VALOR DE REFERÊNCIA K DO CUSUM BINOMIAL

Nesta seção será focalizado o valor de referência para um CUSUM Binomial. O objetivo é entender os procedimentos para escolha deste parâmetro.

A escolha do valor de referência implica que o gráfico CUSUM será delineado para detectar uma particular magnitude de mudança desejada. Existem, para Hawkins e Olwell (1998), duas formas apropriadas para a escolha de . A primeira refere-se circunstâncias específicas, onde existe um particular nível, se o processo está fora de controle, determinado previamente pelas próprias características do processo ou produto. A partir de cálculos teóricos ou experimentais é possível definir estes valores e o CUSUM pode ser delineado para detectar uma particular mudança nestes valores. A outra forma, e mais comum, é escolher o tamanho da mudança que se deseja detectar rapidamente. Isto implica que, existe uma mudança que é grande o suficiente para ter impacto sobre o processo, todavia pequena demais para ser detectada visualmente (HAWKINS e OLWELL, 1998).

Em se tratando de variáveis mensuráveis, é sempre escolhido a meio caminho entre o valor alvo e o valor da média (fora de controle) , que se está interessado em detectar rapidamente. Sendo a mudança expressa em unidades de desvio padrão, então corresponde à metade da magnitude da mudança (MONTGOMERY, 2004), sendo este

considerado ótimo para a detecção de (EWAN e KEMP, 1960;

JOHNSON e LEONE, 1962).

O parâmetro , de gráficos CUSUM para contagens, é determinado pela taxa de contagem aceitável e a taxa de contagem que se deseja detectar facilmente. Neste sentido, para um esquema CUSUM para variáveis com distribuição binomial seriam a média sob controle ( e a média fora de controle estatístico ( respectivamente.

Um primeiro procedimento para a escolha dos parâmetros de um CUSUM binomial foi baseado na aproximação à distribuição de Poisson. Este procedimento, de acordo com foi reproduzido em livros texto da época como em onde são encontradas Tabelas auxiliares para determinar os valores de e (KEMP, 1962; DUNCAN, 1986; BOURKE, 2001).

Posteriormente, alguns autores assumem que o valor de referência para o CUSUM binomial pode ser escolhido usando a representação do gráfico CUSUM como uma seqüência de testes SPRT (HAWKINS, 1992, 1998; GAN, 1993; REYNOLDS e STOUMBOS, 1998). Uma primeira aproximação do valor de referência com o mesmo do SPRT foi feita por Lucas (1985), para um CUSUM com distribuição de Poisson. Este valor de é próximo ao nível da média que contém a menor variabilidade, deferindo da recomendação de Bissel (1969) de selecionar o valor de quando a variância muda com uma alteração no nível da média. Esta recomendação (BISSEL, 1969) serve para a distribuição normal, mas não para Poisson, em virtude de sua assimetria.

A escolha de parâmetros ótimos para um CUSUM binomial foi estudada por Gan (1993), que investigou a escolha do valor de referência, confirmando que o do SPRT quantifica o desempenho do CUSUM, em termos de ARL. Até então, um desenho ótimo para procedimentos CUSUM para dados com distribuição binomial não existia na literatura da área.

Para facilitar a compreensão do trabalho de Gan, é necessário voltar às variáveis mensuráveis e um CUSUM para monitorar a média. Gan (1991) mediante extensivo trabalho numérico comprovou que, de fato, o é o mesmo ótimo do CUSUM para detectar . Neste

sentido voltou sua atenção para o CUSUM binomial. Não era claro se as propriedades ótimas do SPRT poderiam servir para o CUSUM binomial. Então estudou o CUSUM binomial com o como valor

para , e analisou os resultados. Escolhido um valor adequado para , o gráfico CUSUM é capaz de acumular a diferença com o valor

esperado de ( ou ( e eventualmente conduzir a um sinal quando . Para uma particular mudança , tamanho de amostra n e um valor pré-fixado de ARL0, um gráfico CUSUM com o

menor valor de ARL1 entre outros gráficos de controle com o mesmo

valor de ARL0 é considerado um gráfico ótimo.

Gan (1993) propôs um valor ótimo para correspondente a uma particular mudança para um valor fixo de ARL0, partindo da relação

existente entre o CUSUM e o SPRT.

