CÁLCULO DOS PARÂMETROS DO GRÁFICO COMBINADO

Esta seção descreve o cálculo dos parâmetros, mais especificamente o ARL e formas distintas de aproximação. A abordagem adotada neste trabalho é vista em seguida, com exemplos abrangendo variáveis com distribuição normal e binomial.

4.3.1 ARL de um gráfico combinado Shewhart CUSUM

Para Coelho (2008) as diversas aplicações de gráficos combinados Shewhart-CUSUM possuem suas próprias especificações, adequadas a cada caso (WESTGARD et al., 1977; GIBBONS, 1999; ZHOU et al., 2007; SOUZA e SAMOHYL, 2008).A abordagem markoviana foi utilizada por alguns autores para o cálculo das medidas

de desempenho do esquema combinado tanto de variáveis contínuas (LUCAS, 1982) como discretas (YASHCHIN, 1985; MORAIS, 2002; MORAIS e PACHECO, 2006). Um estudo com simulação foi realizado por Rocha (2004) que construiu tabelas de ARL em função dos parâmetros dos gráficos (limites de controle de Shewhart, k e h do CUSUM) para variáveis mensuráveis. O RL de esquemas combinados Shewhart-CUSUM foi investigado sob a ótica da ordenação estocástica por Morais (2004).

A combinação de gráficos de controle, considerando a função de probabilidade de ocorrência de alarmes falsos, foi abordada por Montgomery (2004); Souza e Samohyl (2008); Coelho (2008) e Wu et

al. (2008).

De modo geral, se há variáveis estatisticamente independentes para um produto em particular, e se o gráfico com probabilidade de erro tipo I é mantido para cada uma, então a verdadeira probabilidade (erro tipo I) para cada procedimento de controle conjunto, é ( onde ( é a probabilidade de que todas as variáveis sejam representadas no gráfico simultaneamente dentro de seus limites de controle (MONTGOMERY, 2004; ALVES, 2009). Seguindo este raciocínio, quando dois gráficos diferentes monitoram a mesma variável, a taxa de alarmes falsos do gráfico combinado será uma combinação

de taxas individuais de cada um, e para Shewhart e CUSUM respectivamente. Assim, uma expressão que sumariza essa combinação é dada por

4.5

No Exemplo 4.1 Coelho (2008) ilustra a aplicação da Equação 4.5. Exemplo 4.1: Dois gráficos de controle com taxas de alarme falso de 1% individualmente geram um gráfico combinado com taxa de alarme falso de cerca de 2%.

Portanto, desejando-se manter a taxa no valor original (1%), menor que 2%, os limites de controle dos dois gráficos devem ser recalculados, resultando em valores mais distantes da linha central (SOUZA e SAMOHYL, 2008).

Assim, no planejamento de gráfico é necessário ajustar o LSC (limite superior de Shewhart) e h (CUSUM) de modo a alocar o erro tipo I (taxa de alarme falso - α) do procedimento combinado. Se o LSC é relaxado, h necessita ser mais estreito, e o gráfico combinado terá um poder maior para detectar pequenas mudanças. Similarmente se o LSC for mais estreito, h será mais largo, tendo o gráfico um poder maior para detectar grandes mudanças (WU et al., 2008).

Uma vez determinados os valores de ARL0 do combinado e dos

esquemas individuais, podem-se encontrar os parâmetros do CUSUM e limites de controle de Shewhart, pelo método que for mais conveniente ao pesquisador. Os exemplos 4.2 e 4.3 mostram como ficam os parâmetros do CUSUM e do gráfico do tipo Shewhart para dois gráficos combinados.

Exemplo 4.24: adaptado de Coelho (2008). Deseja-se um gráfico combinado para monitoramento da média com ARL0 = 370 (comum em

processos industriais), equivalente ao do gráfico Shewhart isolado, com parâmetros do CUSUM iguais a e , os limites de Shewhart devem ser ajustados a uma distância de 3,5 desvios padrão da média ( . O valor do ARL0 do gráfico combinado, obtido por

simulação, conforme Rocha (2004), é igual a 397. Aplicando a Expressão 4.5, partindo-se do ARL0 combinado desejado de 370 e

CUSUM com parâmetros acima, então os valores aproximados de ARL0

e taxa de alarme falso para os gráficos combinado, Shewhart e CUSUM são: ARL0 do gráfico combinado = 370 ( ARL0 do gráfico

