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O modelo do jogo da minoria com população variável

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Academic year: 2021

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(1)tlJtIJ'". -----. UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE FÍSICA - CCEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA. DISSERTAÇÃO DE MESTRADO. o MODELO. DO JOGO DA MINORIA COM POPULAÇÃO VARIÁVEL por. Paulo Gustavo Xavier Ramos. Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física do Departamento de Física da Universidade Federal de Pemambuco como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Física .. . Banca Examinadora: Prof. Jairo Rolim Lopes de Almeida (Orientador-UFPE) Prof. Francisco George Brady Moreira (DF-UFPE) Prof. Francisco Alexandre da Costa (DFTE-UFRN). Recife - PE, Brasil Setembro - 2009.

(2) Ramos, Paulo Gustavo Xavier. O modelo do jogo da minoria com população variável / Paulo Gustavo Xavier Ramos. - Recife : O Autor, 2009. xii, 62 folhas : il., fig. tab. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Pernambuco. CCEN. Física, 2009. Inclui bibliografia. 1. Mecânica estatística. 2.Dinâmica não-linear. 3. Transição de fase. 4. Jogos da minoria. I. Título. 530.13. CDD (22.ed.). FQ 2009-041.

(3) Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Física - CCEN Programa de Pós-Graduação em Física Cidade Universitária - 50670-901 Recife PE Brasil Fone (++ 55 81) 2126-8449/2126-8450 - Fax (++ 5581) 3271-0359 http://www.df.ufpe.br/pg e-mail: posgrad@df.ufpe.br. Parecer da Banca Examinadora de Defesa de Dissertação de Mestrado. Paulo Gustavo Xavier Ramos. o MODELO. DO JOGO DA MINORIA COM POPULAÇÃO VARIÁVEL. A Banca Examinadora composta pelos Professores (Presidente e Ori entado r), Francisco George Brady Federal de Pemambuco, Francisco Alexandre da Costa, e Experimental da Universidade Federal do Rio Grande. «<) Aprovado. ( ) Reprovado. Jairo Rolim Lopes de Almeida Moreira, ambos da Universidade do Departamento de Física Teórica do Norte, consideram o candidato: ( ) Em exigência. Secretaria do Programa de Pós-Graduação em Física do Departamento de Física do Centro . de Ciências Exatas e da Natureza da Universidade Federal de Pemambuco em nove de setembro de 2 09.. i Rolim Lopes de Almeida residente e Orientador. -~-. Prof. Francisco Alexandre da Costa. Prof. Francisco George Brady Moreira.

(4) AGRADECIMENTOS. Tenho um sentimento de gratid˜ao especial pela minha fam´ılia, por sempre me apoiarem, incontestavelmente. Minha m˜ae Estela, meu pai Arnaldo e os meus irm˜aos Joelson, Rafael, J´ unior e Aline. Esse sentimento se estende `a minha tia Eleonora e ao meu Tio Nivaldo por terem me acolhido com tanto carinho durante esses anos de faculdade. E devo um agradecimento especial `a minha noiva, Claudiane, por toda a paciˆencia, carinho e apoio que me tem dedicado. Muito devo tamb´em aos meus colegas de faculdade. Cesar, Aranildo, Vladimir, pela amizade e pelos momentos compartilhados. Geovani, L´azaro, Lincon, Maury, Joaquim, Igo, Lavˆor, Pl´ınio, Karlla, Rafael, Andr´e, Milrian, Tiago e F´abio por tab´em contribu´ırem para o meu Mestrado. Faz-se necess´ario um agradecimento especial a alguns colegas que me acompanham desde a gradua¸c˜ao : Douglas, Carlos Eduardo, Marcone e Eglˆandio. Aos integrantes do V.A.P.O.R., pelas incont´aveis x´ıcaras de caf´e, necess´arias `a produ¸ca˜o cient´ıfica. E tamb´em um justo agradecimento ao Anexo B, onde muitas id´eias de F´ısica surgem, s˜ao discutidas e amadurecidas. Aos funicion´arios do Departamento de F´ısica, que mantˆem a estrutura necess´aria para que todos possamos realizar nossas atividades Agrade¸co a todos os professores do DF, e em especial aos Profs. Fernando Machado, Albino Aguiar, Erivaldo Montarroyos, Mauro Copelli, Marcelo Gomes, Sergio Coutinho e Fl´avio Aguiar. Aos professores Franciso Brady e Adauto Souza, as minhas mais sinceras estimas e admira¸c˜ao, pelo generosidade em compartilhar o conhecimento, pela prestatividade e pela simplicidade. iii.

(5) iv Ao professor Jairo Rolim Lopes de Almeida, pela dedica¸c˜ao e empenho, sem os quais esse trabalho n˜ao teria sido poss´ıvel. Pelo carinho com o qual me acolheu como aluno. As circuntˆancias da vida forma-me muito favor´aveis quando me deram a oportunidade de ser orientado por algu´em t˜ao brilhante. Agrade¸co por sua simplicidade e por ter compartilhado a sua genialidade comigo. Agrade¸co `a CAPES, ao Departamento de F´ısica e `a UFPE pelo suporte financeiro.. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE.

(6) O que procuraste em ti ou fora de teu ser restrito e nunca se mostrou, mesmo afetando dar-se ou se rendendo, e a cada instante mais se retraindo, olha, repara, ausculta: essa riqueza sobrante a toda p´ erola, essa ciˆ encia sublime e formid´ avel, mas herm´ etica, essa total explica¸ c˜ ao da vida, esse nexo primeiro e singular, que nem concebes mais, pois t˜ ao esquivo se revelou ante a pesquisa ardente em que te consumiste... vˆ e, contempla, abre teu peito para agasalh´ a-lo. —CARLOS DRUMMOND DE ANDRADE (A M´ aquina do Mundo).

(7) RESUMO. No Jogo da Minoria (MG), dada uma popula¸ca˜o de N agentes, cada agente disp˜oe de S estrat´egias e deve fazer uma escolha (“sim” ou “n˜ao”, por exemplo). Ganham os que estiverem no grupo da minoria e as estrat´egias vencedoras ser˜ao pontuadas. Cada agente, no modelo do MG, tem acesso `a informa¸ca˜o do hist´orico de resultados µ, e usa essa informa¸c˜ao para tomar sua decis˜ao: µ representa um dos poss´ıveis padr˜oes P . A eficiˆencia do jogo se d´a pelo desvio padr˜ao m´edio do n´ umero de ganhadores e perdedores, σ. Maior ser´a a eficiˆencia quanto menor for o desvio padr˜ao σ. O MG apresenta uma fase cooperativa para valores maiores do que a raz˜ao α = P/N e um comportamento que pode ser encarado como uma fase com efeitos de manada para pequenos valores de α. Investigamos o crescimento populacional sob o regime do Jogo da Minoria. No MG, os agentes tomam suas decis˜oes baseados em informa¸co˜es de resultados anteriores. No regime randˆomico, cada agente toma sua decis˜ao ao acaso, sem ter acesso `a nenhuma informa¸c˜ao pr´evia. Os resultados indicaram que as popula¸c˜oes se estabilizam em torno de um valor limite NL , independentemente das condi¸c˜oes iniciais. Foi observado, ainda, que a rela¸c˜ao entre esse valor limite de cada popula¸ca˜o distinta e a sua respectiva eficiˆencia dependem da quantidade de informa¸ca˜o dispon´ıvel M , onde obtemos NL (M ). Extendemos nossa an´alise para a dinˆamica populacional no MG com o fator de impacto η ∈ (0; 1). Analisamos tamb´em os efeitos na eficiˆencia do MG quando apenas uma porcentagem dos agentes s˜ao contemplados com o η. Verificamos que para qualquer valor de η, h´a sempre uma porcentagem cr´ıtica pc (η), apartir da qual a eficiˆencia do MG fica abaixo do limite randˆomico. Palavras-chave:. Jogos da minoria, transi¸ca˜o de fase, m´etodo das r´eplicas, vidros de. spin, sistemas desordenados. vi.

(8) ABSTRACT. In the Minority Game (MG), given a population of N agents, each agent has S strategies and must make a choice (e.g., “yes”or “no”). Win those in the minority group and winning strategies will be scored. Each agent in the model of MG, has access to information from the historical results of µ, and uses this information to make your decision: µ represents one of the possible patterns P . The efficiency of the game is given by the standard deviation of the average number of winners and losers, σ. The greater the efficiency the lower the standard deviation σ. The MG has a cooperative phase for values higher than the ratio α = P/N and a behavior that can be viewed as a phase with crowd effects for small values of α. We investigated the population growth under the regime of the Minority Game. In MG, the agents make their decisions based on information from previous results. In the random scheme, each agent makes his decision at random, without access to any prior information. The results indicated that populations stabilize around a threshold value NL , regardless of initial conditions. It was noted also that the relationship between this threshold value of each distinct population and their relative efficiency depends on the amount of information available M , where we get NL (M ). Extend our analysis to the population dynamics in the MG with the impact factor η ∈ (0; 1). We also analyzed the effects on the efficiency of the MG when only a percentage of agents are covered with the η. We note that for any value of η, there is always a critical percentage of pc (η), from within which the efficiency of the MG is below the limit random. Keywords: Minority games, phase transitions, method of replica, spin glasses, random systems.. vii.

