Partícula Livre

Utilizando a função de partição generalizada calculada na seção anterior, calculamos o calor específico generalizado nas duas região de valor de 𝑞:

• 𝑞 > 1 𝐶𝑞 = 2 1 2(𝑞−5)𝜋 1 2(𝑞−1)(𝑞 − 3) ⎛ ⎝ √︁ _𝑇 𝑞 − 1 Γ(_𝑞−11 − 0.5) Γ(_𝑞−11 ) ⎞ ⎠ 1 1−𝑞 (4.3.3) • 𝑞 < 1 𝐶𝑞 = 2 1 2(𝑞−5)𝜋 1 2(1−𝑞)(𝑞 − 3) ⎛ ⎝ √︁ _𝑇 𝑞 − 1 Γ(_1−𝑞1 + 1) Γ( 1 1−𝑞 + 1.5) ⎞ ⎠ 1 1−𝑞 (4.3.4)

O comportamento típico de cada um desses sistemas para diversos valores de 𝑞 estão representados nos gráficos abaixo:

Figura 4.2: Calor específico da partícula livre na região q<1

Olhando para o comportamento do calor específico com a temperatura, percebe-se que ambos os casos respeitam a terceira lei da termodinâmica. Observe que no caso 𝑞 > 1, o calor específico é negativo, o que não respeita a segunda lei da termodinâmica, conforme a definição mais simples de calor específico:

𝐶 = 𝑇𝜕𝒮

Figura 4.3: Calor específico da partícula livre na região q>1

Dado que a entropia sempre cresce com a temperatura, e a temperatura não pode ser negativa5_,

logo o calor específico não pode ser uma função decrescente com a temperatura e devemos descartar a região 𝑞 > 1.

Um calor específico decrescente e temperaturas negativas não são novidadades no estudo de sistemas simples na física estatística, o tratamento canônico de um sistema magnético6 _apresenta

o mesmo comportamento para as propriedades termodinâmicas. A saída encontrada é inserir uma temperatura negativa, que em princípio não ocasionaria nenhum problema pois o sistema possui um espectro de energia superiormente limitado.

Este fenômeno ocorre em sistemas físicos em que o spin nuclear e a rede cristalina alcançam estados de equilíbrio termodinâmico distintos. Para isso acontecer basta que o tempo de relaxação da rede e dos spins em conjunto ser maior que o tempo de relaxação dos spins e da rede em separado. Desta forma, se o sistema está em um estado global de equilíbrio, uma súbita mudança em um dos parâmetros externos é seguida de um período transiente em que os dois subsistemas, rede e spins, estão desacoplados um do outro e alcançam estados de equilíbrio a temperaturas distintas, que no caso dos spins pode ser negativa.

5_{Dunkel, J; Hilbert, S; Consistent thermostatistics forbids negative absolute temperatures, Nature Physics, 10,}

67-72 (2014)

Campisi, M; Construction of microcanonical entropy on thermodynamic pillars, arXiv:1411.2425v3 [cond-mat.stat- mech]

Apesar de um resultado exato, novamente não podemos esperar uma descrição completa de um sistema dissipativo com este tipo de ansatz pois temos uma região muito limitada para os valores de 𝑞. Isso ressalta a importância de não nos atermos apenas ao operador densidade, pois da seção anterior vimos que é possível obter resultados além dessa região.

Utilizando o calor específico generalizado como função teste para o resultado do banho de osciladores, conseguimos uma correspondência que está representada no gráfico abaixo.

0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 0 . 7 0 0 . 7 5 0 . 8 0 0 . 8 5 0 . 9 0 0 . 9 5 1 . 0 0 q - T s a l l i s q -T s a lli s λ(γ/ω₀)

Figura 4.4: Relação entre 𝑞 e 𝛾 para o calor específico da partícula livre generalizada e da partícula browniana livre

Observamos claramente que o limite de amortecimento nulo corresponde ao caso Boltzmann- Gibbs e temos 𝑞 = 1. Percebemos também a presença de uma mudança de comportamento quando passamos do regime subamortecido para o regime superamortecido.

Em primeira análise, seria esperado que as regiões acessíveis de 𝑞 fossem correspondentes à regimes de amortecimento distintos, de tal forma que a relação entre 𝑞 e 𝛾 seria descontínua. Nossos resultados indicam uma relação contínua, superiormente limitada pela caso sem amortecimento. A maior parte dos resultados apresentados na literatura, tomam 𝑞 como um número real positivo, embora na formulação da teoria a única restrição é que o valor de 𝑞 seja um número real e desta forma, podemos extrapolar a região superamortecida para valores negativos de 𝑞. Isso apresenta

Figura 4.5: Comparação entre os calores específicos para valores correspondentes de 𝑞 e 𝛾, onde Cq é o calor específico generalizado para 𝑞 = 0.9 e Ccl é o calor específico do modelo do banho de osciladores para 𝛾 = 0.5

alguns problemas:

1. Interpretação Física

2. Estabilidade Termodinâmica

Um dos objetivos do trabalho é tentar uma interpretação física para o índice entrópico, ou associa- lo a algum parâmetro físico. A mudança de sinal ocorre dentro da região superamortecida, logo não há nenhuma mudança do comportamento físico do sistema de tal forma que não encontramos uma interpretação física para a mudança de sinal.

Por outro lado, as leis da termodinâmica estabelecem que o estados de equilíbrio são extremos da entropia e convencionamos que este extremo é um máximo. Para valores negativos de 𝑞 a entropia generalizada possui apenas um mínimo e a entropia de Rényi não está definida nesta região, logo essa região não é físicamente aceitável. Para testar a concordância entre os dois modelos, podemos confrotar valores correspondentes de 𝑞 e 𝛾, em um mesmo gráfico: Percebe-se claramente que mesmo esses valores sendo obtidos como o melhor ajuste entre os dois modelos, a concordância numérica não existe. Contudo vê-se que ambos os modelos tem exatamente o mesmo comportamento com a temperatura. Logo apesar de não ter um bom ajuste com o banho de osciladores, nosso modelo é capaz de descrever um sistema dissipativo, ainda que de forma muito limitada.

Como produto observamos um comportamento termodinâmico anômalo nas definições termo- dinâmicas propostas pela Mecânica Estatística Não-Extensiva. À primeira vista, pode-se cogitar que o sistema precise de alguma modificação para que seja possível montar uma teoria efetiva com melhor concordância com os resultados para o movimento browniano quântico livre. Ainda assim,

para que os dois regimes de 𝑞 teriam que ser consistentes com a termodinâmica, o que só ocorrerá se a modificação for tal que a dependência com a temperatura seja drasticamente alterada, o que vai de encontro a justificativa adotada para o modelo. Assim, vemos que cumprimos parcialmente nosso propósito, utilizar um modelo partindo do Princípio de Jaynes para um sistema dissipativo, testar o conteúdo físico da Mecânica Estatística Não Extensiva e comparar com os resultados para um sistema não extensivo exatamente solúvel e verificar o comportamento do índice ajustável com as constante do modelo solúvel. Vamos executar o mesmo programa para o oscilador harmônico.