CHAPITRE D

?

15⁾

LE MOUVEMENT DE LA PROBABILITE DE PRESENCE DANS LA NOUVELLE _MECANIQUE

ae

Cl

—

^{Le nuage} de probability.

—

^{Nous avons vu dans}

1© chapitre VI que dansle caslimite ou les approximations de I^’optique geometrique etaient valables pour la propa

-gation de l^’onde associee, c^’est-a

-

dire dans le cas limite des anciennes Mecaniques, il etait possible d^’imaginer un fluid© de probability se depla

^

^{ant dans}

^respace

^{de fagon}

que la ^density de ce fluide

mesure

en chaque point et a

chaque instant la probability de presence du corpuscule.

Nous allonsvoir que ce resultatest encore valable en toute generality dans la nouvelle Mecanique si nous admettons le principedesinterferences, continue parlesexperiences de diffraction des electrons oar les cristaux.

Nous ferons les demonstrations en nous en tenant aux equations non relativistes. Nous partons done de 1’equa -tion de propagation :

es r

-

/ nt

is

t

8⁷:²m 4nim cNr

h dt

A

^

^{> —} h²

⁼

^VI)

et nous substituons dans

cette

equation la fonction :

%

2

-

ⁱ

—

^{— CP(x,y,z,t)}

a (x, y,z,t ) e ^h

® (x,y^,z,t) (2⁾

a et y etant des fonctions reelles.

I

122 ETUDE DE LA MECANIQUE ON DU LATOIK E

Nous obtenons alors coniine nous l^'avons deja vu deux equations qui peuvent s’ecrire :

1 I /dcp ^v2 / d_?^\2 2at dx ^/ \^d?//

d<r \²

-f^- F ur^{, y}.z ,t)

+

⁽3⁾

/r Aa

87 7~m a

d y d t d a dtp

d x d x

d a d y d y d y

d a d y I d a

H

— ^—

^aAc?

^—

^{m • (4)}

d z d z d t

Contrairement a ce qui a lieu a lapproximation de 1’optique geometrique, la determination des fonctions a et ₉ n est ici possible ^que simultanement

. Toutes

les equations etant du premier ordre par rapport au temps, la fonction

'

^l

'

^{(;r , y}, z, ^/)sera bien determinee si I onconnait sa forme

^

⁽

^.

^{x, y, z, o) a l7instant origine.} Supposons done que nous ayons ainsi determine la fonction

^

^(x

^,

^{y, z, I )}

et par suite les fonctions a et ₉; imaginons un ^« fluide de probabilite ^» dont les molecules on, si Ton prefere, les

« elements ^» possedent la masse ^m du corpuscule etudie.

L^’equation (4) nous montre coniine au chapitre VI que si nous attribuons aux elements de probabilite la vitesse definieen chaque point et a chaque instant par la relation :

v

=

_mI ^{grad 9 (8)}

la densite p du image de probabilite

restera

toujours pro -portionnellea a²( x, y, z

,

t)

,

si elle etait egalea a²(x, y, z, ⁰) a l⁷instant initial; cette equation (4) pent, en effet, secrire

si Ion admet (o) :

?r

d(a²⁾

+

^div

(

a²v

) ₌

₀

_'

₀) d t

et elle exprime la continuite hydrodynamique s? Ton pose

P

=

^{K a2.La}

^constante

^{K se} detenuinera par lacondition que Ka²dv etendue a tout le image de probabilite soit egale a\;comme a n est definiequ a un facteur constant pres, on

/

123

MOUVEMENT DE LA PROBABILITY ^{DE PRESENCE}

peut cTailleurs faire rentrer la

constante

K dans a² et dire que la densite du nuage de probability est egale au carre de ramplitude de l’onde

'

^F.