(9) ´ SUMARIO. Cap´ıtulo 1—Jogos da Minoria. 1. 1.1. Introdu¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Jogo da Minoria Padr˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.3. Formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.4. Propriedades F´ısicas do Jogo da Minoria . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.5. Os casos para S > 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. Cap´ıtulo 2—Abordagem Anal´ıtica. 13. 2.1. A Id´eia da Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 2.2. Mecˆanica Estat´ıstica do Jogo da Minoria . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.3. M´etodo das R´eplicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 2.3.1. A Energia Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 2.3.2. Solu¸ca˜o com Simetria de R´eplicas . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. Quebra da Simetria de R´eplicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 2.4.1. O Papel do Fator de Impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 2.4.2. O Equil´ıbrio de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 2.4.3. A Energia Livre com Simetria de R´eplicas . . . . . . . . . . . . .. 38. 2.4.4. A Energia Livre com Quebra de Simetria de R´eplicas . . . . . . .. 39. Coment´arios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 2.4. 2.5. Cap´ıtulo 3—Resultados e Discuss˜ oes 3.1. 44. O Fator de Impacto Para uma Porcentagem da Popula¸c˜ao . . . . . . . . viii. 44.

(10) ix 3.2. 3.3. Crescimento Populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. 3.2.1. Eficiˆencia do Jogo da Minoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. 3.2.2. Proposta Para a Flutua¸c˜ao da Popula¸ca˜o de Agentes . . . . . . .. 48. Tentativa de uma Descri¸ca˜o Anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. Cap´ıtulo 4—Conclus˜ oes. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE. 56.

(11) LISTA DE FIGURAS. 1.1. σ em fun¸ca˜o de M para N = 101 e S = 2, mostrando 32 rodadas independentes para cada valor de M . A linha horizontal segmentada indica o limite aleat´orio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.2. σ 2 /N em fun¸c˜ao de α para v´arios valores de N , com S = 2. A linha vertical pontilhada divide as duas fases do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.3. 7. 9. Histograma das probabilidades P (1|µ) da a¸c˜ ao vencedora ser “1” dada uma informa¸c˜ao µ (plotado como representa¸c˜ ao decimal do vetor bin´ario de informa¸c˜ao), para N = 101 e S = 2 em (a) fase sim´etrica com M = 5, isto ´e, α ≈ 0.316 < αc e (b) fase assim´etrica com M = 6, isto ´e, α ≈ 0.634 > αc . . .. 1.4. H/N em fun¸c˜ao de α para v´arios valores de N , com S = 2. A linha vertical segmentada divide as duas fases do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.5. 10. 11. σ 2 /N em fun¸c˜ao de α para S = 2, 3 e 4 estrat´egias para cada agente. A volatilidade geralmente cresce com o n´ umero de estrat´egias S por agente. O data collapse ´e mostrado para os diferentes valores de S.. 2.1. . . . . . . . . . . .. 12. Fra¸ca˜o φ de agentes congelados em fun¸c˜ao de α para M = 6 (c´ırculos), 7 (quadrados), 8 (diamantes). O ponto cr´ıtico ´e localizado na interse¸ca˜o das trˆes curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.2. 18. σ 2 /N em fun¸c˜ao de α. Os quadrados cheios representam as simula¸c˜ oes do Jogo da Minoria, os quadrados vazados representam o estado estacion´ario de σ 2 e a linha cheia corresponde aos resultados anal´ıticos. . . . . . . . . . . . . . . .. x. 31.

(12) LISTA DE FIGURAS 2.3. xi. Logaritmo da m´edia do n´ umero de equil´ıbrios de Nash dividido por N como fun¸c˜ao de α para diferentes valores de N . A linha cheia corresponde aos resultados anal´ıticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.4. Estimativa te´orica de σ 2 /N em fun¸c˜ao de α para S = 2 e diferentes valores de η. O equil´ıbrio de Nash (linha mais espessa) corresponde a η = 1.. 2.5. 36. . .. 40. σ 2 /N em fun¸ca˜o de η para S = 2 e α ' 0.079 < αc e α ' 0.63 > αc . S˜ao mostrados os resultados de simula¸c˜oes num´ericas do Jogo da Minoria bem como minimiza¸co˜es num´ericas de Hη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 2.6. Diagrama de fase do Jogo da Minoria no plano α, η. . . . . . . . . . . . .. 42. 3.1. σ 2 /N em fun¸ca˜o de α para diferentes valores de p, com η = 0.10 e N = 101. 45. 3.2. σ 2 /N em fun¸ca˜o de α para diferentes valores de p, com N = 101. . . . . .. 46. 3.3. Fra¸ca˜o cr´ıtica de agentes (pc ) em fun¸c˜ao de η, com N = 101. . . . . . . .. 47. 3.4. Varia¸ca˜o no n´ umero de agentes para diferentes valores da popula¸c˜ao inicial N0 em fun¸ca˜o do tempo, com M = 2, S = 2 e η = 0.0.. 3.5. . . . . . . . . . .. 50. Varia¸ca˜o no n´ umero de agentes para diferentes valores da popula¸c˜ao inicial N0 em fun¸ca˜o do tempo, com M = 2, S = 2 e η = 0.1.. 3.7. 49. Varia¸ca˜o no n´ umero de agentes para diferentes valores da popula¸c˜ao inicial N0 em fun¸ca˜o do tempo, com M = 5, S = 2 e η = 0.0.. 3.6. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. 51. Varia¸ca˜o no n´ umero de agentes para diferentes valores da popula¸c˜ao inicial N0 em fun¸ca˜o do tempo, com M = 5, S = 2 e η = 0.10. . . . . . . . . . .. 52. 3.8. αL−1 (M ) = NL /2M em fun¸c˜ao de M , para v´arios valores de η . . . . . . .. 53. 3.9. N (t) para M = 2 e η = 0.10 . Observamos os pontos obtidos pelas simula¸c˜oes e o resultado anal´ıtico proposto com r = 3.0. . . . . . . . . . .. 54. 3.10 N (t) para M = 2 e η = 0.10. Observamos os pontos obtidos pelas simula¸c˜oes e o resultado anal´ıtico proposto com r = 1.5. . . . . . . . . . .. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE. 54.

(13) LISTA DE TABELAS. 1.1. Um exemplo de 2 estrat´egias com M = 3, destacando a hist´oria “110” e as suas respectivas previs˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. xii. 3.

(14) CAP´ITULO 1. JOGOS DA MINORIA. 1.1. ˜ INTRODUC ¸ AO. O Jogo da Minoria refere-se a um modelo adaptativo para mercado financeiro baseado em m´ ultiplos agentes heterogˆeneos, com racionalidade limitada. Na vers˜ao mais simples do jogo, em repetidas jogadas, agentes escolhem uma entre duas decis˜oes em cada jogada, usando suas indutivas estrat´egias. Em cada rodada, o grupo minorit´ario vence o jogo e recompensas s˜ao dadas para aquelas estrat´egias que previram o resultado correto. Exemplos di´arios de jogo da minoria incluem motoristas escolhendo uma estrada menos engarrafada ou pessoas escolhendo um restaurante menos lotado. O modelo do Jogo da Minoria foi proposto, originalmente, por Damien Challet e YiCheg Zhang [1] em 1997 com seu trabalho sendo publicado em uma revista de F´ısica Estat´ıstica. Esse modelo ´e inspirado no problema do Bar El Farol introduzido por W. Brian Arthur em 1994 [2] em um trabalho apresentado e publicado em uma conferˆencia de Economia. Isto j´a mostra a natureza interdisciplinar do Jogo da Minoria com uma origem econˆomica, em uma perspectiva f´ısica. No problema do Bar El Farol, cada indiv´ıduo de uma dada popula¸c˜ao escolhe se vai a um bar toda ter¸ca `a noite. O bar tem um n´ umero limitado de lugares e s´o pode atender a uma certa porcentagem dessa popula¸c˜ao. Se o n´ umero de indiv´ıduos que vai ao bar ´e maior do que essa porcentagem ´e prefer´ıvel ficar em casa. Caso contr´ario, ´e prefer´ıvel ir ao bar. Para tomar a decis˜ao de ir ou n˜ao, todos os indiv´ıduos s˜ao equipados com um certo n´ umero de estrat´egias, sem que haja comunica¸c˜ao entre os indiv´ıduos. Essas estrat´egias fornecem suas previs˜oes sobre a frequˆencia no bar na semana seguinte, baseadas nas frequˆencias passadas. Todas as estrat´egias tˆem um placar de desempenho individual. As 1.

