GRÁFICOS DE SOMA CUMULATIVA (CUSUM)

Uma desvantagem de qualquer gráfico de controle do tipo Shewhart é que ele usa apenas a informação sobre o processo contida no último ponto plotado, ignorando qualquer informação dada pela seqüência inteira de pontos. Esta característica torna este gráfico relativamente insensível a pequenas mudanças no processo, da ordem de (desvios padrão) ou menos (MONTGOMERY, 2004).

Além disso, o gráfico do tipo Shewhart é conhecido na literatura como lento na detecção de alterações para valores altos de ARL (SAMOHYL, 2009). Como visto no Capítulo 2, a incorporação de regras suplementares pode melhorar a sensibilidade do gráfico CUSUM. No entanto, o gráfico de controle mais apropriado para reconhecer o histórico dos dados é o de somas acumuladas CUSUM. É de uma riqueza e sofisticação conceitual e, sua aplicação não é difícil (SAMOHYL, 2009).

Os gráficos de controle de soma acumulada (CUSUM) podem ser considerados um aprimoramento dos gráficos do tipo Shewhart, e levam em conta a história dos dados, característica ausente nos gráficos mais simples. São capazes de reconhecer pequenas alterações nos processos muito antes dos alarmes dos gráficos Shewhart (SAMOHYL, 2009). São, portanto, uma alternativa eficaz ao gráfico de controle de Shewhart quando há interesse na detecção de pequenas a moderadas (e persistentes) mudanças (ALVES, 2003; MONTGOMERY, 2004). É um gráfico de controle avançado, desenvolvido para situações específicas, mas que ao mesmo tempo minimiza a ocorrência de alarmes falsos e alarmes não dados (SAMOHYL, 2009).

A idéia do gráfico de soma cumulativa é particularmente simples: considerando-se um gráfico de soma acumulada para a média de um processo, se o processo permanece sob controle no valor alvo, a soma acumulada é um passeio aleatório com média zero. Por exemplo, suponha o monitoramento da média de um processo, para amostras com , com o valor alvo da média do processo e ̅ a média da j-

ésima amostra. O gráfico de controle CUSUM é obtido plotando-se a

quantidade (Equação 3.1) em relação à amostra i.

∑ ( ̅ ) (3.1) Se a média se desloca, então uma tendência, para cima, ou para baixo, de acordo com o deslocamento, se desenvolve na soma acumulada. Portanto, se os pontos plotados, evidenciam uma tendência, pode-se considerar que a média do processo mudou, sendo necessário pesquisar alguma causa atribuível (MONTGOMERY, 2004).

Em termos mais simples, para o cálculo a Equação 3.1 fica ( ̅ ) (3.2)

Uma série de somas acumuladas negativas significa que as leituras observadas são inferiores aos valores nominais, mostrando um deslocamento da média do processo para baixo. Da mesma forma uma série de somas acumuladas positivas significa que as leituras observadas são superiores aos valores nominais, mostrando um deslocamento da média do processo para cima. Ainda não é um gráfico de controle, pois faltam os limites de controle estatístico.

Um CUSUM trabalha acumulando desvios da média que estão acima ou abaixo do alvo, com as estatísticas respectivamente. Estas estatísticas são chamadas de CUSUM unilateral superior e inferior, respectivamente, e são calculadas de acordo com as Equações 3.3 e 3.4 (MONTOGMERY, 2004).

[ ( ] (3.3) e

[ ( ] (3.4) onde os valores iniciais são .

Nas Equações 3.3 e 3.4, a constante k é usualmente chamada de valor de referência ou folga. A Equação 3.1 é sensível a qualquer desvio do valor alvo, mesmo de pequena magnitude. Todos os processos têm algum grau de variabilidade e eventualmente variações muito pequenas não são preocupantes. Logo, esta “tolerância” com pequenas modificações é formalizada explicitamente nas Equações do CUSUM com o valor de referência k. Este valor é diminuído dos desvios positivos e acrescentado aos desvios negativos. Em gráficos CUSUM para monitoramento da média, um valor comum, tanto na literatura como na prática, é 0,5 e significa que está se deixando de se preocupar com variações de meio desvio padrão no processo. O valor de referência

k ajuda a melhorar o ARL1 do processo, pois permite que o gráfico seja

planejado para detectar alterações específicas, o que não ocorre com o procedimento de Shewhart (SAMOHYL, 2009).