Revenons a liquation (3); nous pouvons la considerer

coniine etant ⁽ equation de Jacobi pour le mouvement des

elements

de probability, l^'energie potentielle de ces ele

-ments etant F(x

,

y, z, ^/) -F^-

Fi

^{(x, y}

,

z, ^t) en posant : /r Aa_

8i r m a

L^’on voit que cette energie potentielle depend de la densite du nuage de probability car elle depend de a. On peut dire aussi que pour obtenir le mouvement des ele

-ments de probability, il

taut

ajouter au potentiel ordinaire F( x

,

y

,

z, t) un potentiel supplementaire donne par (7) qu^'on peut nommer le <⁽ potentiel quantique ^» pour bien marquer qu^’il depend de h et serait negligeable si h etait infiniment petit.

t

Ft

^(x

^.

^{y,z,t) (7)}

'

Equations du

mouvement

des elements de proba

-- Si nous assimilons l’equation (3) a vine equation 2.

bilite.

de Jacobi pour les elements de probability, nous sommes tout naturellement amenes a introduire pour etudier leur mouvement une fonction de Lagrange dependant de leurs coordonnees, de leursvitessesetdu temps;c^’estlafonction :

£⁽x, y, z, t ,

vx

^{,\y, v2)}

= —

I ^m(

^vx

^{2 v,}

^,

²

⁺

^v2)

—

^{F(x, y , z, t)}

—

^F

^

^{x, y, z, t) (8)}

Les quantites :

d£

d£ d£

(9⁾

=

^mv

=

_{d V y} ^mv _dvz

peuvent etre appelees les <⁽ moments » ou « composantes de quantite de mouvement ^» des elements de probability. La quantity :

*

dvx

V —

^q/

—

^£

⁼ ^

^{I mv2}

⁺

^F

^{+ Ft}

⁽¹⁰⁾

w ₌

dq^{

i

m

’•

124 ETUDEDE EA MECANIQUE OISDULATOIRE

peut etre assimilee a Lenergie des elements de probability.

D^’apres (5), on aura :

d z d_?

(11⁾

Px

=

^mVx _{d x} ^{P y i nv} _dy

p^,

—

n w d z

d z

Les elements de probability decrivent dans Lespace une trajectoire suivant une certaine loi et leur mouvementobeit a des equations du type Lagrange. Nous avons en effet :

d p_* d p,. d p,^. d p d p x

(1 2⁾

d t d x d y d z d t

1

^m

(

_P

^

^{d x -i-Py d pd y d p xd z}

⁺

^{d p xd t}

ou en vertu de (11) :

d y d²z d z d²z d z d²z

—

d y d x d y

— —

^-.⁴¹

^— —

d z d x d z^{l- !—}

d p x 1 d²z

-

^{u (}13⁾

d x d x²

d t m d x d t

L ( - f

m \ ^{d x /}

dz\^{2 d z\2}

d d z

d x 2 d y d z d t

Comme est solution de (3) il reste :

d p x d V d F d£

(14)

d t d x d x d x

et de meme :

dp^,, ^{d F d F d}£

as

⁾

d t d y d y d y

d p

,

d F d F

,

^d£

d y d y ⁽16⁾

d t d z

*

Les premiers termes des seconds membres sont les com -posantes de laforce ^{au sens}classique; les deuxiemestermes qui derivent du potentiel quantique F

\

comme les compo

-MOUVEMENT DE LA PROBABILITE DE PRESENCE 125 t

sautes dela force classiquederivent du potentiel F, peuvent etre nominees les composantes _de la force quantique

.