(15) 1.2 Jogo da Minoria Padr˜ao. 2. decis˜oes s˜ao feitas considerando a previs˜ao feita pela sua melhor estrat´egia pessoal. Com essa constru¸c˜ao, W. B. Arthur descreveu a racionalidade indutiva do sistema na forma de hip´oteses que se adaptam ao comportamento macrosc´opico do sistema. Assim, ele classifica essas intera¸co˜es como um sistema adaptativo complexo. Ap´os um tempo de aprendizagem inicial, as hip´oteses (estrat´egias) s˜ao mutuamente coadaptadas. ˜ JOGO DA MINORIA PADRAO. 1.2. No modelo do Jogo da Minoria Padr˜ao, consideramos uma popula¸ca˜o de N agentes competindo durante sucessivas rodadas, onde N ´e um n´ umero ´ımpar. Em cada rodada do jogo, cada agente escolhe uma entre duas a¸co˜es, nomeadas “-1” e “1” (podemos mapear “1” em “0”, assim teremos uma sequˆencia bin´aria de resultados que pode ser convertida em um n´ umero decimal, para simplificar os algoritmos), que tamb´em pode ser interpretada como “vender” e “comprar” ou “spin up” e “spin down”, etc. A escolha feita pela minoria em cada rodada ´e que vence o jogo e todos os agentes vencedores s˜ao recompensados. Mas n˜ao h´a troca de informa¸co˜es entre eles. Al´em disso, cada agente ´e dotado de S estrat´egias que o ajudam a tomar suas decis˜oes durante o jogo. Essas estrat´egias podem ser visualizadas na forma de tabelas onde cada estrat´egia cont´em uma “coluna de hist´oria” e uma “coluna de previs˜ao”. Cada linha da coluna da hist´oria ´e um vetor de M bits, que representa a hist´ oria das a¸co˜es vencedoras, anteriores a M -´esima rodada, que tamb´em ´e conhecida como informa¸c˜ ao. O parˆametro M ´e conhecido como a mem´oria dos agentes. Se a estrat´egia fizer uma previs˜ao correta, ela ser´a recompensada com um ponto. A pontua¸c˜ao de cada estrat´egia ´e acumulada e os agentes tomam as suas decis˜oes de acordo com a estrat´egia que tiver o melhor desempenho naquele momento. A Tabela 1.1 mostra uma hist´oria de “110” correspondente ao caso em que as 3 u ´ltimas a¸c˜oes vencedoras foram “1”,“1” e “0”, com as correspondentes previs˜oes de duas estrat´egias. Lembrando que estamos mapeando “-1” em “0”. Em um tratamento anal´ıtico posterior, usaremos “-1” e “1”, o que facilitar´a a analogia com o modelo de Ising e o formalismo de vidros de spin. Devido ao fato dos agentes terem mais de uma estrat´egia, o jogo ´e adaptativo. Os P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE.

(16) 1.3 Formalismo. 3 Hist´oria. Previs˜ao de S1. Previs˜ao de S2. 000. 1. 0. 001. 0. 0. 010. 1. 1. 100. 1. 0. 011. 0. 1. 101. 0. 1. 110. 1. 0. 111. 0. 0. Tabela 1.1 Um exemplo de 2 estrat´egias com M = 3, destacando a hist´oria “110” e as suas respectivas previs˜oes. agentes podem escolher jogar diferentes estrat´egias em diferentes momentos do jogo em resposta a mudan¸cas no meio. E como o meio ´e a s´erie temporal dos grupos minorit´arios, criada pela a¸ca˜o coletiva dos pr´oprios agentes, e o placar das respectivas estrat´egias dos agentes depende do seu sucesso pr´evio, este sistema apresenta uma forte retroalimenta¸c˜ao (feedback ) coletiva, levando, por exemplo, a efeitos do tipo manada [3]. Este sistema pode ser visto como um modelo simples para diferentes situa¸c˜oes nas ciˆencias biol´ogicas e sociais. Em particular, podemos interpret´a-lo como uma esp´ecie de “protomercado” (do grego, protos = primitivo), regido pela simples dinˆamica da lei de oferta e demanda [4, 5]. O estudo de tal classe de modelos ´e identificada, por muitos autores, como pertencente ao campo da econof´ısica [6]. J´a o mapeamento em sistemas f´ısicos leva a um modelo magn´etico tipo vidros de spin com campos randˆomicos, de grande interesse atual [7].. 1.3. FORMALISMO. As estrat´egias podem ser convenientemente representadas por um vetor de dimens˜ao P , onde. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE.

(17) 1.3 Formalismo. 4. P ≡ 2M .. (.). Podemos rotular os N agentes com i, assim i = 1, ..., N . Em cada passo de tempo t, agentes recebem um padr˜ ao, de P poss´ıveis hist´orias, a informa¸ca˜o p´ ublica µ(t), onde µ(t) ∈ {1, ..., P }, e escolhem a a¸ca˜o ai (t) = −1 ou a a¸ca˜o oposta ai (t) = 1. Com rela¸c˜ao a µ(t), podemos classificar o Jogo da Minoria como end´ogeno ou ex´ogeno. O jogo ser´a end´ogeno quando µ(t) corresponder a hist´oria real das a¸co˜es vencedoras, sendo ex´ ogeno quando µ(t) for uma hist´oria aleat´oria. Apesar da diferen¸ca entre a natureza da origem da informa¸ca˜o, isso n˜ao afeta o resultado global do jogo, permanecendo a mem´oria M como parˆametro relevante [8]. Definimos a demanda A(t) como a soma das a¸co˜es de todos os agentes em cada rodada do jogo. Assim,. A(t) ≡. N X. ai (t).. (.). i=1. Essa quantidade ´e a diferen¸ca entre o n´ umero de agentes que escolhem a¸co˜es distintas. Por sua vez, se denotarmos a predi¸ca˜o da estrat´egia s do agente i sobre a informa¸ca˜o µ(t) µ(t). como sendo ai,s no instante t, cujos valores podem ser “-1” ou “1”, cada estrat´egia pode ser representada por um vetor ~ai,s de dimens˜ao P , com s ∈ {1, ..., S}. Dessa forma, a demanda pode ser expressa como. A(t) ≡. N X. µ(t). ai,si (t) ,. (.). i=1. onde si (t) representa a melhor estrat´egia do agente i no instante t, ou seja, si (t) = arg m´axs Ui,s (t),. (.). onde a express˜ao arg m´axs Ui,s (t) significa o argumento que maximiza Ui,s (t). A fun¸ca˜o Ui,s (t) representa o placar acumulativo de sucessos da estrat´egia s do agente i no instante t. Ela ´e atualizada por. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE.

(18) 1.3 Formalismo. 5. µ(t). Ui,s (t + 1) = Ui,s (t) − ai,s(t). A(t) . N. (.). µ(t). Atentemos para o fato de que cada componente ai,s de todas as estrat´egias ´e selecionada independente e aleatoriamente de {−1, 1} com igual probabilidade para todo i, s e µ no instante t = 0 e ent˜ao mantida fixa. Um fator importante no jogo ´e a coordena¸ca˜o. Com respeito a jogos com coordena¸ca˜o [9, 10, 11], enfatizamos que os agentes n˜ao podem se comunicar. Se a comunica¸ca˜o fosse poss´ıvel, os agentes poderiam influenciar as decis˜oes de outros ou combinar escolhas e tirar proveito dessas situa¸co˜es. Notamos, ainda, que o sinal negativo na Eq. . corresponde a natureza minorit´aria do jogo, ou seja, quando µ(t). ai,s = −signA(t), a estrat´egia ´e recompensada. Caso contr´ario, ela ´e penalizada. Da´ı originou a denomina¸c˜ao de Jogo da Minoria. Os agentes interagem apenas atrav´es da quantidade global A(t) que ´e produzida por eles mesmos. Este tipo de intera¸c˜ao ´e t´ıpica em sistemas de mercado [1] e ´e similar a intera¸c˜oes de longo alcance assumidas na teoria de campo m´edio em f´ısica estat´ıstica [12]. Todo agente ´e considerado ser adaptativo, j´a que pode escolher entre suas S estrat´egias e mudar suas escolhas com o tempo, adaptando-se `as consequˆencias do mercado. Eles tamb´em podem ser considerados indutivos, pois baseam suas decis˜oes de acordo com a melhor escolha que eles conhecem, com seu n´ umero limitado de estrat´egias, mas n˜ao com a melhor escolha global dada por todas as poss´ıveis estrat´egias. Como o n´ umero total de agentes N no jogo ´e um inteiro ´ımpar, o lado minorit´ario pode ser sempre determinado e o n´ umero de vencedores ´e sempre menor que o n´ umero de perdedores, o que implica que o Jogo da Minoria ´e sempre um jogo de soma negativa. Devido `a natureza minorit´atia do jogo e ao fato das duas a¸co˜es serem sim´etricas, a m´edia temporal de A(t) tem sempre o valor nulo (ou hA(t)i = N/2 se as a¸co˜es s˜ao “0” e “1”). Consequentemente, estamos mais interessados nas flutua¸co˜es da demanda em torno dos valores m´edios. Essas flutua¸c˜oes tornam-se um dos mais importantes observ´aveis macrosc´opicos. Denotamos a variˆancia da demanda, tamb´em conhecida como volatilidade, por. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE.

(19) 1.4 Propriedades F´ısicas do Jogo da Minoria. 6. ­ ® σ 2 = A2 − hAi2 ,. (.). onde, na nossa nota¸ca˜o, a express˜ao h· · · i indicar´a, sempre, uma m´edia temporal, dada por: T X 1 hXi = lim X(t), Teq ,T →∞ T − Teq t=T. (.). eq. com Teq correspondendo a um tempo de equil´ıbrio do sistema 1 . A variˆancia σ 2 quantifica a eficiˆencia com a qual os recursos s˜ao distribu´ıdos: quanto menor σ 2 , maior ´e o grupo minorit´ario e vice-versa. Em outras palavras, σ 2 ´e uma medida rec´ıproca da eficiˆencia global do sistema [13]. Como hAi = 0 para o jogo com a¸co˜es“-1” e “1”, podemos escrever ­ ® σ 2 = A2 .. 1.4. (.). PROPRIEDADES F´ISICAS DO JOGO DA MINORIA. H´a v´arios parˆametros introduzidos no Jogo da Minoria, incluindo N , M (ou P ) e S, correspondendo ao tamanho da popula¸c˜ao, `a mem´oria dos agentes (a complexidade ou quantidade total de informa¸c˜ao dispon´ıvel) e o n´ umero de estrat´egias que cada agente µ(t). possui. As previs˜oes ai,s das estrat´egias s˜ao escolhidas aleatoriamente no come¸co do jogo e mantidas fixas. Consequentemente, elas podem ser consideradas como vari´aveis temperadas (quenched disorders) do sistema [14]. Os placares de sucessos das estrat´egias Ui,s (t) s˜ao considerados vari´aveis dinˆamicas ou vari´ aveis recozidas (annealed disorders) do sistema. O jogo tamb´em ´e um modelo altamente frustrado, pelo fato de que nem todos os agentes podem ser satisfeitos simultaneamente. A Figura 1.1 mostra σ como fun¸ca˜o de M para N = 101 e S = 2. Para cada valor de M , 32 rodadas independentes s˜ao efetuadas. A linha horizontal segmentada indica o valor de σ para o regime aleat´orio, i.e., para o jogo no qual cada agente escolhe aleatoriamente 1. O Tempo de equil´ıbrio (Teq) ´e proporcional a P . Para as nossas simula¸c˜oes, T eq = 300P. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE.