Suponha que se tenha a mesma hipótese contra a hipótese , onde O SPRT emprega a razão de verossimilhança,

(

( (3.9)

com e = . E, de forma equivalente,

( ∑ ( ( (3.10)

onde o valor de referência ( é dado por

(( ( )

(( ( ) ( (3.11)

Gan (1993) provou então que, também para um CUSUM binomial, o pode ser considerado o valor ótimo para o do gráfico CUSUM, mediante resultados computacionais de um trabalho de comparações numéricas utilizando diversos valores de e ARL0.

Os resultados são consistentes com os resultados teóricos de Moustakides (1986) sobre o CUSUM ser ótimo para detecção de mudanças específicas. Assim este k é ótimo em termos de ARL como medida de desempenho (MORAIS, 2002). A dedução da Equação (3.11) (REYNOLDS e STOUMBOS, 1998) pode ser vista no AnexoA.

Hawkins (1992) e Hawkins e Olwell (1998) reforçam a ligação entre o do CUSUM e do SPRT, desenvolvendo uma expressão aplicável a distribuições contínuas e discretas pertencentes à família exponencial. Se uma seqüência de variáveis aleatórias seguindo uma distribuição membro da família exponencial na forma

com função densidade de probabilidades para o caso contínuo e função de probabilidades para o caso discreto, e fazendo igual a

“quantidade suficiente” ( . Suponha que se tenha o mesmo teste de hipóteses anterior: contra a hipótese , onde onde é o parâmetro de interesse (média ou proporção, por exemplo).O SPRT é baseado na soma acumulada da quantidade ( onde o valor de referência k é dado por

( ₍ ( ₍ (3.13) e segue a forma de e a escolha de e Deste modo é possível definir facilmente , para variáveis com distribuições pertencentes a membros da família exponencial. Então, para a distribuição binomial: ( ₍ ( ( ( ) ( ( ( ) (3.14) Onde, ( | ( ⁄ ) ( ( ( _(3.15) com ( ( ( e ( ( ( ).

A Fórmula (3.14) é a mesma da Equação (3.11). Assim, com as Equações 3.12 e 3.13 é possível deduzir o valor de para distribuições pertencentes a família exponencial. Alguns exemplos estão no Anexo B. Até então apenas foi abordado um CUSUM que inicia do zero (0). Outro valor inicial (RIR), não afeta a escolha de . O valor de referência k do SPRT, utilizado neste trabalho como valor de referência do CUSUM binomial, é determinado pela escolha dos dois valores de parâmetros associados às hipóteses nula e alternativa.

3.6.1 Outras considerações sobre k

O valor de é escolhido para uma resposta ótima a uma mudança de uma magnitude específica. Isto implica que não será ótimo para

mudanças cujo tamanho se afaste substancialmente da mudança desejada. Um gráfico planejado para detectar mudanças num patamar de três desvios padrão, pode não ser adequado para a detecção de alterações a um desvio padrão. Esta escolha vai estar diretamente relacionada com a natureza do processo que se deseja controlar. É possível elaborar procedimentos CUSUM que permitem detectar mudanças bem pequenas, como um quarto de um desvio padrão. E também mudanças maiores (HAWKINS e OLWELL, 1998).

A Expressão 3.11 não é a única para determinar o valor de referência k. Outras formas de determinar aparecem na literatura. Uma forma análoga para o valor de referência ( ⁄ com , , com aproximação normal à binomial, resultando em ⁄ foi aplicada por Schneider e O‟Cinneide (1987). Wu et al. (2008) apresentam um modelo que identifica valores ótimos de e , para um valor especificado de ARL0, minimizando o ARL1 para .

O valor de referência é tratado como uma variável independente. Este modelo é para um CUSUM binomial para detecção de grandes alterações (

O arredondamento do valor de k é recomendado por alguns autores. São duas as razões e ambas levam em conta a conveniência (HAWKINS e OLWELL, 1998; REYNOLDS e STOUMBOS 1999, 2000). Como os valores do intervalo de decisão são zero (0) ou outro valor (h), em termos de k, com o arredondamento isto pode ser simplificado. A outra razão é em termos do cálculo do ARL considerando as cadeias de Markov, que será abordada na Seção 3.6.1.