tramos um ´unico (simetria de r´eplicas) estado estacion´ario, independente das condi¸c˜oes iniciais. Al´em da linha de transi¸c˜ao (regi˜ao RSB), o sistema tem propriedades similares `aquelas do EN (quebra da simetria de r´eplicas), havendo, nessa regi˜ao, muitos estados desconexos que s˜ao selecionados pelas escolhas das condi¸c˜oes inicias.
Para as poss´ıveis implica¸c˜oes desses comportamentos, vemos que fornecer uma recom- pensa extra a estrat´egia efetivamente jogada ´e sempre vantajoso, tanto individualmente quanto globalmente. Em particular, uma recompensa infinitesimal ´e suficiente para evitar o efeito manada quando α ´e pequeno e para reduzir as flutua¸c˜oes por uma quantidade finita.
2.5 COMENT´ARIOS
Ap´os um longo caminho percorrido, podemos constatar certa equivalˆencia entre os resul- tados anal´ıticos e as simula¸c˜oes computacionais. Para o caso de η = 0, essa equivalˆencia se restringe `a regi˜ao onde α > αc. J´a para η > 0, essa equivalˆencia ocorre para todo valor
de α, embora que para α < αc haja uma pequena discrepˆancia.
A introdu¸c˜ao do termo η quebra a simetria de r´eplica, o que nos obriga a utilizar ferramentas sofisticadas para a obten¸c˜ao de uma aproxima¸c˜ao anal´ıtica. A compara¸c˜ao entre essas solu¸c˜oes e os resultados obtidos nas simula¸c˜oes apontam para um caminho bastante auspicioso.
RESULTADOS E DISCUSS ˜OES
O objetivo no nosso trabalho foi avaliar o comportamento do Jogo da Minoria quando a popula¸c˜ao de agentes ´e vari´avel, bem como os efeitos do fator de impacto η nesse com- portamento. Tamb´em analisamos esse modelo quando apenas uma fra¸c˜ao da popula¸c˜ao de agentes disp˜oe do fator de impacto η.
Nas nossas simula¸c˜oes, utilizamos 500 amostras, um tempo de equil´ıbrio TEQ = 300P
e um n´umero de itera¸c˜oes de 500P.
Os resultados mostrados nesse cap´ıtulo renderam trabalhos apresentados em congres- sos internacionais de f´ısica [47, 48].
3.1 O FATOR DE IMPACTO PARA UMA PORCENTAGEM DA POPULAC¸ ˜AO
J´a foi visto que a modifica¸c˜ao na dinˆamica da aprendizagem dos agentes com o acr´escimo do termo proporcional a η melhora a dinˆamica do sistema e diminui o desvio padr˜ao σ, aumentando a eficiˆencia do jogo. Essa modifica¸c˜ao ´e dada pela Eq. .:
Ui,s(t + 1) = Ui,s(t) − aµ(t)i,s(t) N h A(t) − η ³ aµ(t)i,si(t)− aµ(t)i,s ´i .
Conforme foi discutido no Cap. 2, η ´e uma pontua¸c˜ao extra dada as estrat´egias que foram efetivamente escolhidas pelos agentes, caso a estrat´egia escolhida tenha previsto o resultado corretamente. Se η = 0, recuperamos o Jogo da Minoria Padr˜ao e dizemos que os agentes s˜ao simples. No caso de η = 1, o Jogo da Minoria atinge o equil´ıbrio de Nash e os agentes s˜ao ditos sofisticados.
Para η ∈ (0; 1), os agentes avaliam o impacto das suas decis˜oes, e para qualquer valor de η > 0, mesmo que infinitesimal, o ganho no desempenho pode ser de algumas ordens
3.1 O Fator de Impacto Para uma Porcentagem da Popula¸c˜ao 45 de grandeza (vide Fig. 2.5).
Para as situa¸c˜oes vistas at´e agora, o fator de impacto era avaliado para todos os agentes. Mas, uma d´uvida pertinente seria a respeito dos efeitos de η quando variamos a porcentagem da popula¸c˜ao de N agentes que s˜ao contemplados com esse incentivo extra. Na nossa an´alise, partimos da Eq. ., que pode ser reescrita como (Eq. .)