(20) 1.4 Propriedades F´ısicas do Jogo da Minoria entre “-1” e “1”. Nesse caso, σ ∼. √. 7. N . Esse valor ´e obtido considerando uma distribui¸ca˜o. binomial para as a¸c˜oes dos agentes, com probabilidades p = 0.5 [15]. Para N = 101:. σ=. p p 4N p(1 − p) = 4 · 101 · 0.5(1 − 0.5) ≈ 10.. Figura 1.1 σ em fun¸c˜ao de M para N = 101 e S = 2, mostrando 32 rodadas independentes para cada valor de M . A linha horizontal segmentada indica o limite aleat´orio. Acima dessa linha o desempenho ´e pior que o caso randˆomico. Abaixo, ´e melhor.. O comportamento do desvio padr˜ao σ ´e deveras interessante. Para valores pequenos de M , o valor m´edio do desvio padr˜ao ´e maior que o limite aleat´orio, implicando em um comportamento coletivo pior do que se os agentes fizessem suas escolhas aleatoriamente. Quando M aumenta, σ diminui e o sistema tem uma eficiˆencia melhor que o regime aleat´orio. Quando M cresce al´em do valor que minimiza σ, o desvio padr˜ao cresce, aproximando-se do limite aleat´orio. Percebemos tamb´em comportamentos diferentes para a dispers˜ao de σ, que iremos definir como ∆σ. Para M < 6, os ∆σ’s s˜ao grandes para diferentes rodadas com diferentes (aleat´orias e independentes) distribui¸co˜es iniciais de P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE.

(21) 1.4 Propriedades F´ısicas do Jogo da Minoria. 8. estrat´egias para os agentes, mas com o mesmo valor de M . Para M ≥ 6, os ∆σ’s s˜ao bem pequenos comparados com os ∆σ’s para M < 6. Uma pergunta que deve ser feita ´e: qual a dependˆencia do sistema com N ? Se plotarmos o gr´afico da volatilidade em fun¸c˜ao de M , para v´arios valores fixos de N , obteremos sempre gr´aficos similares ao da Fig. 1.1, no qual a posi¸ca˜o do m´ınimo ´e proporcional a ln N . Al´em disso, σ e ∆σ s˜ao proporcionais a N para M abaixo do valor que minimiza σ. Para M acima desses valores, σ e ∆σ s˜ao proporcionais a N 1/2 . O sistema claramente apresenta comportamentos qualitativamente diferentes para valores pequenos e grandes de M . A transi¸ca˜o entre esse dois comportamentos ocorre em M ∼ ln N . Usando argumentos de aproxima¸ca˜o de campo m´edio, a primeira aproxima¸ca˜o para σ 2 /N ´e uma fun¸ca˜o apenas de P/N ≡ α, como mostrado por Savit et al. [13](no artigo original encontramos z ao inv´es de α). Para observarmos isso explicitamente, vemos na Fig. 1.2 que σ 2 /N como fun¸c˜ao de α, para v´arios valores de N , recai sobre ´ poss´ıvel uma mesma curva universal, onde o valor m´ınimo separa duas fases diferentes. E tamb´em mostrar que, fixado α, ∆σ ´e aproximadamente independente de N. No limite de N → ∞, ∆σ ´e grande para pequenos valores de α e decresce monotonicamente com o aumento de α. Esses resultados nos ajudam a identificar duas fases no jogo da minoria, separadas por um m´ınimo da volatilidade. O valor de α onde a volatilidade reescalada ´e m´ınima ´e denotado por αc , que representa o ponto cr´ıtico. Para S = 2, temos αc ≈ 0.3374, valor esse, tamb´em calculado por m´etodos anal´ıticos [16, 17]. Al´em da diferente escala da volatilidade com N , outras quantidades tamb´em mostram diferentes comportamentos nas duas fases. Abaixo de αc , n˜ao h´a extra¸c˜ao de informa¸ca˜o da hist´oria do jogo (vetor de comprimento M ), sendo as duas a¸co˜es igualmente prov´aveis, ambas com probabilidade 0.5, de vencer para qualquer poss´ıvel hist´oria. Contudo, quando α > αc , n˜ao h´a uma igual probabilidade de vit´oria das duas a¸co˜es, apenas por se olhar as M a¸c˜oes vitoriosas passadas do jogo. Com isso, podemos chamar a fase para α < P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE.

(22) 1.4 Propriedades F´ısicas do Jogo da Minoria. 9. N=51. Fase Simétrica. s. ica. N=101. Fase A simétr. N=201 N=50. 10. 1. /N. 1. Pior que o caso randômico. Melhor que o caso randômico. 0,1. 01. 0,. 0,1. 1. 10. 100. Figura 1.2 σ 2 /N em fun¸c˜ao de α para v´arios valores de N , com S = 2. A linha vertical pontilhada divide as duas fases do sistema. αc de fase imprevis´ıvel ou fase sim´etrica, onde os agentes n˜ao podem prever as a¸c˜oes vencedoras a partir das M a¸co˜es vitoriosas passadas ( as probabilidades de ganhar o jogo s˜ao sim´etricas). Por outro lado, a fase onde α > αc ´e chamada de previs´ıvel ou assim´etrica, na qual as a¸co˜es vencedoras s˜ao influenciadas pela hist´oria do jogo (as probabilidades de ganhar o jogo s˜ao assim´etricas). Na Fig. 1.2, a linha pontilhada vertical divide as duas fases do sistema. Faz-se importante destacar que essas informa¸co˜es a respeito da simetria das probabilidades n˜ao ´e acess´ıvel aos agentes que participam do jogo. Uma quantidade muito u ´til pode ser definida para medir a “n˜ao uniformidade” das probabilidades de vit´oria ou o conte´ udo de informa¸c˜ao dado pelo vetor de M bits da hist´oria do jogo. Denotamos por H a previsibilidade do jogo, dada por P 1 X hA|µi2 , H= P µ=1. onde h· · · |µi ´e uma m´edia temporal condicionada `a ocorrˆencia do padr˜ao µ:. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE. (.).

(23) 1.4 Propriedades F´ısicas do Jogo da Minoria. 10. Figura 1.3 Histograma das probabilidades P (1|µ) da a¸c˜ ao vencedora ser “1” dada uma informa¸c˜ao µ (plotado como representa¸c˜ao decimal do vetor bin´ario de informa¸c˜ ao), para N = 101 e S = 2 em (a) fase sim´etrica com M = 5, isto ´e, α ≈ 0.316 < αc e (b) fase assim´etrica com M = 6, isto ´e, α ≈ 0.634 > αc .. T 1 X hX|µi = lim X(t)δµ(t),µ , Teq ,T →∞ Tµ t=T. (.). eq. com. Tµ =. T X. δµ(t),µ .. t=Teq. ´ interessante notar que H atua como um parˆametro de ordem do sistema e a simetria E quebrada na transi¸ca˜o de fase do modelo ´e aquela representada na Fig. 1.3. Aproxima¸co˜es anal´ıticas [16, 18, 19, 20] foram desenvolvidas para esse sistema baseadas na minimiza¸ca˜o de H, que ´e uma fun¸c˜ao decrescente com o n´ umero N de agentes (fixando-se P ): novos agentes exploram a previsibilidade de A(t) e consequentemente a reduzem. A Figura 1.4 mostra H/N como fun¸c˜ao de α. Na fase sim´etrica, hA|µi = 0 para todo µ, mostrando que as a¸c˜oes “-1” e “1” s˜ao equiprov´aveis de aparecer depois de µ. Assim, H = 0 na fase sim´etrica. J´a na fase assim´etrica, hA|µi 6= 0 para todo µ e as a¸co˜es “-1” e “1” n˜ao s˜ao equiprov´aveis. Com isso, H > 0 na fase assim´etrica. Notamos tamb´em que H come¸ca a crescer em α = αc como mostrado na Figura 1.4. Em termos de mercado, podemos dizer que, quando h´a menos agentes que um n´ umero P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE.

(24) 1.5 Os casos para S > 2. 11. 0,6. ica. Fase Simétr. Fase Assimétrica. 0,5. 0,4. H/N. 0,3. N=51. 0,2. N=101 N=201 N=501. 0,1. 0. 0,. 01. 0,. 0,1. 1. 10. 100. Figura 1.4 H/N em fun¸c˜ao de α para v´arios valores de N , com S = 2. A linha vertical segmentada divide as duas fases do sistema. cr´ıtico, o pre¸co (definido pela simples lei de oferta e demanda) ´e previs´ıvel para um agente externo (mas n˜ao para os agentes que est˜ao jogando). Mas, quando o n´ umero de agentes ´e maior que o n´ umero cr´ıtico, para um dado P , o mercado ´e imprevis´ıvel. Isso sugere que, quando h´a poucos participantes, o mercado atrair´a mais agentes, aproximando o sistema do ponto cr´ıtico onde o mercado tornar-se-´a imprevis´ıvel e, consequentemente, n˜ao atrativo. Por esse motivo o jogo da minoria ´e dito auto-organizado em um ponto cr´ıtico [14].. 1.5. OS CASOS PARA S > 2. O comportamento do Jogo da Minoria tamb´em depende de S, o n´ umero de estrat´egias que cada agente disp˜oe. Conforme mostrado na Fig. 1.5, onde a volatilidade ´e plotada em fun¸c˜ao de α, a volatilidade do sistema ´e dependente de S. O data collapse da volatilidade com diferentes valores de N e M tamb´em ´e mostrado, para cada valor de S. Enquanto o aspecto gen´erico das curvas preserva-se quando S aumenta, os pontos de m´ınimo da. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE.

