Primeiramente, vamos recapitular a premissa do trabalho, o programa seguido e os resulta- dos, antes de discutirmos a conexão do que foi obtido com as demonstrações expostas nas seções anteriores, em seguida farei os comentários finais à respeito do que foi observado.
Partindo do suposto que e Mecânica Estatística Generalizada nos permite ,a partir de uma entropia generalizada no sentido de que é possível identificar um limite onde reencontramos a entropia de Boltzmann-Gibbs, obter um operador densidade e construir um ensemble canônico generalizado, temos um programa capaz de tratar sistemas onde a energia é não aditiva, o que inclui sistemas fortemente interagentes, dissipativos, com interações de longo alcance, fractais, não ergódicos, sistemas que possuem comportamento do tipo lei de potência entre outros, para os quais prescrições de Boltzmann e Gibbs seriam falhas.
Isto posto, nos perguntamos se seria possível utilizar essas entropias para descrever um sistema quântico dissipativo diretamente da maximização de uma entropia, sem ter que lançar mão da descrição usual, envolvendo um modelo do tipo “Sistema + Reservatório”, propondo um modelo mínimo contendo apenas o Hamiltoniano do sistema de interesse, distribuído de acordo com a lei de probabilidade emergente da maximização de uma entropia generalizada. Como uma primeira tentativa, buscamos o operador densidade vindo destas entropias a fim de servir como uma mímica
para o operador densidade reduzido do sistema e em seguida, adotamos as prescrições da cone- xão destas entropias com a termodinâmica. Finalmente, comparamos com os resultados de uma descrição utilizando um banho de osciladores harmônicos desacoplados.
O programa proposto tem dois objetivos: (i) Tentar uma descrição alternativa de sistemas dissipativos a partir de entropias de informação, (ii) Testar a consistência termodinâmica das prescrições empregadas para as generalizações da mecânica estatística, com atenção especial à Mecânica Estatística não-extensiva.
A escolha de uma entropia de informação generalizada é devido ao fato que o parâmetro ajus- tável poderia adequadamente substituir o efeito do amortecimento e nos permitiria utilizar como sistema físico apenas o sistema de interesse. Tentar propor um hamiltoniano com características dissipativas e não extensivas e que seja consistente com as regras de quantização bem estabelecidas a fim de então usar uma formulação alternativa da mecânica estatística não parece uma vantagem sobre nenhum método já estabelecido.
Nossa abordagem consistiu em estudar a mecânica estatística quântica de equilíbrio, de acordo com as entropias generalizadas, da partícula livre e do oscilador harmônico, e comparar com o movimento browniano quântico livre e confinado num potencial quadrático no limite ôhmico de amortecimento. A escolha do limite Ôhmico é justificada por conter apenas um parâmetro representando os aspectos da interação com o reservatório, dado que as entropias adotadas possuem apenas um parâmetro ajustável, assim ao tentar buscar uma correlação entre o amortecimento e o parâmetro não extensivo, 𝑞 e 𝛾, podemos garantir que a correlação obtida não depende de nenhuma outra constante do modelo, como a frequência de corte 𝜔𝐷 do modelo de Drude.
A escolha das entropias generalizadas aplicadas no trabalho, Rényi e Tsallis, tem três motivos:
• São as entropias generalizadas mais citadas
• Possuem o mesmo operador densidade
• A entropia de Tsallis possui uma longa lista de trabalhos tentando estabelecê-la como uma pedra fundamental da mecânica estatística.
Os resultados nos levam a formas matemáticas complicadas, e obter quantidades como o opera- dor densidade de uma simples partícula livre é um verdadeiro “tour de force” de trocas de variáveis e integrações. Contudo, conforme mostramos, as representações integrais facilitaram o trabalho em alguns pontos, nos permitindo usar o operador densidade generalizado como uma transformada do operador densidade canônico. Ainda assim, nem todos os casos são possíveis. O operador den- sidade do oscilador harmônico não pôde ser obtido por essa metodologia, mas em ambos os casos
as funções de partição puderam ser obtidas. Isto nos levou na direção de obter uma descrição baseada na termodinâmica do sistema.
