Abrantes, 1999).

A geometria pode ser um excelente meio para a criança indicar o seu nível de compreensão, o seu raciocínio, as suas dificuldades ou soluções. Normalmente são surpreendentes as resoluções geométricas que são apresentadas como resoluções de problemas algébricos. Alguns exemplos deste tipo de resoluções são apresentados em Lorenzato (1995) e, este autor, refere no mesmo artigo que a Geometria é a mais eficiente conexão didático- pedagógica que a Matemática possui. Fundamenta essa conexão referindo que a Geometria se interliga com a Aritmética e com a Álgebra pois existe uma correspondência entre os objetos e relações da Geometria com os da Aritmética e da Álgebra. Assim, os conceitos, as propriedades e as questões aritméticas ou algébricas podem ser clarificados pela geometria, o que se revela uma verdadeira tradução para o aluno. Para aqueles que procuram um facilitador de processos mentais, tudo o que é necessário pode ser encontrado na geometria (Lorenzato, 1995). A Geometria é um dos ramos da matemática que mais favorece o desenvolvimento de capacidades e habilidades, tais como a criatividade, a perceção espacial, o raciocínio hipotético-dedutivo, levando à interpretação do mundo físico que nos rodeia. De todos os domínios do conhecimento a que os alunos têm de aceder, a geometria insere-se naquele que exige uma atividade cognitiva mais completa pois requer o gesto, a linguagem e o olhar (Duval, 2005a). Nesse domínio, construir, raciocinar e ver não ocorrem isoladamente, o que traduz a complexidade de qualquer análise enquanto fenómeno didático. O mesmo autor refere ainda que é a inter-relação entre a construção, o raciocínio e a visualização que capacita o aluno com a proficiência necessária em Geometria.

A importância dos modelos geométricos na grande variedade de estudos matemáticos e a eficácia da Matemática no domínio da geometria têm contribuído para que a distinção entre conhecimento do espaço e geometria tenda a desaparecer (Brousseau, 2000). Esta distinção não é fácil de reconhecer pelos alunos e também não está na mente dos professores. Contudo, na perspetiva do mesmo autor, esta distinção é extremamente importante quando a geometria deixa de ser usada como conhecimento por si só, e passa a ser usada como ferramenta para o ensino com o objetivo de levar o aluno a raciocinar dedutivamente ou de o iniciar na utilização de uma teoria matemática. Em súmula, usada como ferramenta, a

geometria reúne potencialidades que devidamente exploradas permitem desenvolver várias capacidades cognitivas propiciando o estudo de conteúdos matemáticos com aplicações em várias ciências. Esclarecer as diferentes funções da geometria, como meio de representação do espaço ou como modelo de uma atividade matemática, evitará erros, desentendimentos e outras falhas.

É através da Geometria que podemos estruturar tudo o que nos rodeia, o ambiente físico onde nos movemos e vivemos ou o universo em que estamos inseridos. Somos levados, pela perceção dos objetos, a associar propriedades geométricas tais como a forma e a medida ao mundo que nos rodeia. As noções básicas de geometria que reconhecemos nos objetos com que lidamos todos os dias levam-nos a percecionar o mundo físico que nos rodeia com base no conhecimento geométrico de que dispomos. Quando invocamos, por exemplo, o conceito de reta associa-se-lhe uma imagem mental. Neste simples exemplo reconhecemos a necessidade de uma articulação cognitiva entre duas representações: a primeira, a linguagem, como forma de expressão de conceitos e propriedades e a segunda, a visualização de formas representativas do espaço que nos rodeia (Duval, 2005a). A dificuldade na aprendizagem da geometria reside no facto de que quer a visualização, quer a verbalização requererem funcionamentos cognitivos diferentes e de maior complexidade do que quando são mobilizados noutras áreas do conhecimento, fora da geometria. Poderemos sempre modificar o discurso sobre os objetos, orientá-lo numa determinada direção de acordo com um objetivo pré-definido, mas não conseguiremos modificar as formas que de um modo geral serão reconhecidas, pois o reconhecimento visual escapa a qualquer controlo intencional. A procura das condições ideais para a aprendizagem da geometria pode passar por se conseguir que a visualização e a linguagem funcionem em sinergia.

Pelo facto de lidarmos com entidades abstratas, será pela linguagem que melhor lhes poderemos aceder. Assim, a linguagem tem um papel bastante importante no desenvolvimento dos conceitos geométricos. As formas prototípicas como uma linha reta, um triângulo ou uma circunferência são descritas verbalmente de forma que nos possibilitam imaginar representações platónicas perfeitas, como o exemplo atrás citado de uma reta perfeita sem espessura que pode ser prolongada em qualquer direção. A prova euclidiana também utiliza a linguagem como forma de fornecer argumentos verbais que possam sustentar um raciocínio discursivo, contudo os textos diferirão de aluno para aluno consoante o tipo de representação visual que lhes serve de apoio.

A intuição é frequentemente mencionada no domínio da aprendizagem da geometria como sendo essencial no processo de aprendizagem (Fujita, Jones, & Yamamoto, 2004). A intuição é apresentada como sendo a habilidade em “ver” figuras geométricas, imaginando-as mentalmente. Através da manipulação mental de figuras, podem destacar-se as propriedades, decompor ou compor, imaginar composições, criar novas figuras, para serem aplicadas na análise e/ou resolução de problemas. Poincaré (1908) refere a existência de vários tipos de

intuição e distingue a que faz apelo aos sentidos e à imaginação e a intuição do número puro como sendo a que leva à génese dos raciocínios matemáticos. Para este último autor, a intuição é o instrumento da invenção e a lógica será o da demonstração (Poincaré, 1908). Voltando a Fujita et al. (2004), é referido que são várias as visões sobre o papel e a natureza da intuição geométrica e ainda de que há dúvidas de como se pode desenvolver a intuição nos alunos. Vários educadores têm vindo a pronunciar-se sobre o papel crucial que a intuição tem no processo ensino/aprendizagem da geometria. Para Fischbein (1993), referido em Fujita et al., 2004, um quadrado pode ser descrito a partir das suas propriedades conceituais, que lhe são intrínsecas, sustentadas pela teoria geométrica, mas possui também uma representação mental de uma propriedade espacial. Com base nesta afirmação, refere que o raciocínio geométrico é caracterizado pela interação entre esses dois aspetos, que designa de figurativo e de conceitual. Também citado por Fujita et al. (2004) e Mason (1991), é referido por sugerir que, em primeiro lugar, os diagramas podem ser pensados como um meio de despertar a imaginação mental e, em segundo lugar, como formas de aumentar, ampliar e fortalecer as imagens mentais e, consequentemente, o pensamento matemático.

Goldenberg, Cuoco & Mark (1998, p.6) consideram que as visualizações na geometria são muito importantes quando se pretende resolver problemas em geometria. Para tal, sugerem que o “pré-requisito é a capacidade em separar uma figura na mente, ver os elementos individuais e formular conjeturas suficientemente boas sobre a relação entre ambos de modo a conduzir a escolha de mais ferramentas experimentais e analíticas” (Goldenberg, Cuoco, & Mark, 1998).

Na nossa perspetiva, a aprendizagem da geometria pode ser interpretada segundo dois focos de incidência. Por um lado, resultante da atividade em que os alunos se envolvem e que deverá ser proporcionada por tarefas cuja resolução dê sentido aos conhecimentos geométricos visados. Por outro lado, assente numa construção coletiva e social que conduz a um modo específico de agir, falar e pensar.