(25) 1.5 Os casos para S > 2. 100. 12. S=4 S=3. N=51. S=2. N=50. N=101 N=201. 1. 10 2. /N. 1. 0,1. 1E-3. 01. 0,. 0,1. 1. 10. 100. Figura 1.5 σ 2 /N em fun¸c˜ao de α para S = 2, 3 e 4 estrat´egias para cada agente. A volatilidade geralmente cresce com o n´ umero de estrat´egias S por agente. O data collapse ´e mostrado para os diferentes valores de S.. volatilidade deslocam-se para direita, o que sugere que o ponto cr´ıtico da transi¸c˜ao de fase ´e uma fun¸c˜ao de S. Esse fato tamb´em ´e sugerido nos trabalhos de Challet et al. [22]. Solu¸co˜es num´ericas usando o m´etodo das r´eplicas para diferentes valores de S [21] mostram a rela¸c˜ao. αc (S) ≈ αc (S = 2) +. S−2 , 2. que apresenta grande precis˜ao.. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE. (.).

(26) CAP´ITULO 2. ABORDAGEM ANAL´ITICA. Sempre que um modelo puder ser resolvido analiticamente, isso ´e um fato extraordin´ario na pesquisa cient´ıfica. Se considerarmos que essa solu¸c˜ao possa ser encontrada para um modelo como o Jogo da Minoria, que foi proposto inicialmente apenas com algoritmos bin´arios, sem a defini¸c˜ao de uma u ´nica equa¸ca˜o, esse fato torna-se mais extraordin´ario ainda. No entanto, para tal fim, faz-se necess´ario um largo espectro de ferramentas da f´ısica estat´ıstica, que v˜ao da dinˆamica estoc´astica de n˜ao-equil´ıbrio at´e o m´etodo das r´eplicas, passando pela teoria de matrizes aleat´orias. A escassez de trabalhos na literatura que tratem desse tema com um n´ıvel de detalhes satisfat´orio foi a motiva¸ca˜o maior para a existˆencia deste cap´ıtulo. Al´em disso, a carˆencia de textos em portuguˆes que versem sobre o assunto integra essa motiva¸c˜ao.. 2.1. ´ DA TEMPERATURA A IDEIA. Em 1999, Cavagna et al. [8], introduziram o aspecto probabil´ıstico, a temperatura, para o processo de tomada de decis˜oes dos agentes no modelo conhecido como Jogo da Minoria T´ermico. Ao inv´es de escolherem a sua melhor estrat´egia sempre, os agentes escolhem sua estrat´egia s com probabilidade πi,s dada por eΓUi,s (t) P rob{si (t) = s} = πi,s = P ΓUi,s (t) , s0 e. (.). onde si (t) denota a estrat´egia que esta sendo empregada pelo agente i no instante t. Γ ´e proporcional a uma temperatura inversa do sistema, que pode ser interpretado como um coeficiente de aprendizado do sistema [23]. Estritamente falando, isto se deve ao fato da 13.

(27) 2.2 Mecˆanica Estat´ıstica do Jogo da Minoria. 14. dinˆamica da pontua¸c˜ao precisar de um tempo de aproximadamente 1/Γ para compreender a diferen¸ca dos placares das estrat´egias. Para Γ pequeno, o sistema tem um tempo de convergˆencia da ordem de N/Γ para atingir o estado estacion´ario [8, 16], que tamb´em revela o significado f´ısico de Γ como um coeficiente de aprendizado. Na fase assim´etrica, o estado final do sistema e a volatilidade s˜ao independentes de Γ [19]. Na fase sim´etrica, o estado final do sistema ´e dependente de Γ e a volatilidade do sistema aumenta com o aumento de Γ, indicando que o sistema atingiu o estado estacion´ario [8]. Essa propriedade do jogo contrasta com sistemas f´ısicos ordin´arios, onde as flutua¸co˜es aumentam com o aumento da temperatura (diminui¸c˜ao de Γ). Al´em da dependˆencia com Γ na fase sim´etrica, o estado final do sistema depende das condi¸c˜oes iniciais. Para jogos com o mesmo conjunto de estrat´egias entre os agentes (idˆentico a vari´aveis temperadas), o estado final do sistema ´e dependente da diferen¸ca entre os placares (condi¸co˜es iniciais heterogˆeneas das vari´aveis recozidas) das estrat´egias [19, 24]. Para o caso de S = 2, a volatilidade do sistema diminui com o aumento da diferen¸ca inicial entre os placares das duas estrat´egias, para um mesmo Γ [16]. Um sistema com o estado final dependente do estado inicial da vari´avel recozida corresponde a fase vidro de spin, ou o fenˆomeno de quebra de simetria de r´eplica (RSB, do inglˆes: Replica Symmetry Breaking) em sistemas f´ısicos. Assim, a fase sim´etrica tamb´em corresponde ao comportamento de quebra de simetria de r´eplica. Por outro lado, na fase assim´etrica, o estado final do sistema e, consequentemente, os valores da volatilidade s˜ao independentes das condi¸c˜oes iniciais. Assim, a fase asim´etrica corresponde a fase de simetria de r´eplica (RS, do inglˆes: Replica Symmetry) em sistemas f´ısicos.. 2.2. ˆ MECANICA ESTAT´ISTICA DO JOGO DA MINORIA. H´a muitas aproxima¸c˜oes anal´ıticas para abordar o Jogo da Minoria. Muitas dessas aproxima¸c˜oes s˜ao baseadas no modelo do Jogo da Minoria Padr˜ao com pequenas modifica¸c˜oes ´ encontrado que na fase sim´etrica, com α > αc , ambas as aproou simplifica¸co˜es. E xima¸c˜oes, no equil´ıbrio e dinˆamica, descrevem o mesmo comportamento do sistema, e a aproxima¸c˜ao no equil´ıbrio baseada na minimiza¸ca˜o de H fornece uma solu¸ca˜o anal´ıtica P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE.

(28) 2.2 Mecˆanica Estat´ıstica do Jogo da Minoria. 15. nesta fase [16, 19, 20, 21, 25]. Para a fase assim´etrica, com α < αc , flutua¸co˜es na dinˆamica devem ser consideradas e a solu¸ca˜o ´e dependente das condi¸co˜es iniciais. O estado final do sistema ´e sens´ıvel `as condi¸c˜oes iniciais e `as perturba¸c˜oes na dinˆamica [19, 25, 26]. Neste caso, a solu¸c˜ao ´e avaliada no limite de Γ → 0 e comportamentos assint´oticos podem ser obtidos no limite de α → 0. Para o caso de S = 2, denotamos a primeira estat´egia de um agente como sendo “+1” e a segunda, “-1”. Lembrando que a melhor estrat´egia do agente i no instante t e dada por si (t) = ±1. Cada agente i = 1, ..., N pode escolher uma entre duas estrat´egias s ∈ {±1}, o que descreve a a¸c˜ao aµsi ,i para cada estado µ. Vamos supor que µ = 1, ..., P segue uma distribui¸c˜ao uniforme %µ = 1/P [18]. As a¸co˜es aµs,i obedecem a uma distribui¸ca˜o bimodal ρ(aµs,i = ±1) = 1/2, ∀i, s, µ. Na tentativa de resolver o Jogo da Minoria analiticamente, empregamos uma mudan¸ca de nota¸ca˜o conveniente, o que torna as ferramentas da f´ısica estat´ıstica melhor aplic´aveis [16, 19, 20]. Para isso, introduzimos as vari´aveis auxiliares wiµ. aµ+,i + aµ−,i = 2. ξiµ. e. aµ+,i − aµ−,i = , 2. (.). onde aµ±,i = aµs=±1,i . Assim, podemos reescrever as a¸c˜oes aµs,i como aµs,i = wiµ + sξiµ ,. (.). o que nos fornece a dependˆencia de aµs,i explicitamente com s. De posse dessas novas vari´aveis, podemos reescrever a demanda A(t):. A=. X. aµsi ,i =. X. i. wiµ + si ξiµ .. (.). i. Definindo Ωµ =. X. wiµ ,. i. temos, por fim, A = Ωµ +. X. si ξiµ .. i. Para m´edias em µ, faremos uso da nota¸c˜ao: P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE. (.).