Nos chamou a atenção duas tentativas anteriores de generalizar, nesta mesma direção, o estudo de sistemas físicos conhecidos, o Diamagnetismo de Landau7 e interação elétron-fônon8. Contudo,
os resultados obtidos nunca foram confrontados com algum sistema físico de comportamento co- nhecido cujo estado de equilíbrio não seja dado pelo ensemble canônico ou mesmo se as predições baseadas nestes modelos tem significado físico.
No trabalho apresentado ao longo desta dissertação, fica claro que a descrição de sistemas dissipativos, via princípio de máxima entropia somente é possível para uma região muito limitada do espaço de parâmetros. Ou seja, podemos obter uma relação entre o valor do índice entrópico 𝑞 e da constante de amortecimento 𝜆 para poucos valores ou numa região limitada dos possíveis valores de 𝑞.
Fazendo uma tentativa da comparação da termodinâmica obtida para os sistemas estudados, percebemos a ocorrência de comportamento não físico, como o calor específico decrescente com a temperatura, e observamos que só existe correspondência para os índices 𝑞 e termo de amorte- cimento 𝛾, para baixíssimas temperaturas. Essas inconsistências termodinâmicas nos levaram a confrontar as prescrições estabelecidas para essas entropias com as leis da termodinâmica.
Percebemos que para as leis da termodinâmica serem atendidas algumas condições amplamente negadas no contexto da mecânica estatística não extensiva devem ser verdade. A primeira e a segunda lei da termodinâmica são válidas somente se o multiplicador de Lagrange 𝛽 for tomado como o inverso da temperatura termodinâmica, e observamos também que a a lei zero só é satisfeita para sistemas com o mesmo valor de q, a menos que q seja uma constante universal, como a constante de Boltzmann. Como produto, obtemos que a entropia de Rényi e a entropia de Tsallis devem levar à mesma prescrição termodinâmica e que isto faz com que a entropia de Rényi seja mais adequada ao trabalho termodinâmico, pois é aditiva para sistemas descorrelacionados.
Com isso, concluímos que mesmo nos limites onde há concordância entre o modelo do banho de osciladores e a mecânica estatística generalizada, não há nenhuma garantia que os resultados obtidos são físicos devido às incompatibilidades com a termodinâmica. Nossos resultados mostram que ao contrário do que é colocado na literatura9, a mecânica estatística não extensiva não cons-
titui uma generalização da mecânica estatística e a sua incompatibilidade com a termodinâmica mostra que mesmo para sistemas descritos por uma lei de potência, ela é um ansatz completamente inadequado para o cálculo das propriedades físicas do sistema. Pode-se argumentar em favor dessa
7Sökmen, Büyükkiliç e Demirhan, 2002 8Koponen, 1997
metodologia a imensa quantidade de artigos onde as distribuições emergentes da maximização des- sas entropias apresentou resultados positivos10. Essas distribuições apenas tem caráter estatístico
ou de funções teste para ajuste. O fato delas ajustarem bem conjuntos de dados ou resultados de simulação não implica na realidade física dessas funções e nem que a termodinâmica assim obtida seja consistente.
Por último, mesmo que seja encontrado um sistema onde as correlações levem a um compor- tamento de lei de potência característico dessas duas entropias, tratar o sistema com um ansatz dependente de um parâmetro tira o aspecto preditivo que uma teoria física deve ter, pois podemos ter inúmeros comportamentos físicos associados ao mesmo valor do índice entrópico. Utilizando apenas o operador densidade para um dado valor de 𝑞 não podemos ter nenhuma intuição física a respeito do reservatório com o qual o sistema físico esteja acoplado ou do tipo de interação que gere o comportamento não-extensivo.
Bibliografia
[1] Robert Adamietz, Gert-Ludwig Ingold e Ulrich Weiss. “Thermodynamic anomalies in the presence of general linear dissipation: from the free particle to the harmonic oscillator”. Em: The European Physical Journal B 87 (2014), p. 90. issn: 1434-6028. doi: 10.1140/epjb/ e2014-50125-2. arXiv: 1402.6221. url: http://arxiv.org/abs/1402.6221$\backslash$ nhttp://link.springer.com/10.1140/epjb/e2014-50125-2.
