Sessão [12-GT_T 1 ]

Compareceram os três alunos do 12.ºano: David, Rafael e Roberto. Sentaram-se na mesma mesa o Rafael e o David ficando o Roberto em pé. Disse-lhe para se sentar junto dos colegas e sentou-se no outro lado da mesa o que permitiu que eu ocupasse o lugar ao lado dele e em frente dos dois colegas que já estavam sentados.

Pedi-lhes que tirassem o material de escrita das mochilas, mas que não precisavam de papel pois iriam escrever na ficha que eu tinha para lhes distribuir.

Distribui a tarefa 1 e pedi que começassem.

1. Rafael: Podemos discutir uns com os outros?

Este grupo de alunos são meus alunos desde o 7.º ano e nos últimos três anos têm sido assíduos no Clube de Matemática. Nota-se que estão perfeitamente à vontade e habituados a resolver tarefas de investigação.

2. Professora: Estava a ver que ninguém começava… claro que podemos e devemos conversar todos… Como é hábito é mesmo isso que pretendo. Até estou a gravar…

3. Rafael: (Apontando para o registo feito na figura.) O caminho mais simples é este!

4. David: Como?

(Roberto olha para os colegas como se não estivesse a perceber nada com semblante confuso)

5. Rafael: Mais curto, sim, porque as diagonais são sempre maiores que os lados…

6. Professora: Roberto não tens nada a dizer?

7. Roberto: (Roberto aponta para o registo dele) O caminho mais curto é este!

8. Professora: Está bem, mas o que é “caminho mais curto?” 9. David: Então, o mais rápido é este! (aponta para a sua ficha)

10. Professora: A definição de caminho mais curto passa por velocidade? 11. David: Não é isso… este é o mais curto! (insiste em apontar)

12. Professora: Então será que podem representar de outro modo o caminho mais curto?

13. Rafael: Não! (Resposta bastante acentuada como se não houvesse qualquer outra discussão à volta da questão.)

14. Professora: Ok Rafael…então como definiriam, em linguagem natural, o que acabaram de representar na vossa figura?

15. David: O caminho mais curto entre os pontos A e B, é o segmento de reta AB.

16. Rafael: Por isso é que se abrem os túneis… 17. Professora: Explica lá isso melhor Rafael? 18. Rafael: Temos de ir em linha reta…

19. Professora: Ah!... Será o segmento de reta invocado pelo David? Roberto o que te parece?

20. Roberto: Eu também acho que o caminho mais curto entre os pontos A e B é um segmento de reta.

21. Professora: Então parece-me que estamos todos de acordo. Continuemos…

Durante brevíssimos segundos leem, sem se pronunciar, cada um para si. 22. David: Podemos continuar a assinalar na ficha?

23. Professora: Claro, é mesmo para assinalarem e registarem o que precisarem.

24. Rafael: Mas há vários!

25. Professora: Do que estás a falar Rafael?

26. Rafael: Não podemos assinalar porque há vários.

27. David: Aqui diz para assinalar o caminho, a pergunta não está bem! 28. Professora: Se há vários, assinalem um deles. Mas atenção, pretende-se o

mais curto.

29. Rafael: É esse o problema. Há vários, mesmo sendo o mais curto! 30. Professora: Está bem, têm razão… assinalem um na figura.

Estes alunos revelam um poder crítico que não foi visível em nenhum dos grupos anteriores e de forma muito pertinente põem em causa a redação do enunciado.

31. Professora: Insistem em que há vários… são capazes de dizer quantos são, afinal?

32. David: São as combinações.

33. Professora: O que achas Roberto? Estás muito calado.

34. Roberto: Há quatro caminhos com quatro unidades de comprimento. 35. Professora: E onde “entram” as combinações?

36. David: Demos este ano. No cálculo combinatório e fizemos exercícios em que tínhamos de contar os caminhos. Estão no manual.

37. Professora: Todos têm presente o que o David está a dizer?

Pela expressão e pelo aceno ligeiro com a cabeça, nota-se que estão em sintonia. O Roberto, para além de ser o menos conversador é também o menos expressivo e por isso insisto em repetir-lhe a questão.

38. Professora: Estás relembrado Roberto?

39. Roberto: Sim, aqui podíamos fazer combinações de 4, três a três. 40. David: …ou de quatro, um a um, via-se logo que eram quatro!

41. Professora: Está bem.

Estes alunos estão munidos de conhecimentos que não fazem parte do domínio de conhecimentos dos alunos do 10.º e 11.º anos. Podemos considerar que as ferramentas psicológicas de que dispõem restringem a sua zona de desenvolvimento proximal. Não existe uma grande distância entre os conhecimentos já adquiridos e o conhecimento que está a ser construído.

42. Professora: Podemos virar a folha e continuar, por favor? Podes ler Roberto? (Roberto lê em voz alta e após a leitura ficam os três em silêncio)

43. Rafael: Posso criar um referencial? 44. Professora: Se precisas, podes…

45. David: Nas quadrículas marcamos todos os caminhos?

46. Professora: Se quiseres… Se achas que te pode dar jeito. Quero que tirem algumas conclusões…

Depois de fazerem algumas representações no quadriculado respeitante à distância euclidiana e à distância Táxi, o Rafael e o David procedem ao registo recorrendo à linguagem formal da Matemática. Este registo revela que possuem conhecimentos que lhes permite proceder a passagem entre representações diferentes.

O Roberto olhou para as fichas dos colegas e sentiu-se incomodado e questionou: 47. Roberto: A distância entre U e V determina-se da mesma maneira que a

distância entre G e H?

48. Professora: Estão a ouvir o Roberto? Roberto, repete a tua questão, por favor?

49. Roberto: Como U e V estão na horizontal e G e H também, não há diferença no cálculo da distância. Eu acho que não.

50. Professora: O vosso colega está a dizer que na situação dos pontos U e V e entre G e H, a distância euclidiana e a distância Táxi são iguais. Concordam?

51. David: Se estivessem na vertical também era. 52. Professora: Então o que podemos concluir?

53. Rafael: (encolheu os ombros) Se os pontos estiverem na horizontal ou na vertical não precisamos de usar isto (apontou para a sua ficha), mas isso é lógico!

54. Professora: o que queres dizer com “isso é lógico”?

55. Rafael: é normal… porque a horizontal ou a vertical é mesmo o caminho mais curto, quer para uma distância quer para a outra.

56. Professora: Estão todos de acordo? 57. Roberto: Faz sentido!

58. Professora: Estou a olhar para os vossos registos… Rafael, porque identificas as coordenadas como pertencentes a Z e tu David, porque as colocaste pertencendo a R?

59. David: Então porque dá para todos os valores! 60. Professora: E tu, Rafael?

61. Rafael: Teve a ver com os pontos que estavam representados. Como estão no vértice das quadrículas e a quadrícula tem uma unidade de comprimento para a medida do lado, são sempre coordenadas inteiras. 62. Professora: Então podemos generalizar para os reais, como disse o David? 63. Rafael: Claro! As coordenadas podem ter valores reais, eu só fiz assim por

causa destes pontos.

64. Professora: Podemos dar a sessão por terminada ou querem perguntar alguma coisa?

Abanaram a cabeça dizendo que não

65. Professora: Então até para a próxima sessão