Passage d ’ un corpuscule a travers un diaphragme

—

^Comineautre exemple, nous prendrons la determination de la position d^’un corpuscule, par

-

^{exemple d’un photon,}

grace a son passage mi traversd^’une ouverture percee dans un ecran plan . Pour definir les coordonnees ⁽lu corpuscule dans le plan de 1’ecran, on sera amene a prendre une ouverture tres petite, mais plus on prend une petite ouver

-ture, plus on augmente les phenomenes de diffraction qui accompagnent, suivant les idees de la Mecanique ondula

-toire, lepassageducorpuscule a traversl^’ouverture. D^’

autre

part, pour determiner 1 instant du passage du corpuscule dans le plan de 1^’ecran, on emploiera un volet mobile qui permettra de decouvrir le trou perce dans l’ecran pendant un temps tres court; plus on manceuvrera rapideinent le volet, mieux l’

^

^{poque du passage} du corpuscule

sera

deter -minee, mais en meme temps, le train d^’ondes associe se trouvant raccourci en proportion, la monochromaticite de ce train d’ondes sera de plus en plus alteree et, par suite, l energie ducorpusculesera de moinsen moins bien definie.

Nous allons developper les calculs dans le cas simple on le corpuscule incident tombe sur Tecran dans la direction normale et ou l^’

ouverture

percee dans l^’ecran est un rec -tangle de cote 2a et 2b.

Prenons le centre de

rouverture

comme origine des coordonnees, J axe des x parallele an grand cote 2a, l^'axe des y parallele au petitcote 2b, l^'axe des z perpendiculaire a1^’ecran ducote oppose a l’onde incidente (tig . 12)^. Soit M de coordonnees N, Y, 0 un point de l^’ouverture et ^{d X d Y} un petit rectangle

entourant

ce point. Calculous, d^’apres le principe d’Huygens, la valeur de l’onde elementaireenvoyee par le petit rectangle dXdY dans une direction ^«,

P

, ^y,

3⁾ n

»

Le n

3⁾

la II la it

>n

LU

le a\

6)

172 ETUDE DE LA MECANIQUE ONDULATOIRE

faisant un tres petit angle avec l^'axe des^z.Si x y zdesignent les coordonnees d un point tres eloigne dans la direction

a, /^{3, y, l onde} elementaire en question a pour expression :

a(x— X)

-

f- ( y

—

^A)

^—

^{1— z}

<Mrap

=

^{KdXdY cos2.~}

(

^vt

—

_A

)

⁽¹⁸⁾

ou K est un coefficient qui varieavec^a,

P

^{, y} mais beaucoup plus lentement que le cosinus; dans la formule (18) on a

n

M f X Y O⁾

0

X

5

FIG. 12.

confondu y avec F unite. L^’onde resultante envovee dans la direction ^a, ^{fS, y} pour tons les points de l^’

ouverture

_est :

if

^{(Nr<>.f3 Acos}

⁽

^v£

^—

^{A (19)}

c/.X^‘ |— /^{fry —|}

—

⁵

-

f

-

^Bsin 2- vt

—

A

avec :

aX^-f- f3Y

If

^{d X d Y cos 2“}

-A = ^K _A (20⁾

aX^-_f^- /^3Y

k

/ /

B = ^{— d X d Y sin} 2^~

A

B est nul parce que dans Fintegrale deux elements de surface symetriques par rapport a ⁽⁾ donnent des contri

-MESURE ET RELATIONS D HEISENBERG

butions egales et contraires. Dans A,

nous

pouvons poser : 173

uX

+

^{f3Y aX}

eos 27z _A

=

^{COS 277} _A ^•cos _A ⁽²¹⁾

aX • ,> ⁱ8Y

sin 2⁷⁷

—

^{sin 277} _{A A}

et 1integrate du produit de sinus est encore nulle

.

11 reste done :

J

^{* dX cos 277 aX}

r ⁰

^Y

A

=

^4K _A ^{dY cos 277} _A ⁽²²⁾

KA² _{sin 2} ^aa /⁵⁶

77 sin 2r

772af3 A A

D’ou :

KA^{2 an . nu} / ax /^3y H

-

^z\

sin2

- —

^{A sin2”}

^—

^{A•cos 2” ’W}

^—

^(23;

77~a/^{3 A}

aa est done

nut

dans les directions telles que 2

-( k entier) et que 2~

^ ^—

^{fc;r, e'est-a-}dire dans les direc -tions pour lesquelles on a, soit a

=

est^, au contraire, maximum dans les directions pour lesquelles on a :

soit ^a

=

^{(2k -f- 1}) 77^2a

—

^,

=

^1x77

A

kX A

soit

^ ^{= T b}

2a

soit /³

=

^{(2 -f-1)} _{2 6}A

O11 obtient ainsi ce qu’on nomine un phenomene de diffraction localise a Pinfini. Pour 1 observer , on placera par exemple une lunette dont Paxe optique comcidera avec 1 axe oz. S^’il n^’y avait pas diffraction, on observerait seulement une image de Pouverture reelangula ire situee dans le plan focal de la lunette sur Paxe optique. Mais a cause de Pexistence d’ondes planes monochromatiques inclinees sur Paxe optique, on obtient aussi une serie d^’autres images correspondant aux maxima de ^p. L^’etat de ces images decroit rapidement quand Pordre k s^’eleve.