(29) 2.2 Mecˆanica Estat´ıstica do Jogo da Minoria. θ=. 16. X. %µ θ µ .. µ. Por sua vez, tamb´em podemos escrever a volatilidade como [16] σ 2 = hA2 i.. (.). De posse disso, escrevemos: *Ã σ2 =. Ωµ +. X. !2 + si ξiµ. (.). i P 1 X = P µ=1 P 1 X = P µ=1. =. Ω2. *Ã Ωµ +. N X. (Ωµ )2 + 2Ωµ. N X. si ξiµ +. i=1. +. ξi2. ­. si. 2. si ξiµ. i=1. *Ã. N ³ X. !2 +. ®. N X N X. !+ ξiµ ξjµ si sj. i=1 j=1. N ´ X + 2Ωξi hsi i + ξi ξj hsi sj i. i=1. i6=j=1. Fazendo uso da independˆencia estat´ıstica de si [16]: hsi sj i = hsi i hsj i + (1 − hsi i2 )δi,j. (.). mi ≡ hsi i ,. (.). e definindo. ficamos com 2. σ =. Ω2. N ³ N ´ X X 2 + ξi + 2Ωξi mi + ξi ξj mi mj . i=1. (.). i6=j=1. Podemos usar a Eq. . na forma:. mi ≡ hsi i =. X. πs,i s.. s. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE. (.).

(30) 2.2 Mecˆanica Estat´ıstica do Jogo da Minoria. 17. Usando a Eq. ., · ¸ eΓU+,i (t) − eΓU−,i (t) Γ mi = ΓU+,i (t) = tanh (U+,i (t) − U−,i (t)) 2 e + eΓU−,i (t). (.). Vamos denotar a diferen¸ca entre os placares das duas estrat´egias como sendo. Yi (t) ≡. Γ (U+,i (t) − U−,i (t)) . 2. (.). Assim, podemos reescrever a Eq. . como. mi ≡ htanh(Yi (t)i. (.). Este Yi (t) determina a probabilidade relativa de usar as estrat´egias com a temperatura inversa Γ e ´e atualizado por: · µ ¶¸ Γ µ A(t) µ A(t) Yi (t + 1) = U+,i (t) − a+,i − U−,i (t) − a−,i 2 N N µ ¶ Γ A(t) A(t) = Yi (t) − aµ+,i − aµ−,i 2 N N µ µ ¶ a+,i − aµ−,i Γ = Yi (t) − A(t) , N 2 ent˜ao,. Yi (t + 1) = Yi (t) −. Γ µ(t) A(t)ξi . N. (.). O sistema ser´a estacion´ario quando hYi (t)i ∼ vi t, correspondendo a uma solu¸ca˜o do estado estacion´ario do conjunto de mi . Para tempos longos, podemos supor [19] ¿ vi (t) ∼ =− * =− lembrando que A(t) = Ωµ +. P j. À Γ µ(t) ξ A(t) N i. !+ à X Γ µ(t) Ωµ + ξj sj , ξ N i j. ξj sj . Ent˜ao,. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE. (.). (.).

(31) 2.2 Mecˆanica Estat´ıstica do Jogo da Minoria. vi = −Ωξi −. 18. N X. ξi ξj mj .. (.). j=1. Para vi 6= 0, hYi (t)i → ∞ e temos mi = ±1, correspondendo aos agentes congelados, que sempre usam a mesma estrat´egia. J´a para vi = 0, hYi (t)i permanece finito, mesmo depois de um longo tempo, e | mi |< 1, correspondendo aos agentes inconstantes que sempre trocam suas estrat´egias ativas, mesmo no estado estacion´ario do jogo. P 2 Podemos identificar Ωξi − N e a autoj6=i ξi ξj mj como sendo um campo externo, cujo ξi ´ intera¸c˜ao do agente i. Para um agente ser congelado, a magnitude do campo externo tem de ser maior que a da auto-intera¸c˜ao. Neste sentido, para termos agentes inconstantes no estado estacion´ario, o termo de auto-intera¸c˜ao ´e crucial. A fra¸c˜ao φ de agentes congelados em fun¸ca˜o de α ´e mostrada na Fig. 2.1.. Figura 2.1 Fra¸c˜ao φ de agentes congelados em fun¸ca˜o de α para M = 6 (c´ırculos), 7 (quadrados), 8 (diamantes). O ponto cr´ıtico ´e localizado na interse¸c˜ ao das trˆes curvas [14].. Notemos que a Eq. . para vi e as condi¸co˜es correspondentes de congelamento e inconstˆancia s˜ao equivalentes `a minimiza¸ca˜o da previsibilidade H, com H dada por:. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE.

(32) 2.2 Mecˆanica Estat´ıstica do Jogo da Minoria. 19. P P 1 X 1 X 2 H= hA|µi = hAi2 = P µ=1 P µ=1. * Ω+. X. +2 ξj mj. j. Visto que os m0i s s˜ao limitados ao intervalo [−1; 1], cada H atinge seu m´ınimo em P dH/dmi = 0, dando Ωξi + j ξi ξj mj = 0 (agentes inconstantes) ou na fronteira do intervalo [−1; 1] de mi , dando mi = ±1 (agentes congelados). Assim, podemos identificar H como o Hamiltoniano do sistema, onde o estado estacion´ario do sistema ´e o estado fundamental que minimiza o Hamiltoniano H. Podemos escrever H como: * H = hAi2 =. Ω+. X. +2 ξj sj. j. * =. Ω+. X. +* ξi si. Ω+. i. =. Ω2. +. X³. ξi2. X. + ξj sj. j. ´ + 2Ωξi mi + hsi sj i ξi ξj .. i. Usando a Eq. .,. H = Ω2 +. X³. ´. ξi2 + 2Ωξi mi +. " XX. i. i. # ξi ξj mi mj − (1 − m2i )δi,j ξi ξj ,. j. o que fornece. H=. Ω2. ´ X X³ X 2 + ξi + 2Ωξi mi + ξi ξj mi mj − ξi2 (1 − m2i ). i. i6=j. (.). i. Comparando com a Eq.., temos H = σ2 −. X. ξi2 (1 − m2i ).. (.). i. Como fun¸ca˜o de mi , H tem uma forma quadr´atica positiva, que tem um m´ınimo. Isso implica que o estado estacion´ario do Jogo da Minoria ´e descrito pelas propriedades do estado fundamental de H, como havia sido mencionado anteriormente. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE.

(33) 2.3 M´etodo das R´eplicas. 20. ´ ´ METODO DAS REPLICAS. 2.3 2.3.1. A Energia Livre. Sendo H o Hamiltoniano do sistema, podemos escrever a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao: Z(β) = T r{mi } exp(−βH),. (.). onde β ´e a temperatura inversa. E como Γ ∼ β, estamos usando β ao inv´es de Γ para que as express˜oes sejam familiares `a nota¸c˜ao comumente utilizada em Mecˆanica Estat´ıstica. A energia livre ´e dada por 1 F = − ln Z. β. (.). Estamos interessados nas propriedades gen´ericas do Jogo da Minoria no limite de N → ∞. Neste limite, todas as realiza¸co˜es do jogo s˜ao caracterizadas pelo mesmo comportamento estat´ıstico, isto ´e, o mesmo valor para todas as quantidades relevantes. Para o estudo dessas propriedades, tomamos a m´edia de F sobre as vari´aveis de desordem. O comportamento desse sistema no limite termodinˆamico (N → ∞) pode ser analisado com as t´ecnicas de vidros de spin [27, 28, 29, 30]: 1 1 1 1 1 1 hF i = − lim hln Zia = − lim lim hln Z n ia . N →∞ N β N →∞ N β N →∞ N n→0 n lim. (.). Nesta equa¸ca˜o, Z n significa que o dado sistema ´e replicado n vezes. Isto introduz um conjunto de vari´aveis mi para cada r´eplica a, denotado por {mai }, onde a = 1, ..., n ´e o ´ındice da r´eplica. A m´edia de ln Z realizada sobre os a0 s, denotada por h. . .i, ´e transformada na m´edia dos momentos de Z, reduzindo a complexidade dos c´alculos. Usando a Eq. .,. H=. Ω2. +. N ³ X. ξi2. ´ + 2Ωξi mi +. i=1. =. Ω2. +. N X. ξi ξj mi mj −. i6=j=1 N X ¡ i=1. ¢. 2Ωξi mi +. N X i6=j=1. ξi ξj mi mj +. N X. ξi2 (1 − m2i ). i=1 N X. ξi2 (m2i ),. i=1. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE.

(34) 2.3 M´etodo das R´eplicas. 21. o que fornece. H=. Ω2. +. N X N X i. ξi ξj mi mj +. j. N X. 2Ωξi mi .. (.). i. Lembrando que P 1 X µ µ ξi ξj = ξ ξ P µ=1 i j. e. P 1 X µ Ω= Ω , P µ=1. temos: P N P N P N 1 XXX µ µ 1 XX µ µ 1 X µ 2 H= (Ω ) . ξ ξ mi mj + 2Ω ξi mi + P µ=1 i j i j P µ=1 i P µ=1. 1 P. (.). Estamos interessados nos termos de desordem. Por isso vamos desprezar o termo PP µ 2 µ=1 (Ω ) [21]: P N N P N 1 XXX µ µ 1 XX µ µ H= ξ ξ mi mj + 2Ω ξi mi . P µ=1 i=1 j=1 i j P µ=1 i=1. (.). Replicando esse Hamiltoniano, podemos escrever: (Ã Z n = T r{ma } exp i. N N n N n P P 1 XXX µ µ a 1 XXXX µ µ a a ξ ξ m m +β 2Ω ξi mi β P µ=1 i=1 j=1 a=1 i j i j P µ=1 i=1 a=1. !) . (.). Notemos que. P. µ a i ξi mi. depende de µ e a, mas n˜ao depende do agente i, j´a que a soma. ´e realizada sobre todos os N agentes. Assim,   Ã N !2 P n P N n  1 XX X µ a 1 X X X µ µ a  Z n = T r{ma } exp β ξi mi +β 2Ω ξi mi . i   P P µ=1 a=1. i=1. µ=1 i=1 a=1. Podemos fazer a mudan¸ca de vari´avel: N X. ξiµ mai ≡ xµa .. i=1. Ent˜ao, ficamos com: P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE. (.).

