Cálculo da carga na laminação de tiras a frio

Segundo (PLAUT, 1987), uma estimativa para a carga de laminação de tiras a frio pode ser obtida considerando o processo de laminação como uma compressão homogênea, ou seja, a distribuição de pressão ao longo do arco de contato é uniforme. A área de contato dos cilindros com a tira será dada pela equação 22.

𝐴 = 𝐿 . 𝑊 = √𝑅. Δℎ . 𝑊...(22) Equação 22 – Área de contato dos cilindros de laminação

3.2.10.1 O Modelo de Ekelund

Uma expressão de grande utilidade para o cálculo da carga de laminação, devido à sua facilidade matemática e razoável precisão, foi proposta por Ekelund em 1972. Nela aparecem o coeficiente de atrito (𝜇) e o raio deformado dos cilindros (R’), dado pela equação de Hitchcock. Segundo (NETO, 2006), o modelo de Ekelund para determinação da carga de laminação pode ser obtido pela equação 23.

𝑃

𝑊= 𝑆̅ . √𝑅′. Δℎ [1 +

1,6 . 𝜇 . √𝑅′_{. Δℎ − 1,2 . Δℎ}

(ℎ𝑖+ ℎ𝑓) ]...(23) Equação 23 – Modelo de Ekelund para cálculo da carga de laminação

Esta expressão conduz a resultados satisfatórios num amplo intervalo de espessuras e reduções do material, sendo particularmente adequada para inclusão em programas computacionais para cálculo de sequências de passe.

Substituindo o modelo de Ekelund na expressão de Hitchcock (equação 15), obtém- se uma expressão quadrática em √𝑅′_{. ∆ℎ , conforme expressão 24.}

(_{𝐶 . 𝑅}1 − 1,6 . 𝜇 . 𝑆̅_(ℎ 𝑖 + ℎ𝑓)) . 𝑅 ′_{. ∆ℎ − 𝑆̅ . (1 −} 1,2 . Δℎ (ℎ𝑖 + ℎ𝑓)) . √𝑅 ′_{. ∆ℎ −} ∆ℎ 𝐶 = 0 ...(24) Equação 24 – Expressão quadrática em (√𝐑′_{. ∆𝐡 ) por Ekelund e Hitchcock}

A condição suficiente para a existência de raízes reais desta expressão quadrática é que (_{𝐶 . 𝑅}1 > 1,6 . 𝜇 . 𝑆̅_(ℎ

𝑖 + ℎ𝑓)). Assim, resolvendo-se a expressão quadrática 24 para o raio deformado R’, resulta na equação 25.

𝑅′₌ 1 ∆ℎ . [ 𝑆̅.(1 − 1,2 . Δℎ (ℎ𝑖 + ℎ𝑓)) + √𝑆̅ 2 _{(1 −} 1,2 . Δℎ (ℎ𝑖 + ℎ𝑓)) 2 + 4.(_{𝐶 . 𝑅}1 − 1,6 . 𝜇 . 𝑆̅ (ℎ𝑖 + ℎ𝑓)) . ∆ℎ 𝐶 2 .(_{𝐶 . 𝑅}1 − 1,6 . 𝜇 . 𝑆̅ (ℎ𝑖 + ℎ𝑓)) _] 2 ...(25)

Equação 25 – Resolução da expressão quadrática em (√𝐑′_{. ∆𝐡 )}

A equação 25 permite o cálculo direto do raio deformado R’ e somente tem significado físico o valor positivo da raiz. Uma vez determinado o raio R’, pode-se usar o modelo de Ekelund (equação 23) na determinação da carga de laminação.

3.2.10.2 O Método de Kulikov, Bielenki e Raputiov

O método desenvolvido por Kulikov et al. (1976) propõe a determinação da potência dos motores de acionamento das cadeiras de laminação através de gráficos de carga estática. Esse método propõe a determinação da carga de laminação aplicada aos cilindros do laminador por material metálico não ferroso.

A figura 10 ilustra o momento de laminação apresentado pela equação 26, causado pela deformação plástica do material laminado e definido em função da carga de laminação e do braço de alavanca que ocorre nos cilindros do laminador.

