3.2 Crescimento Populacional
3.2.2 Proposta Para a Flutua¸c˜ao da Popula¸c˜ao de Agentes
Seguindo a id´eia de que a atratividade de um mercado se d´a pelo seu desempenho, assumimos o limite randˆomico para o desvio padr˜ao como a linha lim´ıtrofe entre um sistema eficiente (abaixo do limite randˆomico) e um sistema ineficente (acima do limite randˆomico).
Para as simula¸c˜oes, usamos cada rodada do jogo como uma unidade de tempo. Ao final de cada rodada comparamos o desempenho do jogo com o limite randˆomico. Se o sistema tiver um desempenho melhor que o regime randˆomico, `a popula¸c˜ao ser´a acrescido o inteiro mais pr´oximo do valor correspondente `a metade do desvio padr˜ao daquela rodada. Caso contr´ario, da popula¸c˜ao ser´a subtra´ıdo o mesmo valor. Assim,
N [t + 1] = N [t] + Int µ σ [t] 2 ¶ , caso σ[t] < σran[t], (.) ou N [t + 1] = N [t] − Int µ σ [t] 2 ¶ , caso σ[t] > σran[t]; (.)
onde σ[t] indica o desvio padr˜ao do jogo no instante t, σran[t] ´e o desvio padr˜ao do regime
randˆomico no instante t e Int(x) representa a parte inteira de x.
Na Fig. 3.4, vemos a varia¸c˜ao no n´umero de agentes para diferentes valores da po- pula¸c˜ao inicial N0 em fun¸c˜ao do tempo.
Observamos que todas as curvas da Fig. 3.4 tendem para uma mesma popula¸c˜ao limite NL ∼ 23. Para popula¸c˜oes iniciais acima desse valor, as curvas s˜ao decrescentes,
3.2 Crescimento Populacional 49 0 100 200 300 400 500 0 200 400 600 800 1000 N 0 =11 N 0 = 101 N 0 =201 N 0 =401 N 0 =601 N 0 =901 N T M=2 =0.0 N L ~23
Figura 3.4 Varia¸c˜ao no n´umero de agentes para diferentes valores da popula¸c˜ao inicial N0 em fun¸c˜ao do tempo, com M = 2 e η = 0.0 (Jogo da Minoria Padr˜ao). Notamos que todas as curvas tendem para uma mesma popula¸c˜ao limite NL∼ 23. De cima para baixo temos N0=901, 601, 401, 201, 101, 11.
enquanto que abaixo desse valor, as curvas s˜ao crescentes.
Se, agora, mudarmos o valor da mem´oria M, encontramos um comportamento seme- lhante, conforme mostra a Fig. 3.5.
Assim como no caso de M = 2, para M = 5 todas as curvas tendem para uma mesma
popula¸c˜ao limite, com valor NL ∼ 203. Na verdade, esse comportamento ´e semelhante
qualquer que seja o valor da mem´oria M (mantendo o n´umero de estrat´egias S fixo). Entretando, o valor da popula¸c˜ao limite NL para o qual as curvas convergem depende de
M.
De certa forma, esses resultados n˜ao s˜ao surpreendentes. No Jogo da Minoria Padr˜ao (η = 0.0), a curva do desvio padr˜ao cruza a linha do limite randˆomico, possuindo uma regi˜ao acima desse limite (desempenho pior que caso randˆomico) e outra abaixo desse limite (desempenho melhor que o caso randˆomico), como foi visto na Fig. 1.2. Ent˜ao, o
0 100 200 300 400 500 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 N 0 = 11 N 0 = 51 N 0 = 101 N 0 = 201 N 0 = 401 N 0 = 601 N 0 = 901 N T M = 5 = 0.0 N L ~ 203
Figura 3.5 Varia¸c˜ao no m´umero de agentes para diferentes valores da popula¸c˜ao inicial N0 em fun¸c˜ao do tempo, com M = 5 e η = 0.0 (Jogo da Minoria Padr˜ao). Notamos que todas as curvas tendem para uma mesma popula¸c˜ao limite NL ∼ 203. De cima para baixo temos N0=901, 601, 401, 201, 101, 51, 11.
sistema acaba evoluindo para um NL correspondente a esse ponto de intersec¸c˜ao.
Podemos tamb´em observar o que acontece com as curvas de crescimento populacional quando temos η 6= 0. A Fig. 3.6 mostra a varia¸c˜ao no n´umero de agentes para diferentes valores de N0 em fun¸c˜ao do tempo, com η = 0.10.