(35) 2.3 M´etodo das R´eplicas. 22. (Ã Z n = T r{ma } exp i. P P n N n 1 XX µ 2 1 XXX µ µ a β (x ) + β 2Ω ξi mi P µ=1 a=1 a P µ=1 i=1 a=1. !) .. (.). Usando a propriedade Z. ¡ ¢ exp κ2 =. ∞ −∞. µ 2 ¶ √ x dx √ exp − + 2κx , 2 2π. (.). temos Z. P Y n Y dxµ √ a exp Z = T r{ma } i 2π −∞ µ=1 a=1 n. ∞. (Ã. (Ã × exp. P. n. 1 XX µ 2 − (x ) + 2 µ=1 a=1 a. N n 2β X X µ µ a Ω ξi mi P i=1 a=1. r. P n N 2β X X µ X µ a x ξ m P µ=1 a=1 a i=1 i i. !). !) .. (.). Como o tra¸co ´e realizado sobre {mai }, podemos fazer: (Ãr ) !) ( P X n P X n N P Y n µ X X X Y 2β dx 1 2 µ √ a exp − (xµa ) T r{ma } exp xµa ξi mai Zn = i 2 P 2π −∞ µ=1 a=1 µ=1 a=1 µ=1 a=1 i=1 Z. ∞. (Ã × exp. N n 2β X X µ µ a Ω ξi mi P i=1 a=1. !) .. (.). Para eliminarmos a desordem, podemos realizar a m´edia sobre {ξiµ }: ( ) P Y N P n Y dxµa 1 XX µ 2 √ exp − hZ i{ξµ } = (x ) i 2 µ=1 a=1 a 2π −∞ µ=1 i=1 Z. n. *. (r. × T r{ma } exp i. ∞. P n N n N 2β X X µ X µ a 2β X X µ µ a xa ξi mi + Ω ξi mi P µ=1 a=1 P i=1 a=1 i=1. )+ (.) {ξiµ }. Transformando a exponencial de somat´orios em produtos de exponenciais e tomando a m´edia dos termos sobre {ξiµ }: ) ( P X n P Y N µ X Y 1 dx √ a exp − (xµa )2 hZ n i = 2 µ=1 a=1 2π −∞ µ=1 i=1 Z. ∞. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE.

(36) 2.3 M´etodo das R´eplicas. ×T r{ma } i. 23. *. P Y N Y. (r exp. µ=1 i=1. n N n 2β X µ µ a 2β X X µ µ a xa ξi mi + Ω ξi mi P a=1 P i=1 a=1. )+ .. (.). { } ξiµ. Usando a distribui¸c˜ao de probabilidade ρ(aµs,i ) para {ξiµ }: *. (r exp ". = cosh. n N n 2β X µ µ a 2β X X µ µ a xa ξi mi + Ω ξi mi P a=1 P i=1 a=1. Ã n r X 2β P. a=1. xµa ξiµ mai +. )+. N n 2β X X µ µ a Ω ξi mi P i=1 a=1. = { } !#2 ξiµ. .. (.). Podemos escrever: © ª [cosh (ϕ)]2 = exp ln [cosh (ϕ)]2 .. (.). Ent˜ao, ( ) P Y N P n Y dxµa 1 XX µ 2 √ exp − hZ i = (x ) 2 µ=1 a=1 a 2π −∞ µ=1 i=1 Z. n. ×T r{ma } i. P Y N Y. (. ∞. ". exp 2 ln cosh. Ã n r X 2β. µ=1 i=1. a=1. P. xµa ξiµ mai. N n 2β X X µ µ a + Ω ξi mi P i=1 a=1. !# ) .. (.). Como o tra¸co ´e realizado sobre {mai }, podemos coloc´a-lo fora da integral: ) ( P X n N P Y µ X Y dx 1 √ a exp − (xµa )2 hZ n i = T r{ma } i 2 2π −∞ µ=1 i=1 µ=1 a=1 Z. ( × exp. P X N X µ=1 i=1. " 2 ln cosh. Ã. ∞. n X a=1. r. N n 2β µ µ a 2β X X µ µ a x ξ m + Ω ξi mi P a i i P i=1 a=1. !#) .. (.). Fazendo uma nova mudan¸ca de vari´aveis: r xµa ≡. P µ X , N a. escrevemos P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE. (.).

(37) 2.3 M´etodo das R´eplicas. 24 Z. P Y N Y dXaµ n √ hZ i = T r{ma } i 2π −∞ µ=1 i=1. ( × exp. P X N X. ". ∞. Ã. 2 ln cosh. µ=1 i=1. n X. r. a=1. r. ( ) P n P 1 P XX µ 2 exp − (X ) N 2 N µ=1 a=1 a. N n 2β N µ µ a 2β X X µ µ a √ Xa ξi mi + Ω ξi mi P P P i=1 a=1. !#) .. (.). No limite termodinˆamico, N → ∞, P → ∞, mas N/P ´e finito. Lembrando que α = N/P : ) ( P Y N P X n µ Y X dX 1 √ a exp − hZ n i ≈ T r{ma } (Xaµ )2 i 2α 2πα −∞ µ=1 i=1 µ=1 a=1 Z. ( × exp. ∞. P X N X µ=1 i=1. ". à n r !#) X 2β 1 2 ln cosh Xaµ ξiµ mai . N α a=1. (.). Notemos que o u ´ltimo termo do argumento do cosseno hiperb´olico foi desprezado, em virtude do limite termodinˆamico. Usando a expans˜ao: 1 ln [cosh(θ)] ' θ2 , 2. para θ ¿ 1,. (.). ficamos com Z. P Y N Y dX µ √ a hZ i = T r{ma } i 2πα −∞ µ=1 i=1 n. ∞. (. n N n n P P 1 XX µ 2 2β X X X X µ µ a b X X m m × exp − (X ) + 2 2α µ=1 a=1 a α N µ=1 i=1 a=1 b=1 a b i i. ) .. (.). Vamos fazer mais uma mudan¸ca de vari´aveis: N 1 X a b m m ≡ qab . N i=1 i i. (.). Dessa forma, podemos escrever: ! n à ! à P Y N N N n Y n µ Y Y Y X X 1 dX 1 √ a δ qaa − hZ n i = T r{ma } mai mbi (mai )2 δ qab − i N i=1 N i=1 2πα a=1 b=1 −∞ µ=1 i=1 a=1 Z. ∞. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE.

(38) 2.3 M´etodo das R´eplicas. 25. (. P P n n n 1 X X µ 2 2β X X X µ µ × exp − (X ) + 2 X X qab 2α µ=1 a=1 a α µ=1 a=1 b=1 a b. ) .. (.). Podemos usar a representa¸ca˜o integral da fun¸ca˜o delta: 1 δ (y) = 2π. Z. +∞. dζ exp (iyζ),. (.). −∞. e dividir hZ n i em duas integrais hz1n i e hz2n i, dadas por: ( ) P Y N P X n P X n X n µ Y X X dX 1 2β √ a exp − hz1n i ≡ T r{ma } (Xaµ )2 + 2 Xaµ Xbµ qab i 2α α 2πα −∞ µ=1 i=1 µ=1 a=1 µ=1 a=1 b=1 (.) Z. hz2n i. ∞. ≡ T r{ma } i. ×. n Z Y a=1. Na integral. hz1n i,. n Y n Z Y a=1 b=1. ∞ −∞. ∞ −∞. ( " #) N drab 1 X a b exp i qab rab − m m rab 2π N i=1 i i. ( " #) N dRaa 1 X a 2 exp i qaa Raa − (mi ) Raa . 2π N i=1. o expoente ´e da forma: P. n. n. 1 XXX µ X Λab Xaµ . − 2 µ=1 a=1 b=1 a 2.3.2. (.). (.). Solu¸c˜ ao com Simetria de R´ eplicas. Considerando a solu¸c˜ao com simetria de r´eplicas [28, 29, 30, 31], qab = q,. (.). qaa = Q, temos: µ Λab =. 1 2βQ − 2 α α. ¶ δa,b −. 2βq (1 − δa,b ) . α2. E com mais uma mudan¸ca de vari´aveis:. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE. (.).

(39) 2.3 M´etodo das R´eplicas. 26. ˜ ≡ − 2βQ Q α2. e. q˜ ≡. 2βq , α2. (.). temos: ³ ´ ˜ δa,b − q˜ (1 − δa,b ) . Λab = 1 − Q. (.). A matriz Λab tem (n − 1) autovalores degenerados. Temos, ent˜ao, que os seus autovalores s˜ao: ˜ − (n − 1)˜ λ1 = (1 − Q) q,. (.). ˜ + q˜. 1−Q. λ2 = Usando a propriedade:. ( ) Z Y 1 dXl 1 XX √ exp − Xl Wll0 Xl0 = (det W )− 2 , 2 l l0 2π l. (.). temos:. − 12. hz1n i = (det Λnn ). !)− 12 à n à n !− 12 ( X Y ln λl λl = exp , =. (.). l=1. l=1. ent˜ao, ( hz1n i =. Ã. n. 1X ln λl exp − 2 l=1. !) .. (.). Usando os resultados da Eq. .: hz1n i. n h i h io ˜ ˜ = (n − 1) ln (1 − Q) + q˜ + ln (1 − Q) − (n − 1)˜ q .. (.). Vamos, agora, usar a continuidade alg´ebrica pressuposta no m´etodo das r´eplicas [31]: ¸ ½ h h i h ii¾ 1 1 n ˜ + q˜ + ln (1 − Q) ˜ − (n − 1)˜ lim ln hz1 i = lim (n − 1) ln (1 − Q) q . n→0 n→0 n n (.) ·. Mas, P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE.