CUSUM = 465,44 ( e ARL0 do gráfico tipo Shewhart =

1800,48 (

Exemplo 4.3: adaptado de Wu et al.(2008). Deseja-se um gráfico combinado para monitoramento da média com ARL0 = 300, limites de

Shewhart com ( , , e CUSUM com valor de referência . Ao se aplicar a Expressão 4.5, partindo-se do ARL0 combinado desejado de 300 com os dados

anteriores, então os valores aproximados de ARL0 e taxa de alarmes

falsos da parte CUSUM são aproximadamente: ARL0 CUSUM = 318 e

. O valor do limite superior do CUSUM é 4

.

4

Resolvido com auxílio da função xcusum.crit do pacote spc (KNOTH, 2009)que estima o valor de (por cadeias de Markov) sendo dados e ARL0 de um CUSUM para variáveis com

Neste trabalho, a Expressão 4.5 será aplicada para o caso dos gráficos combinados para atributos com distribuição binomial. A taxa de alarmes falsos de Shewhart será determinada conforme exposto no Capítulo 2. Os exemplos 4.4 e 4.5ilustram o cálculo dos parâmetros dos gráficos para um esquema combinado binomial. O valor do ARL0 do

CUSUM e o parâmetro h são calculados usando-se o algoritmo de Hawkins (1992)5. O valor de k é calculado aplicando-se a Equação 3.11.

Exemplo 4.4: adaptado de Morais (2002) e Gan (1993).Para amostras de tamanho , distribuição binomial, considerando que se deseje gráfico combinado que detecte rapidamente uma mudança de 0,05 a 0,056 (12% em p0) e o ARL0 do esquema combinado deve ser

igual a 240. Um gráfico pode ser construído com os seguintes parâmetros:

a) para o CUSUM, resultando num ARL0

de aproximadamente 250;

b) do gráfico Shewhart com e ARL0

aproximado de 6000.

Os valores das taxas de alarme falso dos esquemas isolados CUSUM e SHEWHART são 0,4% e 0,017%. Então, o ARL0 do

esquema combinado será de 240 com taxa de alarme falso de 0,42%. Exemplo 4.5: adaptado de Morais e Pacheco (2006).Neste exemplo considera-se , distribuição binomial, e deseja-se detectar uma mudança de 0,02 a 0,0427685 (114% em p0) com:

a) O ARL0 do CUSUM é 1015,71;

b) O ARL0 de SHEWHART é 1073,03.

Um gráfico pode ser construído com os seguintes parâmetros: c) para o CUSUM;

d) do gráfico Shewhart com

O ARL0 do esquema combinado será de aproximadamente 522

com taxa de alarme falso de 0,19%.

5

Para que a adição dos limites de Shewhart tenha ação efetiva na performance do gráfico CUSUM, a seguinte condição deve ser satisfeita: (LUCAS, 1982; YASHCHIN6

, 1985; ROCHA, 2004) .

Quando , um sinal fora de controle estatístico só pode ser emitido apenas na parte Shewhart. Por este motivo os gráficos de controle de Shewhart clássicos podem ser considerados um caso especial do gráfico combinado CUSUM-Shewhart. O mesmo ocorre se k e h são iguais a zero. (YASHCHIN, 1985). Se , não é um gráfico combinado (ROCHA, 2004).

Isto fica bem claro para gráfico de monitoramento da média. Para gráficos Shewhart-CUSUM voltados a dados discretos não há ainda um detalhamento no que se refere a k. O valor de referência k, especificamente para o gráfico CUSUM binomial, pode assumir valores grandes, inclusive para mudanças de pequena magnitude, pois depende do tamanho da amostra n. Para Morais (2002), , caso contrário o desempenho do gráfico combinado é igual a do CUSUM unilateral.

4.4 SÍNTESE DO CAPÍTULO

Este Capítulo trouxe uma revisão bibliográfica e os principais conceitos associados aos gráficos combinado Shewhart-CUSUM. Abrangeu tópicos relativos ao embasamento teórico e aplicações, para variáveis mensuráveis e atributos. O cálculo das medidas de desempenho, com alguns exemplos, complementou este capítulo.

6

5. APROXIMAÇÕES PARA O LIMITE SUPERIOR DE UM