Cette force quantique depend de la densite du fluide de probabi -lity et est caracteristique de la nouvelle Mecanique : quand on pent negliger la force quantique, on retombe sur 1ancienne Dynamique et les

mouvements

des elements de probability sont les divers mouvements prevus coniine

etant possibles pour le corpuscule par la theorie classique. Quand il nest pas permis de negliger la force quantique, le mouvement des elements de probability est tres different de celui des corpuscules dans l^’ancienne Dynamique. En particulier, nous ne

retrouverons

plus pour ces mouve -ments les theoremes generaux de conservation de la quan

-tity de mouvementet de l^’energie.Supposons, par exemple, le champmil(F = 0) ; il n^’en resulte plus ici que px, py et pz soient constants a cause de 1^’intervention de la force quantique dans les equations (14-10). Chaque fois que l^’onde

^

^{ne sera} pas monochromatique plane, par exemple s^’il y a superposition d^’ondes planes et interferences, lainplitude ne sera pas constante et bien qu^’il n^’y ait pas de champ dans Eancien sens du mot, il y ^aura cependant variation des composantes de la quantity de mouvement definies par (I I ). 11 n^’y a done plus de conservation de la quantity de mouvement.

l⁾e meme, il n^’y a plus conservation de Tenergie car on a par ⁽10), TO)

et

(14-16) :

(P x

?

ii

\

dW dpx dx

dt cit

Y

^dx

y <

^{p, M}

dt dt² _*mJ dX dt

xyz xyz

Y

dvx ^dt

d£ d£ dV

dt d t dt

+

d t

xys

Pour qu^’il y ait conservation de l’energie, il ne suffira plus qu’on ait affaire a un champ constant

( —

^-

=

⁰

j

^{; il} faudra aussi que l ainplitude a de l’onde

^

^ne depende pas du temps et cela ne sera pas realise si

'

¹

'

^{est une superpo}

-sition quelconque d’ondes planes monochromatiques

.

Le

m

ETUDE DE LA MECANIQUE ONDULATOIRE

mouvement de la probabilite ne s’opere done pas en gene -ral, meme en l^’absence de champ exterieur, avec conser

-vation de l^’energie et de la quantite de mouvement, et

e

^’est 1^’existence de la force quantique qui en est cause

.

Theoreme d^’Ehrentest. 11 est possible d^'eliminer la force quantique a I^’aide d une integration etendue a

3.

rensemble des elements de probabilite; on parvient ainsi a un theoreme important du a Ehrenfest. Multiplions les equations (14

-

46) par a² (x, y , z) clx dy dz et integrons dans tout l’espace en supposant que nous ayons affaire a un train d’ondes limite dont par suite l^’amplitude est nulle a l^’infini. II vient :

+

^oo

+

^oc

/ ^{. / ./}

^'

^"

. US

—^{3C '}

^"

^{dpx d xd y d z}

⁼ _—

(X⁾

^—

^{d x}

^—

^{d xd y d z 18)}

+

^<X

+

^0C

dF

,

d F

Iff

^*

flf

d x ^{d x d yd z} d x ^{d x d yd z}

—

^oo

—

^oc

+

^oc

( j

^{d xd yd z}

l r d

Iff

-

4

-

^a~

8^7T2m d x

—^oo

et deux equations analogues.

Nousallonsmontrer que Fintegrale : ) d xd yd z a /

Iff i

et lesdeux autresanaloguessoul nulles. Pour le demontrer, rappelons

-

nous une des formes de la formule de Green : si U et V sont deux fonctions continues et uniformes de xyz a Finterieur d un domaine D de l’espace limite_/ par une surface fermee S, on a :

Iff

D

(

(UAY

—

^{YAU) d v}

₌

_{d n dn} ^{d S (J 9)}

s

MOUVEMENT DE LA PROBABILITE DE PRESENCE

n designant la variable comptee le long de la normale a S vers 1 exterieur. Faisons ici :

t

127

U

=

^{a V}

= —

d a_{d x} ⁽²⁰⁾ Ces deux fonctions sont par hypothese _{nulles a l}’infini et si nous prenons

comme

domaine D l’interieur d^’ sphere dont

nous

i^'erons tendre le rayon vers l’infini, a la 1imite le second membre

s

’annulera; il reste done :

+ ^OC

?