(40) 2.3 M´etodo das R´eplicas. 27. h i h i ˜ − (n − 1)˜ ˜ + q˜) − n˜ ln (1 − Q) q = ln (1 − Q q nh ih io ˜ + q˜ 1 − −n˜q = ln 1 − Q ˜ h i h 1−Q+˜q i ˜ + q˜ + ln 1 − −n˜q . = ln 1 − Q ˜ q 1−Q+˜ Como ln(1 + nx) ≈ nx, quando n ¿ 1, ficamos com: limn→0. n h i h io ¤ n˜ q 1 n ˜ ln hz i = lim n ln 1 − Q + q ˜ + − . n→0 n 1 ˜ q n 1−Q+˜ i h i h ˜ + q˜ + − q˜ = ln 1 − Q ˜ q 1−Q+˜. £1. ˜ e q˜ em termos de Q e q, temos: Reescrevendo Q ·. ¸ ½ · ¸ ¾ 1 α + β(Q − q) α β(1 + q) n lim ln hz1 i = ln + . n→0 n 2β α α + β(Q − q). (.). Agora, se voltarmos `a integral hz2n i, na Eq. ., a parte real do expoente ´e da forma: N N 1 X a b 1 X a 2 (mi ) Raa + m m rab . N i=1 N i=1 i i. (.). Vamos assumir a condi¸c˜ao de simetria das r´eplicas: rab. =. r,. Raa = R.. (.). Devemos usar uma nota¸ca˜o mais conveniente: →. 2N r αβ. R →. 2N R αβ. r. (.). Ficamos, ent˜ao, com o expoente: n n n αβ X a 2 αβ X X a b (m ) R + m m r. 2 a=1 2 a6=b b=1. (.). Usando a Eq. . e a Eq. ., o expoente de hz2n i ´e igual a : n n n αβ αβ X αβ X X αβ nQR + n (n − 1) qr. QR + qr = 2 a=1 2 a6=b b=1 2 2. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE. (.).

(41) 2.3 M´etodo das R´eplicas. 28. Pela suposi¸ca˜o da continuidade alg´ebrica do m´etodo das r´eplicas, temos: · ¸ 1 αβ αβ αβ lim nQR + n (n − 1) qr = (QR − qr) . n→0 n 2 2 2. (.). Por outro lado, podemos realizar o tra¸co na integral hz2n i: ". # n n n αβ X a 2 αβ X X a b T r{ma } exp (m ) R + m mr . 2 a=1 2 a6=b b=1 Somando e subtraindo. αβ 2. . P √ 2 ( na=1 ma r) dentro do expoente, temos:. Ã n !2  X √ αβ β T r{ma } exp  (R − r) (ma )2 + ma αr  . 2 2 a=1 a=1 n X. Usando a propriedade da Eq. ., podemos reescrever o tra¸co como: Ã n !2  X √ β αβ (R − r) (ma )2 + ma αr  = T r{ma } exp  2 2 a=1 a=1 . n X. # " ½ 2¾ n n 2 X X √ dz z αβ √ exp − ma , (.) = T r{ma } exp (R − r) (ma )2 + βz αr 2 2 2π −∞ a=1 a=1 Pn √ onde z ≡ a=1 ma r. Z. +∞. Transformando o somat´orio dentro do expoente em produto de exponenciais, podemos reescrever essa integral como: Z. ½ 2¾ · 2 ¸n √ αβ dz z 2 √ exp − T r{m} exp (R − r) (m) + βz αrm . 2 2 2π. +∞ −∞. Lembrando que m ∈ [−1; 1] de maneira cont´ınua, e fazendo m → S: Z. 1. T rS =. dS.. (.). −1. Assim, Z. +∞ −∞. ½ 2¾Z 1 ¸n · 2 √ dz z αβ 2 √ exp − (R − r) S + βz αrS dS exp 2 2 2π −1. Usando as expans˜oes: P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE. (.).

(42) 2.3 M´etodo das R´eplicas. 29. exp {n ln x} = 1 + n ln x + O (n2 ) , ln (1 + n) Z. +∞ −∞. Z. +∞. = −∞. ≈. nx, para x ¿ 1,. ½ 2¾Z 1 ¸n · 2 √ z dz αβ 2 √ exp − (R − r) S + βz αrS = dS exp 2 2 2π −1. ½Z 1 · 2 ½ 2¾ ¸¾ √ αβ dz z 2 √ exp − n ln dS exp (R − r) S + βz αrS 2 2 2π −1. (.). E, pela continuidade alg´ebrica do m´etodo das r´eplicas:. 1 lim n→0 n. Z. ½Z. +∞ −∞. +∞. = −∞. · 2 ½Z 1 ¸¾¾ ½ 2¾ √ αβ dz z 2 √ exp − dS exp n ln (R − r) S + βz αrS = 2 2 2π −1. ½ 2 ¾ ½Z 1 · 2 ¸¾ √ αβ dz z 2 √ exp − dS exp . ln (R − r) S + βz αrS 2 2 2π −1. (.). Por fim, usando as Eqs. ., ., ., ., podemos escrever a energia livre do sistema:. F (α, β) =. α 2β. +. β 2. −. 1 β. n h i α+β(Q−q) ln + α. β(1+q) α+β(Q−q). o. (QR − qr) n 2 o nR o R +∞ dz 1 z √ ln dS exp [−βV (S|z)] , exp − 2 −∞ −1 2π. (.). onde. V (S|z) ≡. √ αβ (r − R) S 2 − z αrS. 2. (.). O u ´ltimo termo de F (α, β) pode ser visto como a energia livre de uma part´ıcula (agente) no intervalo [−1, 1] com potencial V (S|z), onde z faz o papel da desordem. Podemos usar o m´etodo do ponto de sela [32, 33, 34] para calcular os valores das vari´aveis no extremo da fun¸c˜ao da energia. As equa¸c˜oes do ponto de sela s˜ao dadas por:. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE.

(43) 2.3 M´etodo das R´eplicas. ∂F ∂q ∂F ∂Q ∂F ∂R ∂F ∂r. 30. 1+q , [α + β (Q − q)]2 1 = 0 ⇒ β (R − r) = − , α + β (Q − q) ­­ ®® = 0 ⇒ Q = S2 , = 0⇒r=. hhS|zii = 0 ⇒ β (Q − q) = √ , αr R +∞ onde hh· · · ii representa a m´edia sobre a distribui¸ca˜o −∞. (.) (.) (.) (.). √dz 2π. exp (−z 2 /2).. ´ No limite de β → ∞ podemos olhar para uma solu¸ca˜o com q → Q e r → R. E conveniente definir β (Q − q) χ≡ α. r e. ζ≡−. α β (R − r) r. (.). e requerer que essas quantidades permane¸cam finitas no limite de β → ∞. A quantidade χ surge como uma fun¸c˜ ao resposta nesse tratamento de mecˆanica estat´ıstica. Q − q mede a distˆancia entre duas diferentes r´eplicas do sistema, rotuladas pelos ´ındices a e b. Podemos ver a r´eplica como uma realiza¸c˜ao do processo estoc´astico com uma dada condi¸ca˜o inicial. Um valor finito de χ significa que dois processos com condi¸c˜oes iniciais diferentes convergem, no estado estacion´ario, para o mesmo ponto no espa¸co de fase {mi }, isto ´e, q → Q quando β → ∞. Isto ´e o que esperamos que ocorra em um processo erg´odico. Para α < αc o processo ´e n˜ao erg´odico, significando que o estado estacion´ario depende das condi¸c˜oes iniciais, sendo χ → ∞ para α < αc . As m´edias hh· · · ii ´ √ ³ ζS 2 s˜ao dominadas pelo m´ınimo do potencial V (S|z) = αr 2 − zS para S ∈ [−1, 1]. O m´ınimo est´a em S = −1 para z 6 −ζ e em S = +1 para z > ζ. Para −ζ < z < ζ, o m´ınimo est´a em S =. z ζ. [21]. Com isso encontramos 1 hhS|zii = erf ζ. µ. ζ √ 2. ¶ (.). e ­­ 2 ®® S =Q=1−. r. µ ¶ µ ¶ 1 ζ 2 exp (−ζ 2 /2) − 1 − 2 erf √ . π ζ ζ 2. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE. (.).

(44) 2.3 M´etodo das R´eplicas. 31. Assim, encontramos ¡ √ ¢ erf ζ/ 2 ¡ √ ¢, χ= (.) α − erf ζ/ 2 ¡ √ ¢+ o que mostra que χ diverge quando α → erf ζ/ 2 , o que implica que no ponto cr´ıtico µ erf. ζ √ 2. ¶ = αc .. (.). Figura 2.2 σ 2 /N em fun¸c˜ao de α. Os quadrados cheios representam as simula¸c˜ oes do Jogo da Minoria, os quadrados vazados representam o estado estacion´ario de σ 2 e a linha cheia corresponde aos resultados anal´ıticos.. A solu¸ca˜o num´erica da Eq. . fornece. αc (S = 2) = 0.3374 . . .. (.). Este m´etodo nos d´a uma solu¸c˜ao completa para o Jogo da Minoria na fase α > αc , como sugere a Fig. 2.2. Quantidades macrosc´opicas como σ 2 e H podem ser calculadas analiticamente. P. G. X. Ramos - Disserta¸ca˜o de Mestrado - DF-UFPE.

Referências

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