𝑀_𝑙𝑎𝑚 = 2. 𝑃. 𝑏 = 2. 𝑃_𝑚𝑒𝑑. 𝐴. 𝑏...(26) Equação 26 – Momento de laminação sem deformação dos cilindros

Figura 10 – Momento de laminação nos cilindros

Ao se considerar a possibilidade de deformação dos cilindros no laminador, pode-se calcular o momento de laminação pela equação 27.

𝑀_𝑙𝑎𝑚 = 2. 𝛽. 𝑃. √𝑅. ∆ℎ...(27) Equação 27 – Momento de laminação com deformação dos cilindros

O momento de fricção do laminador é definido como aquele gerado pelos mancais dos cilindros e pelo mecanismo de transmissão do laminador (KULIKOV, BIELENKI e RAPUTIOV, 1976). Como o momento entre os mancais e os cilindros é muito maior que aquele gerado pelo mecanismo de transmissão, pode-se definir a equação 28.

𝑀_𝑓𝑟𝑐 ≈ 𝑃. 𝜇′_{. 𝑑}

𝑐._𝐷𝐷𝑡𝑟𝑎𝑏

𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜...(28) Equação 28 – Momento de fricção devido aos mancais do laminador

A potência necessária em determinado passe no qual ocorre um alongamento do material laminado pode ser dada pela equação 29.

𝑄𝑙𝑎𝑚 = 𝑚 . ∆𝑤_𝑡 ...(29) Equação 29 – Potência elétrica consumida no passe de laminação

O momento determinado por esta potência de laminação (𝑄_𝑙𝑎𝑚) leva em consideração o momento de laminação e o momento de fricção, mas não leva em conta o momento do laminador a vazio. Segundo Kulikov et al. (1976), o momento do laminador operando a vazio (𝑀𝑣𝑎𝑧) pode ser considerado como sendo de 3% a 5% do momento nominal do motor acionador da cadeira de laminação, chegando-se à equação 30.

(𝑀𝑙𝑎𝑚+ 𝑀𝑓𝑟𝑐) = 103.𝑄_𝜔𝑙𝑎𝑚

𝑐 ...(30) Equação 30 – Momento determinado pela potência elétrica do passe

Substituindo (𝑀𝑙𝑎𝑚 + 𝑀𝑓𝑟𝑐) na equação 30 e considerando que o laminador opera com cilindros achatados de mesmo diâmetro, chega-se à equação 31.

𝑃 ≅ 103. 𝑄𝑙𝑎𝑚

(2.𝛽.√𝑅 . ∆ℎ + 𝜇′_{. 𝑑𝑐) . 𝜔𝑐}...(31) Equação 31 – Carga de laminação pelo modelo de Kulikov

Segundo Kulikov et al. (1976), os métodos teóricos devem ser empregados na determinação dos gráficos de carga estática de novas ligas metálicas ou no início de operação de novos trens contínuos, quando não existirem dados empíricos confiáveis referentes às pressões médias ou consumos específicos de energia disponíveis. Os métodos teóricos usados na determinação da carga de laminação nos cilindros dos laminadores se fundamentam na equação 32.

𝑃 = 𝐴 . 𝑆. (𝑃𝑚𝑒𝑑

𝑆 )...(32) Equação 32 – Equação fundamental dos gráficos de carga estática

A figura 11 apresenta um exemplo de gráfico de carga estática, onde (𝑃𝑚𝑒𝑑

𝑆 ) depende do atrito exterior (𝛿), da relação existente entre o comprimento do arco de contato (L) e a espessura média do material laminado (ℎ𝑖+ ℎ𝑓

2 ) e também da redução relativa de espessura no passe (∆ℎ_ℎ

𝑖) 𝑥100.

Figura 11 – Relação (𝐏𝐦𝐞𝐝/𝑺) em função de (𝜹) para diferentes (∆𝒉/𝐡𝐢)𝒙𝟏𝟎𝟎

Kulikov et al. (1976) afirma que todos os métodos teóricos de cálculo conhecidos diferem um do outro pelo procedimento empregado para se determinar (𝑃𝑚𝑒𝑑

𝑆 ).