[2] M Bachmann. “Effective classical hamiltonian from perturbatively defined path integral”. Em: (2011), pp. 1–10. arXiv: 1107.0341v1.
[3] M. Bachmann, H. Kleinert e a. Pelster. “Variational Perturbation Theory for Density Matri- ces”. Em: 60.5 (1998), pp. 3429–3443. issn: 1050-2947. doi: 10.1103/PhysRevA.60.3429. arXiv: 9812063 [quant-ph]. url: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9812063.
[4] M Le Bellac, F Mortessagne e Gg Batrouni. Equilibrium and non-equilibrium statistical ther- modynamics. 2004. isbn: 9780521821438.
[5] Heinz Breuer e Francesco Petruccione. The Theory of Open Quantum Systems. First. Oxford University Press, 2002, p. 665.
[6] Amir Caldeira. An Introduction to Macroscopic Quantum Phenomena and Quantum Dissi- pation. 1ª ed. Cambridge University Press, 2014, p. 285. isbn: 9780521113755.
[7] A.O. Caldeira e A.J. Leggett. “Path integral approach to quantum Brownian motion”. Em: Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 121.September 1980 (1983), pp. 587– 616. issn: 03784371. doi: 10.1016/0378-4371(83)90013-4.
[8] M. Campisi e G. B. Bagci. “Tsallis ensemble as an exact orthode”. Em: Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physics 362 (2007), pp. 11–15. issn: 03759601. doi: 10.1016/j.physleta.2006.09.081. arXiv: 0605089 [cond-mat].
[9] Michele Campisi. “Construction of microcanonical entropy on thermodynamic pillars”. Em: (2015). arXiv: 1411.2425v3.
[10] Michele Campisi. “On the limiting cases of nonextensive thermostatistics”. Em: Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physics 366 (2007), pp. 335–338. issn: 03759601. doi: 10.1016/j.physleta.2007.01.082. arXiv: 0611068 [cond-mat].
[11] Michele Campisi. “Thermodynamics with generalized ensembles: The class of dual orthodes”. Em: Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 385 (2007), pp. 501–517. issn: 03784371. doi: 10.1016/j.physa.2007.07.004. arXiv: 0701538 [cond-mat].
[12] Michele Campisi, Fei Zhan e Peter Hänggi. “On the origin of power laws in equilibrium”. Em: EPL (Europhysics Letters) 99 (2012), p. 60004. issn: 0295-5075. doi: 10.1209/0295- 5075/99/60004. arXiv: 1206.6330.
[13] Michele Campisi, David Zueco e Peter Talkner. “Thermodynamic anomalies in open quantum systems: Strong coupling effects in the isotropic XY model”. Em: Chemical Physics 375.2-3 (2010), pp. 187–194. issn: 03010104. doi: 10 . 1016 / j . chemphys . 2010 . 04 . 026. arXiv: 1010.2620. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.chemphys.2010.04.026.
[14] Jörn Dunkel e Stefan Hilbert. “Consistent thermostatistics forbids negative absolute tem- peratures”. Em: Nature Physics 10.1 (2013), pp. 67–72. issn: 1745-2473. doi: 10 . 1038 / nphys2815. arXiv: 1304.2066. url: http://dx.doi.org/10.1038/nphys2815.
[15] Hermann Grabert, Peter Schramm e Gert-Ludwig Ingold. Quantum Brownian motion: The functional integral approach. 1988. doi: 10.1016/0370-1573(88)90023-3.
[16] Peter Hänggi e Gert Ludwig Ingold. “Quantum brownian motion and the third law of ther- modynamics”. Em: Acta Physica Polonica B 37.5 (2006), pp. 1537–1550. issn: 05874254. doi: 10.1140/epjb/e2007-00013-y. arXiv: 0601056 [quant-ph].
[17] Peter Hänggi, Gert Ludwig Ingold e Peter Talkner. “Finite quantum dissipation: The chal- lenge of obtaining specific heat”. Em: New Journal of Physics 10 (2008). issn: 13672630. doi: 10.1088/1367-2630/10/11/115008. arXiv: 0805.3974.
[18] Stefan Hilbert, Peter Hänggi e Jörn Dunkel. “Thermodynamic laws in isolated systems”. Em: 062116 (2014), p. 24. issn: 1539-3755. doi: 10.1103/PhysRevE.90.062116. arXiv: 1408.5382. url: http://arxiv.org/abs/1408.5382.