I

/

174 ETUDEDE LA MECANIQUE ONDULATOIRE

En resume, l’onde plane qui tombe sur l’ecran est de la forme :

=

^{acos ( vt}

—

_A2 ⁽²⁴⁾

Ee passage a

travers

l’

ouverture

rectangulaire la

trans

-forme en un groupe d^’ondes planes pen inclinees sur l^’axe des 2 et de la forme :

^

^{a (a, ft) cos '>77}

⁽

^{ax l}

'

¹

'

^vt _A ⁽²⁵⁾

les amplitudes partielles a(^a, ft) presentant en fonction de^« et de ^ft des maxima et des minima

successes

. Comme l’ intensite des ordres suecessifs diminue rapidement, on voit que lextension du groupe par rapport a la variable a est mesuree

par

:

A A

8a

=

^lcti 2a

>

9za ⁽26⁾

/ix designant un nombre entier petit qui correspond a l^’ordre de diffraction le plus el-eve dont E^intensity est sensible. De

memo, l extension du groupe par rapporta ft sera :

A

hft

K

₂A₆

>

_{2 6} ⁽²⁷⁾

Si ^«91 designe le

vecteur

^« nombre d^’ondes ^» de Eonde monochromatique caracterisee par lesangles ^a et ft

,

on a :

P

¹

a Di_{v A} 9l^z

=

_A ⁽²⁸⁾

A

Les variations maxima de 9

ZX

^{et de 91}u dans le groupe d’ondesapres le passage a travers ^l’ecran sont ^:

8£

K

8a

K

_{t f l y}

8

^ .

A 2a ^A t 2a ⁽²⁹⁾

On a done en ordre de grandeur : 1 1

891a

>

^

891X

^

³z⁾a 26 (30⁾

MESURE ET RELATIONS D HEISENBERG 175 la Or, la position du corpuscule lors de son passage dans

Uouverture

rectangulaire est defmie avec une incertitude 8^,r egalea2a et une incertitude ⁸y egalea 2b.Nousavons done en ordre de grandeur :

89lx^•8z

>

¹

24⁾

S9ly^•8y

>

^{1 (31)}

is

-xe D^’apresle principe dedecomposition spectrale, les incerti -tudes sur les composantes px et p

„

de la quantite de mou

-vement sont reliees aux incertitudes ^%9

LX

^et 89ty par les relations :

«

⁾

^

^Px

usnx ₌

^U9

^ny

⁽³²⁾

;a

ne et (31) prend la forme des relations d’Heisenberg : 8 px 8x

>

^{> h}

lit

Spj

,

^•

>

^{h. (33)}

ist

D^’autre part, si nous voulons determiner la coordonnee 2 I ducorpusculeel letemps t de son passage a

travers

l’ecran, nous devons employer un volet mobile comme cela a ete explique plus haut. Soit ^r le temps pendant lequel le volet a ete enleve . 1/incertitude sur / est evidemment egale a ^r, cello de zest IJ

>

^, Uetant la vitesse de groupe des ondes qui^, nous le savons, est egalea celledu corpuscule. Done^.:

8t

=

^r

MS⁾ re 3e

17) 82

=

^{Ur. (34)}

Mais en n’ouvrant

Uouverture

que pendant le temps ^r, nous ne laissons passer a travers

Uouverture

qu^’un train d’ondes limite et ce train d ’ondes est compose d^’ondes monochromatiques occupant un intervalle spectral au moins de 1^’ordre de

de

1 : 18⁾

—

^L’intervalle correspondant en longueur

. ^. .

* ⁽ ± ^\

pe

d’onde est tel quo 8

( — j

_{d v}A ^{8v soit de 1’ordre de}

19⁾ ₁

1 d A

par definition. On a done : car ^~_U

=

Ur d v

10⁾ 8^v r 8 _A

>

_Ur1 (35⁾

ETUDE DE LA MECANIQUE ONDULATOIRE

d’apres le principe de decomposition spectrale 1^’incertitude sur l^’energie finale du corpuscule est ft8v et 1^’incertitude sur la valeur finale de la composante pz de sa quantite de mouvement est h&

DZz =

^h& 1 ^d’apres (28) .

A

On a done :

m

^•st

> n

hpz ^•&z

>

^{h. (36)}

Ce sont les deux autres relations dHeisenberg.

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