3.2.1 Movimento Browniano Clássico
Em 1827, o médico e botânico escocês Robert Brown estudou o movimento de partículas de polem numa suspensão aquosa e observou que algumas partículas presentes nos vacúolos do polem, executavam um movimento errático. A fim de determinar se tratava-se de algum fenômeno de ordem biológica, Brown estudou sob as mesmas condições grãos de poeira e concluíu que tratava- se de um fenômeno físico. Apesar de não ter conseguido uma explicação para o movimento, ele ficou conhecido como Movimento Browniano. Nos anos seguintes, o movimento browniano se tornou um tópico de grande interesse da comunidade cientifica na tentativa de comprovar a hipótese molecular. Em 1905, Albert Einstein propôs que a partícula de polem estava sendo movida pelas moléculas de água. Aplicando correções para o tamanho da partícula e a temperatura, Einstein obteve que a distância percorrida pela partícula aumenta com o quadrado do tempo decorrido. Em 1908,Jean Perrin comprovou experimentalmente a proposta de Einstein e seus resultados contribuíram para o estabelecimento da hipótese molecular. Por seus feitos, Perrin foi agraciado com o Nobel de Física em 1926. Alguns anos mais tarde, o matemático Norbert Wiener percebeu que devido a sua natureza, o movimento browniano não poderia ser explicado utilizando equações de movimento na forma tradicional, completamente determinística. Então, começou a realizar um estudo de natureza probabilística, introduzindo a necessidade de uma componente estocástica. Dentre seus
resultados mais importantes, estão a demonstração de que o caminho que uma partícula browniana percorre entre dois pontos é infinito e que a trajetória desta partícula constitui uma superfície 2D. O modelo físico mais conhecido para estudar o movimento browniano é feito através da equação de Langevin, proposta em 1908 e dada por:
𝑀 ¨𝑞(𝑡) + 𝜂 ˙𝑞(𝑡) + 𝑉′(𝑞) = 𝑓 (𝑡), (3.2.1)
onde 𝑀 é a massa da partícula, 𝜂 é a constante de dissipação e 𝑉 (𝑞) é o potencial externo ao qual a partícula está sujeita. 𝑓 (𝑡) é a chamada força flutuante e obedece as seguintes relações:
⟨𝑓 (𝑡)⟩ = 0, (3.2.2)
⟨𝑓 (𝑡)𝑓 (𝑡′)⟩ = 2𝜂𝑘𝑇 𝛿(𝑡 − 𝑡′). (3.2.3)
A equação de Langevin nada mais é do que um modelo fenomenológico formulado a partir da segunda Lei de Newton contendo um termo estocástico 𝑓 (𝑡). Como toda teoria fenomenoló- gica possui um domínio de validade, a equação de Langevin é uma boa descrição do movimento browniano quando:
• a massa, 𝑀 , da partícula browniana é tal que𝑀 ≫ 𝑚, onde m é a massa das moléculas do fluído viscoso.
• estamos interessados no comportamento da partícula em tempos muito maiores do que o tempo médio de colisões entre as moléculas.
Tanto a força viscosa quanto a força estocástica são manifestações físicas do mesmo fenômeno, a interação da partícula browniana com o meio que a cerca. A força viscosa representa um efeito sistemático das partículas e o a força estocástica reflete a influência instantânea do meio.
3.2.2 Movimento Browniano Quântico
Apesar de quase todos os problemas de mecânica quântica que estamos acostumados a resolver assumirem que o sistema de interesse está completamente isolado, isso quase nunca é verdade. Considerar o efeito do acoplamento com o meio ao redor pode revelar vários aspectos físicos desco- nhecidos do sistema de interesse e não raro é a causa do desvio entre o resultado experimental e a predição teórica. Classicamente, o problema sempre pode ser tratado com a equação de Langevin e
seus desdobramentos. Por exemplo, uma teoria estocástica baseada na equação de Fokker-Planck. O problema surge quando tentamos quantizar um sistema dissipativo.
Nossa abordagem tradicional para quantizar um sistema físico consiste em partir do Hamiltoni- ano ou do Lagrangeano que gera suas equações clássicas de movimento e aplicar os bem conhecidos procedimentos de quantização canônica. Contudo, é um fato bem conhecido que não existe um Ha- miltoniano ou Lagrangeano que gere a equação de Langevin que não possua dependência explicita no tempo. Existem algumas tentativas de Lagrangeanos ou Hamiltonianos dependentes do tempo que produzem os efeitos dissipativos consistentes2, porém quantizar esses sistemas nos conduz a
outros problemas como dificuldades em definir as relações de incerteza e quando essas possíveis soluções são fisicamente plausíveis.
Podemos agrupar boa parte das tentativas de quantizar um sistema dissipativo em duas cate- gorias:
• buscar por novos métodos de quantização
• modelos do tipo sistema-mais-reservatório
A primeira abordagem sempre recai na necessidade de hipóteses questionáveis e os resultados nem sempre são fisicamente realistas. Desta forma, a abordagem geral consiste em assumir que o sistema de interesse está acoplado com um outro sistema que é o responsável pelos efeitos dissipati- vos. De fato, esta abordagem é bastante factível pois todos os sistemas dissipativos encontrados na natureza estão acoplados com um meio que é responsável pela sua perda de energia o que justifica estudar modelos desse tipo ao invés de buscar modificações nos esquemas de quantização.
Nossa metodologia consiste em propor explicitamente um Hamiltoniano para o sistema com- posto, da forma:
^
𝐻 = ^𝐻𝑆+ ^𝐻𝑆𝐵+ ^𝐻𝐵. (3.2.4)
Agora temos que enfrentar duas escolhas. Uma é qual o conteúdo físico mínimo que o modelo deve ter a fim de reproduzir o resultado desejado no limite clássico. Uma vez feita a escolha apropriada, ou seja uma escolha cuja solução clássica seja uma equação de Langevin ,esta muito provavelmente será a certa. A segunda diz respeito a qual método iremos aplicar para tratar o sistema composto e é isso que discutiremos em seguida.