1

_une

+ ^OC'

III

^{a A} d a^{d x d v}

_ill ^—

^{d ad x A a d v (21)}

—

^oo

—

^Oo

Or, l’integrale : +^oo

fff

^a2

—

^y

J J J ^{d x} \ ^a

A a d v

—

^oc

peut s’ecrire :

o d a

a

——

^{d x Aa} d x ^{Aa d v •} elle est done bien nulle comine nous Tavions L’eqnation (14) conduit done a :

annonce.

1

+^oo ₊ oo

% - ^{= ” • / / /}

^{« d2x}

a² _{d v (22)}

d t²

—

^oo

—

^OC

+^oc +^oc

111 _—

oo dF^{d x d v}

⁼ 1.1 —

^oo

. ¹

¹

^'

Or on pent prendre la densite du image egale a a² a condition de clioisir la

constante

multiplicative arbitraire dans a, telle que :

4

+oo

/ //

_oc

^*

^1.

128 ETUDE DE LA MECANIQUE ONDULATOIRE

Les integrates de (22) sont done les valeurs

moyennes

dans le nuage de probability des quantites :

d²x

d p x dF

d t d t² d x

En representant les valeurs moyennes par une lettre sur

-lignee, on obtient a l’aide de (22) et ^des deux equations analoguesqu^’on tirerait de(15) et (16) les relations :

dPz

d p x dPy

d t

—

^{m y}

— ^U

^{d t}

⁼

^{d t}

⁼

^myz

⁼

^{fz . (23)}

C^’est la le theoreme d^’Ehrenfest dont nous verrons plus tard une tres interessante application^.

Nous allons montrer qu^’on peut enoncer le theoreme d^’Ehrenfest sous la forme suivante ^{: «} Le centre de gravite du lluide de probability se deplace dans l^’espace au cours du temps, comme doit le faire, suivant leslois de la Meca

-nique classique, un point materiel de masse m soumis a la valeur moyenne de la force dans le nuage de probability. ^» En effet , soit Ii la region occupee a1’instant t par le fluide deprobability et IVla regionqu’il occupe a 1^’instant t

+

^{d t}

.

A chaque element ^{dr de} R, faisons corresponds 1’element d r

'

^{de R}

'

^{, ou se trouvent, a l instant t}

⁺

^dt

^,

les elementsde probability qui etaient dans ^dr a Linstant t. ^Si nous accen

-tuons les quantites relatives aux elements de R^; a Linstant p d r .La variation de1^’integrate t

+

^{dt, nous aurons pdr}

JJJ

^{*vxpdr pendant le temps dt est alors :}

vx

^)pdr

=

^dt

v

R

dcx

MOUYEMENT I⁾E LA PROBABILITE DE PRESENCE 120 Kn repetant le

raisonnement

, on montrerait de meme que

d x d x dans

vx =

_dt

d t d²x

On a done yx

=

7^y et y t, et lesformules(23) peuvent

et deux formules analogues pour s’ecrire :

sur

-

? _{d t}²

;ions

cPx _d²_y

m

—

^{- m}

—

^ddt^—2z2

/

^,

= tv

^bis

m dt² d t²

u

⁽²³

(23⁾

et le theoreme est demontre.

Examinons maintenant quelques cas particuliers.

Si la force classique est nulle (F = ⁽⁾.

/

^{= 0), on a :}

plus

?eme

avite _dpx dpy dpz

=

⁰ (24⁾ ₁

*,ours leca -a la te. ^»

d t dt dt

Xous

retrouvons

la pour l ensemble dun i tageun theoreme analogue a la conservation de la quantite de mouvement

de la theorie classique. Cela tient a ce que nous avons pu eliminer la force quantique grace a line integration dans luide

bdt.

tout le nuage.

ment

De la meme facon

tsde nous pouvons retrouver un theoreme

analogue a la conservation de Fenergie. Nous avons en :cen

-effet

trouve

[eq. (17)

]

:

stant

grale

d W c⁾V dV

d t dt dt

Multiplions _{par a}²d v et integrons dans tout Fespace en supposant toujours a mil a Finfini. II vient :

-f

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