Ui,s(t + 1) = Ui,s(t) − aµ(t)i,s(t) N h A(t) − ηδs,si(t) i .
Ent˜ao, impomos a seguinte condi¸c˜ao:
η {porcentagem} = η, se porcentagem 6 p;
η {porcentagem} = 0, caso contr´ario. (.)
Dessa forma, apenas uma fra¸c˜ao p dos agentes recebem a pontua¸c˜ao extra em suas estrat´egias escolhidas. Assim, podemos avaliar os efeitos do fator de impacto η quando variamos a porcentagem dos agentes contemplados. Nas nossas simula¸c˜oes, utilizamos
uma popula¸c˜ao total de N = 101 agentes, com tempo de equil´ıbrio Teq = 300P . Foram
realizadas 500P rodadas independentes para cada amostra, onde P = 2M e M ´e o vetor
de M-bits que representa a mem´oria do jogo. A m´edia foi realizada para 500 amostras.
0,01 0,1 1 10 100 0,01 0,1 1 10 p=0.01 p=0.10 p=0.15 p=0.20 p=0.25 p=0.50 p=0.60 p=0.80 p=1.00 = 0.10
Figura 3.1 σ2/N em fun¸c˜ao de α para diferentes valores de p, com η = 0.10 e N = 101. A linha segmentada indica o limite randˆomico.
0,01 0,1 1 10 100 0,01 0,1 1 2 /N p=0.05 p=0.10 p=0.30 p=0.50 p=0.60 p=0.70 p=1.00 0.30 0,01 0,1 1 10 100 0,01 0,1 1 2 /N p=0.01 p=0.05 p=0.10 p=0.15 p=0.20 p=0.30 p=0.70 p=1.00 = 0.80
Figura 3.2 σ2/N em fun¸c˜ao de α para diferentes valores de p, com N = 101, η = 0.30 (`a esquerda) e η = 0.80 (`a direita) . As linhas segmentadas indicam o limite randˆomico.
Dado um η fixo, repetimos a dinˆamica do Jogo da Minoria para diferentes valores da fra¸c˜ao de agentes p. O resultado pode ser visto na Fig. 3.1.
Observamos que, para η = 0.10, se p = 0.20 dos agentes disporem do fator de im- pacto η, o resultado j´a ´e muito pr´oximo daquele quando p = 1.00, o que indica que a convergˆencia ´e r´apida. J´a para valores de p 6 0.15, o jogo se comporta semelhante ao Jogo da Minoria Padr˜ao, onde η = 0, indicando uma perda de desempenho do sistema e um consequente aumento no desvio padr˜ao (para al´em do limite randˆomico).
Se, agora, repetirmos a mesma an´alise para outros valores de η, encontramos com- portamentos semelhantes, o que pode ser visualizado na Fig. 3.2. Para valores pequenos de p, os resultados convergem para valores pr´oximos daqueles quando p = 1.00. Embora haja valores de p para os quais o desempenho do jogo ´e compar´avel ao Jogo da Minoria Padr˜ao, com desvio padr˜ao acima do limite randˆomico.
Dessa forma, o comportamento desse sistema ´e idˆentico, qualquer que seja o η ∈ (0; 1). Ent˜ao, uma segunda d´uvida pertinente seria a respeito da existˆencia de um valor limite (ou cr´ıtico) para a porcentagem dos agentes que recebem o incentivo extra η, o qual seria suficiente para garantir um desempenho do sistema melhor que o regime aleat´orio, ou seja, o desvio padr˜ao situando-se abaixo da linha do limite randˆomico.
Na Fig. 3.3, vemos os valores da porcentagem cr´ıtica pc, em fun¸c˜ao de η, que dividem