Se tanto excederem o valor de um intervalo de decisão h, o processo é considerado fora de controle estatístico. O intervalo de decisão é [ ] para , e [ ] para .

Os valores iniciais são podem assumir valores diferentes de zero. Esse procedimento é chamado de RIR (Resposta Inicial Rápida) e foi elaborado para melhorar a sensibilidade do CUSUM no início do processo (LUCAS e CROISIER, 1982). Um valor comum é metade do intervalo de decisão h, ou seja, Se o processo já inicia fora de controle estatístico, o sinal será dado mais rapidamente. Entretanto, caso o processo se inicie sob controle, este procedimento (RIR) terá pouco efeito (ROCHA, 2004).

Até aqui foi focalizado o gráfico CUSUM bilateral, que corresponde a dois procedimentos unilaterais, . Há situações que apenas um procedimento CUSUM unilateral é necessário, como por exemplo, monitorar apenas o aumento de não conformidades em uma linha de produção ou o aumento de casos de uma doença em uma região. A Figura 3.1 traz um exemplo de um gráfico CUSUM bilateral e a Figura 3.2 um gráfico CUSUM unilateral superior. Nestes gráficos é possível visualizar quando o processo se encontrou fora de controle estatístico (ultrapassou as linhas de controle) e se voltou ao estado de controle. Na Figura 3.2 pode-se ver que, mesmo antes de ultrapassar a linha de controle superior, o CUSUM indica que há uma tendência de aumento na média (ou outra estatística alvo) do processo.

Figura 3. 1– Exemplo de um CUSUM bilateral. Fonte: Adaptado de Scrucca (2004).

Figura 3.2 – Exemplo de um CUSUM unilateral superior. Fonte: Adaptado de Gan (1993).

3.1.1 Avaliação de desempenho de gráficos CUSUM

No Capítulo 2 foi visto o RL, e seus momentos, entre eles o ARL, como medida de desempenho do gráfico de controle de Shewhart. Neste

5 10 15 20 -1 0 -5 0 5 10 Amostras C U S U M h+ h- CUSUM h 0 10 20 30 40 50 60 70 0 5 10 15 20 25 Amostras C + h C+ h

capítulo, onde se aborda o gráfico CUSUM, é natural uma comparação dessas medidas. É através delas que é verificado que um procedimento é mais eficaz que outro, para uma situação específica.

Os gráficos de controle podem ser classificados pelas suas taxas de alarmes falsos, o tempo que se espera que ele sinalize um alarme falso, considerando que esteja sob controle estatístico. Entre todos os procedimentos com a mesma taxa de alarmes falsos, o procedimento considerado ótimo seria aquele que mais rapidamente detecta uma mudança. De um modo mais formal, entre todos os procedimentos com o mesmo ARL0, o procedimento ótimo será aquele com o menor valor

esperado de tempo para sinalizar uma mudança, quando esta realmente ocorre (menor ARL1) (HAWKINS e OLWELL, 1998).

Moustakides (1986) provou que o esquema CUSUM é ótimo nesse sentido, para uma particular mudança - pequena. Para todos os testes com o mesmo ARL0, o CUSUM obteve o menor RL esperado

para o estado fora de controle, detectando bem mudanças de um desvio- padrão (1σ) na média. Não teve o mesmo desempenho para mudanças maiores.

Embora o CUSUM seja adequado para o diagnóstico de processos de uma particular alternativa o qual foi delineado, para Hawkins e Olwell (1998) alguns procedimentos CUSUM tem uma performance considerada robusta, não existindo um ponto, e sim um intervalo onde o CUSUM possa ser ótimo.

O gráfico CUSUM pode se tornar mais poderoso ao elevar a quantidade ̅ por um expoente na formulação do CUSUM. Valores maiores de w são indicados para detecção de mudanças maiores e vice-versa (JIAO e HELO, 2006; WU; JIAO; LIU, 2008).

A próxima seção aborda a fundamentação teórica do CUSUM. O enfoque estatístico dado é importante para a compreensão dos parâmetros do CUSUM.