O método de A. Tsélikov, um dos mais utilizados, permite determinar (𝑃𝑚𝑒𝑑

𝑆 ) = 𝑓(𝛿) para diferentes reduções de espessura (∆ℎ_ℎ

𝑖) 𝑥100. O coeficiente 𝛿 é determinado pela expressão 𝛿 = 2. 𝜇√_∆ℎ𝑅, onde 𝜇 é o atrito exterior. Os valores de 𝑆 = 𝑓 (∆ℎ_ℎ

𝑖) e 𝜇 podem ser encontrados em literatura específica para tratamento de metais não ferrosos. Determina-se a carga de laminação nos cilindros pelo uso dos gráficos de carga estática a partir da equação 33.

𝑃 = 𝑃𝑚𝑒𝑑. 𝑊. √𝑅. ∆ℎ...(33) Equação 33 – Determinação da carga de laminação via gráfico de carga estática

3.2.10.3 O Modelo de Bland & Ford

Um modelo fundamentado na teoria da laminação e destinado ao cálculo da carga de laminação a frio foi proposto por Bland & Ford (1948, apud Helman et al., 1988). Este modelo realiza uma análise da distribuição de tensões e deformações locais baseada na geometria do passe. O cálculo das tensões desenvolvidas durante o processo de laminação realiza-se pelo método dos blocos, sendo feitas as seguintes suposições:

𝑖 – Estado plano de deformações;

𝑖𝑖 – Deformação homogênea em cada secção plana;

𝑖𝑖𝑖 – Coeficiente de atrito constante em cada arco de contato; 𝑖𝑣 – Arco de contato circular de raio R’;

𝑣 – Deformação elástica desprezível da tira.

Na figura 12 nota-se o ponto N na região de saída do arco de contato e o ponto M na região de entrada, separados pelo ponto B, ponto de convergência das forças de atrito da tira laminada.

Figura 12 – Blocos para análise das tensões no arco de contato

Fonte: Adaptado de HELMAN e BARBOSA et al., 1988

Para se deduzir a equação de equilíbrio no ponto de entrada M deve-se isolar o bloco M, de espessura infinitesimal e lados perpendiculares ao plano de laminação, caracterizado pelo ângulo 𝜑, conforme mostrado na figura 13.

Figura 13 – Tensões nos blocos infinitesimais isolados

Fonte: Adaptado de HELMAN e BARBOSA et al., 1988

Analisando-se o bloco M, obtém-se as relações expressas pela equação 34. 𝑑ℎ

2 = 𝑑𝑥 . tan 𝜑 = 𝑅

′_{. 𝑑𝜑 . sin 𝜑...(34)} Equação 34 – Relações matemáticas nos blocos infinitesimais M e N

Bland & Ford (1948, apud Helman et al., 1988) consideram que a largura da tira é unitária e estudam as componentes de todas as forças que atuam em cada bloco separadamente. Adotando-se como positivas as forças nos blocos (M e N) que se dirigem da direita para a esquerda, obtêm-se na direção x as seguintes forças:

𝑖 – Devido às tensões longitudinais, a equação 35.

(𝜎𝑥+ 𝑑𝜎𝑥). (ℎ + 𝑑ℎ) − ℎ . 𝜎𝑥...(35) Equação 35 – Somatório das forças horizontais devido às tensões longitudinais 𝑖𝑖 – Devido à pressão radial (Pr) de ambos os cilindros na direção 𝑥, a equação 36.

2 . (𝑃_𝑟 ._{cos 𝜑}𝑑𝑥 ) . sin 𝜑...(36) Equação 36 – Somatório das forças horizontais devido à pressão radial

𝑖𝑖𝑖 – Devido às forças de atrito (µ.Pr) nos dois cilindros na direção 𝑥, a equação 37.

2 . 𝜇 . (𝑃𝑟 ._{cos 𝜑}𝑑𝑥 ) . cos 𝜑...(37) Equação 37 – Somatório das forças horizontais devido às forças de atrito

Aplicando-se a condição de equilíbrio (∑𝐹𝑥= 0) separadamente nos dois blocos M e N, que são similares, pode-se reunir a análise em uma única equação conforme 38.