Comparando as Figs. 3.4 e 3.6, vemos que ambas apresentam um comportamento semelhante. A diferen¸ca reside apenas no valor de NL. Isso indica que o fator η modifica
o patamar da popula¸c˜ao limite, mas n˜ao altera o comportamenta qualitativo do sistema. Esses resultados para η 6= 0.0 n˜ao eram esperados. Se observarmos a Fig. 2.4, podemos ver que, para qualquer valor de η > 0.0, o desempenho do Jogo da Minoria ´e melhor que o caso randˆomico e pela nossa condi¸c˜ao de crescimento populacional, dada pela Eq. ., o valor de N deveria ser sempre crescente.
Se estendermos nossa an´alise para os diversos valores de M, com η 6= 0.0, teremos
3.2 Crescimento Populacional 51 0 100 200 300 400 500 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 N o =11 N o = 51 N o = 101 N o = 201 N o = 401 N o = 601 1 1 A M=2 =0.10 N L ~131
Figura 3.6 Varia¸c˜ao no m´umero de agentes para diferentes valores da popula¸c˜ao inicial N0 em fun¸c˜ao do tempo, com M = 2 e η = 0.10. Todas as curvas tendem para uma mesma popula¸c˜ao limite NL∼ 131. De cima para baixo temos N0= 601, 401, 201, 101, 51, 11.
onde NL depende de M. Al´em dessa dependˆencia com a mem´oria, NL tamb´em depende
de η, o que j´a foi intu´ıdo pela compara¸c˜ao dos gr´aficos apresentados.
Outro fator importante que deve ser frisado ´e o aumento das fluta¸c˜oes em torno de
NL quando fazemos η 6= 0.0. Essa dispers˜ao aparentemente n˜ao depende de M. Apesar
do gr´afico para M = 5 aparentar uma dispers˜ao bem maior que o gr´afico para M = 2, as escalas dos gr´aficos contribu´ıram para essa discrepˆancia.
Na Fig. 3.7, temos o comportamento da evolu¸c˜ao populacional com o tempo para
M = 5 e η = 0.1. De maneira semelhante ao caso de M = 2, o sistema apresenta um
valor limite NLpara o qual todas as curvas convergem. Al´em do valor de NL (nesse caso,
NL ∼ 497), outra diferen¸ca, se compararmos com a situa¸c˜ao onde η = 0.0, ´e a largura
das flutua¸c˜oes em torno de NL.
Podemos compilar os demais resultados para diferentes mem´orias em ´unico gr´afico. Lembrando da defini¸c˜ao de que α = 2M/N, ent˜ao calculamos um α limite (α
0 100 200 300 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 N T N 0 =11 N 0 =51 N 0 =101 N 0 =201 N 0 =401 N 0 =901 M = 5 = 0.1 N L ~ 497
Figura 3.7 Varia¸c˜ao no m´umero de agentes para diferentes valores da popula¸c˜ao inicial N0 em fun¸c˜ao do tempo, com M = 5 e η = 0.10. Todas as curvas tendem para uma mesma popula¸c˜ao limite NL∼ 497. De cima para baixo temos N0= 901, 401, 201, 101, 51, 11.
valor de M, ou seja, αL= 2M/NL. A Fig. 3.8 mostra o gr´afico de α−1L (M) em fun¸c˜ao de
M, para v´arios valores de η.
Vale a pena comentar que cada curva observada necessitou, em m´edia, 400 horas de processamento, em um computador com processador QuadCore™de 2.80 GHz, para ser conclu´ıda. Isso mostra o elevado tempo computacional requerido pelo nosso problema.
Isso se deve ao fato de que, com o advento do parˆametro η, os valores de NL tornam-
se muito elevados. Ent˜ao, `a medida que M aumenta, as matrizes computadas pelas simula¸c˜oes tornam-se gigantescas.
A Fig. 3.8 nos d´a informa¸c˜oes muito interessantes. Para η = 0.0, o gr´afico apresenta um pico em torno de M = 4 e para outros valores de M, o valor de α−1L (M) ´e praticamente constante. J´a para η > 0.0, todas as curvas apresentam um comportamento semelhante:
α−1L (M) decresce at´e um valor de M, apartir do qual α−1L (M) fica praticamente constante.
3.3 Tentativa de uma Descri¸c˜ao Anal´ıtica 53