[19] G. L. Ingold. “Thermodynamic anomaly of the free damped quantum particle: The bath perspective”. Em: European Physical Journal B 85 (2012). issn: 14346028. doi: 10.1140/ epjb/e2011-20930-2. arXiv: 1111.3594.
[20] Gert-Ludwig Ingold, Peter Hänggi e Peter Talkner. “Specific heat anomalies of open quantum systems”. Em: June (2008), p. 7. doi: 10.1103/PhysRevE.79.061105. arXiv: 0811.3509. url: http://arxiv.org/abs/0811.3509.
[21] Martin J. Klein. “The Ergodic Theorem in Quantum Statistical Mechanics”. Em: Phys. Rev. 87 (1 1952), pp. 111–115. doi: 10.1103/PhysRev.87.111.
[22] Ismo Koponen. Thermalization of an electron-phonon system in a nonequilibrium state cha- racterizedby fractal distribution of phonon excitations. 1997. doi: 10.1103/PhysRevE.55. 7759.
[23] E. K. Lenzi, L. C. Malacarne e R. S. Mendes. “Path integral approach to the nonextensive canonical density matrix”. Em: Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 278 (2000), pp. 201–213. issn: 03784371. doi: 10 . 1016 / S0378 - 4371(99 ) 00551 - 8. arXiv: 9912313 [cond-mat].
[24] E. K. Lenzi, L. C. Malacarne e R. S. Mendes. “Perturbation and Variational Methods in Nonextensive Tsallis Statistics”. Em: (1998), pp. 1–11. issn: 0031-9007. doi: 10 . 1103 / PhysRevLett.80.218. arXiv: 9804095 [cond-mat]. url: http://arxiv.org/abs/cond- mat/9804095.
[25] E. Lutz. “Anomalous diffusion and Tsallis statistics in an optical lattice”. Em: (2002), p. 4. issn: 1050-2947. doi: 10.1103/PhysRevA.67.051402. arXiv: 0210022 [cond-mat]. url: http://arxiv.org/abs/cond-mat/0210022.
[26] Renio S. Mendes. “Field-Theoretical Methods and Nonextensive Systems representations”. Em: Brazilian Journal of Physics 29.1 (1999), pp. 66–78. issn: 01039733.
[27] L. H C M Nunes e E. V L De Mello. “BCS model in Tsallis’ statistical framework”. Em: Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 296.January 2014 (2001), pp. 106–118. issn: 03784371. doi: 10.1016/S0378-4371(01)00147-9. arXiv: 0108251 [cond-mat]. [28] Herch Moysés Nussenzveig. Curso de Física Básica. Quarta. Edgard Blucher, 2002, p. 313.
[29] R. de Oliveira e Thiago Werlang. “Ergodic hypothesis in classical statistical mechanics”. Em: Revista Brasileira de Ensino de Física 29 (2007), pp. 189 –201.
[30] R.K. Pathria e P.D. Beale. Statistical Mechanics. Elsevier Science, 1996.
[31] Ashok Razdan. “On non-extensive nature of thermal conductivity”. Em: Pramana - Journal of Physics 68.1 (2007), pp. 61–65. issn: 03044289. doi: 10.1007/s12043-007-0006-8. [32] José Fernando Moura Rocha. Origens e Evolução das Ideias da Física. Primeira. EDUFBA,
[33] Benjamin Spreng, Gert-Ludwig Ingold e Ulrich Weiss. “Anomalies in the specific heat of a free damped particle: The role of the cutoff in the spectral density of the coupling”. Em: 2 (2014), p. 13. arXiv: 1404.0254. url: http://arxiv.org/abs/1404.0254.
[34] Constantino Tsallis. Introduction to Nonextensive Statistical Mechanics. First. Springer, 2009, p. 389.
[35] Constantino Tsallis. “Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics”. Em: Journal of Statistical Physics 52 (1988), pp. 479–487. issn: 00224715. doi: 10.1007/BF01016429. [36] Ulrich Weiss. Dissipative Quantum Systems. Second. World Scientific, 1999, p. 462.