𝜎_𝑥. 𝑑ℎ + ℎ. 𝑑𝜎_𝑥+ 2 . 𝑃_𝑟 . 𝑑𝑥 . tan 𝜑 ± 2 . 𝜇 . 𝑃_𝑟 . 𝑑𝑥 = 0...(38) Equação 38 – Condição de equilíbrio nos blocos infinitesimais M e N

Bland & Ford (1948, apud Helman et al., 1988) desenvolveram essa condição de equilíbrio dada pela equação 38 para os dois blocos e chegaram às expressões que definem a distribuição de pressão nas regiões de saída e entrada do arco de contato após algumas simplificações seguidas de considerável trabalho algébrico.

A distribuição de pressão nas regiões de saída e entrada do arco de contato, sem a aplicação de tensões externas, podem ser dadas pelas equações 39 e 40.

𝑃+ 𝑆 =

ℎ

ℎ𝑓 . 𝑒𝑥𝑝 (+ 𝜇. 𝐻(𝜑))...(39) Equação 39 – Distribuição de pressão na região de saída sem tensão externa 𝑃−

𝑆 = ℎ

ℎ𝑖 . 𝑒𝑥𝑝 [𝜇 . (𝐻𝑖 − 𝐻(𝜑))]...(40) Equação 40 – Distribuição de pressão na região de entrada sem tensão externa

Onde,

𝐻(𝜑) = 2 . √_ℎ𝑅′

𝑓 . 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (√ 𝑅′

ℎ𝑓 . 𝜑)...(41) Equação 41 – Variável para simplificação da distribuição de pressão

A equação 38 constitui-se numa variável de simplificação. As mesmas equações 39 e 40 podem ser definidas para a situação em que se tem a aplicação de tensões externas, resultando respectivamente nas equações 42 e 43.

𝑃+ 𝑆 = (1 − 𝑡𝑓 𝑆𝑓) . ℎ ℎ𝑓 . 𝑒𝑥𝑝 (+𝜇. 𝐻(𝜑))...(42) Equação 42 – Distribuição de pressão na região de saída com tensão externa 𝑃− 𝑆 = (1 − 𝑡𝑖 𝑆𝑖) . ℎ ℎ𝑖 . 𝑒𝑥𝑝 [𝜇 . (𝐻𝑖− 𝐻(𝜑))]...(43) Equação 43 – Distribuição de pressão na região de entrada com tensão externa Pode-se calcular a posição do ângulo neutro 𝛼𝑁 fazendo-se 𝑃+ = 𝑃− nas equações anteriores, de onde se obtém para o ângulo neutro a equação 44.

𝛼_𝑁 = √ℎ𝑓 𝑅′ . 𝑡𝑔 [ 𝐻𝑁 2 . (√ ℎ𝑓 𝑅′)]...(44) Equação 44 – Determinação do ângulo neutro a partir de (𝐇_𝐍)

Onde,

𝐻𝑁= 𝐻₂𝑖−_{2 . 𝜇}1 . 𝑙𝑛 [

ℎ𝑖.(1− _𝑆𝑓𝑡𝑓) ℎ𝑓.(1− 𝑡𝑖_𝑆𝑖)

]...(45) Equação 45 – Variável para simplificação da expressão do ângulo neutro (𝛂_𝐍)

Segundo Bland & Ford (1948, apud Helman et al., 1988), calcula-se a carga de laminação pela integral da função distribuição de pressão nas regiões de saída (+) e entrada (-) do arco de contato dos cilindros, segundo a equação 46.

𝑃 𝑊= 𝑅 ′_{. (∫ 𝑃}𝛼𝑁 +_{(𝜑) . 𝑑𝜑 +} 0 ∫ 𝑃−(𝜑) . 𝑑𝜑 𝛼 𝛼𝑁 )...(46) Equação 46 – Carga de laminação pelo modelo de Bland & Ford

As expressões que definem a distribuição de pressão no arco de contato podem ser representadas graficamente pela “colina de fricção”, conforme figura 14.

Figura 14 – Colina de fricção da teoria da laminação

Fonte: Adaptado de HELMAN e BARBOSA et al., 1988

Nela podem-se visualizar duas regiões: a região A, que representa a força necessária à deformação homogênea do material sem atrito, e a região B, que representa a força adicional necessária devido ao atrito. Pode-se usar o critério de escoamento de Tresca (𝜎_𝑥 = 𝑆 − 𝑃) para se calcular a tensão longitudinal 𝜎_𝑥 em um ponto qualquer do arco de contato.

3.2.11 Determinação da carga de laminação pelas características físicas do