10 100 1000 -1 L M =0.0 =0.1 =0.2 =0.3 =0.5 =0.6
Figura 3.8 α−1L (M ) em fun¸c˜ao de M , para v´arios valores de η. Cada curva levou, em m´edia, 400 horas de processamento, em um computador com processador QuadCore™de 2.80 GHz, para ser conclu´ıda.
com rela¸c˜ao a η, o valor de NL tamb´em ´e crescente, embora esse crescimento torne-se
mais lento `a medida que η aumenta (as curvas para valores diferentes de η v˜ao ficando cada vez mais pr´oximas).
3.3 TENTATIVA DE UMA DESCRIC¸ ˜AO ANAL´ITICA
Em virtude do comportamento apresentado pelo sistema para uma popula¸c˜ao vari´avel, podemos intuir uma equa¸c˜ao diferencial baseada em modelos log´ısticos [50, 51] para descrever qualitativamente os resultados obtidos.
Sabemos que para popula¸c˜oes iniciais N0 acima de NL, dN/dt < 0. J´a para N0 < NL
dN(t) dt = rN(t) µ 1 − N(t) NL ¶ , (.)
que ´e derivada do modelo de Verhulst, com r > 0.
0 20 40 60 80 100 120 140 T 0 50 100 150 200 N M=2, eta=0.10 Val. Teor., r=3.0
Figura 3.9 N (t) para M = 2 e η = 0.10 . Observamos os pontos obtidos pelas simula¸c˜oes e o resultado anal´ıtico proposto com r = 3.0.
0 20 40 60 80 100 120 140 T 100 150 200 250 300 N M=2, eta=0.10 Val. Teor., r=1.5
Figura 3.10 N (t) para M = 2 e η = 0.10. Observamos os pontos obtidos pelas simula¸c˜oes e o resultado anal´ıtico proposto com r = 1.5.
O incoveniente dessa sugest˜ao ´e o ajuste do parˆametro r. Os valores de r precisam ser ajustados em cada caso. E ainda n˜ao conseguimos associar o r aos demais parˆametros do Jogo da Minoria, tais como η, M ou S.
3.3 Tentativa de uma Descri¸c˜ao Anal´ıtica 55 Para verificar a validade dessa equa¸c˜ao, observamos nas Figs. 3.9 e 3.10 uma boa concordˆancia entre os valores n´umericos, obtidos a partir das simula¸c˜oes, e os valores anal´ıticos, obtidos a partir da Eq. ., para M = 2 e η = 0.10.
Ap´os um paciente ajuste de r, todos os resultados apresentados da se¸c˜ao anterior podem ser aproximados pela Eq. ., com resultados te´oricos apresentando uma boa concordˆancia com os pontos obtidos atrav´es das simula¸c˜oes num´ericas.
´
E poss´ıvel que uma solu¸c˜ao anal´ıtica mais robusta para o Jogo da Minoria com po- pula¸c˜ao vari´avel venha atrav´es da aplica¸c˜ao do ensemble Gr˜a-Canˆonico para abordar o problema. Essa possibilidade tem alimentado as nossas expectativas de trabalhos futuros.
CONCLUS ˜OES
Analisamos o efeito do fator de impacto η sobre a dinˆamica do Jogo da Minoria quando apenas uma porcentagem dos N agentes ´e contemplada com esse fator. Quando η > 0.0, o desempenho do jogo ´e sensivelmente melhorado. Mesmo para um η infinitesimal, o desvio padr˜ao σ, que quantifica o desempenho do jogo, ´e modificado de algumas ordens de grandeza.
A pergunta que motivou parte desse trabalho foi sobre as consequˆencias do fator de impacto η no desempenho do Jogo da Minoria quando apenas uma porcentagem dos N agentes disp˜oem desse fator. Observamos que ´e necessario uma pequena porcentagem desses N agentes contemplados com o η para que o desempenho do sistema seja melhor que o caso randˆomico (todas as decis˜oes tomadas aleatoriamente). Foi visto ainda que
esse valor m´ınimo da porcentagem, pc, decai de maneira exponencial com o aumento de
η.
Pela an´alise te´orica feita do Cap´ıtulo 2, acreditamos que os resultados observados
para pc possam ser obtidos analiticamente, atrav´es de algumas condi¸c˜oes de contorno
adicionais.
Tamb´em foi estudado o comportamento do Jogo da Minoria com popula¸c˜ao flutuante. Se, em uma dada rodada, o desempenho do sistema ´e inferior ao caso randˆomico, a popula¸c˜ao diminuir´a. Caso o desempenho do sistema seja superior ao caso randˆomico, a popula¸c˜ao aumentar´a.
Os resultados mostram que, independente das condi¸c˜oes iniciais, as popula¸c˜oes sem-
pre se estabilizam em torno de uma mesma popula¸c˜ao limite NL. Esses valores de NL
dependem da mem´oria M e do valor de η.
3.3 Tentativa de uma Descri¸c˜ao Anal´ıtica 57 tado esperado para η = 0.0, j´a que nesse regime, a curva do desvio padr˜ao intercepta a linha do limite randˆomico. Mas para o caso de η > 0.0, onde a curva do desvio padr˜ao ´e sempre inferior ao limite randˆomico, a estabiliza¸c˜ao foi um resultado surpreendente. O que nos leva a supor que o equil´ıbrio dinˆamico do Jogo da Minoria ´e distinto do equil´ıbrio est´atico para o caso de η > 0.0.
Esbo¸camos uma tentativa de descri¸c˜ao anal´ıtica dos resultados obtidos para a varia¸c˜ao populacional utilizando uma equa¸c˜ao diferencial inspirada em modelos log´ısticos. Essa tentativa tem o inconveniente do ajuste de parˆametros para cada caso. Acreditamos que melhores resultados anal´ıticos possam ser obtidos adicionando-se um termo referente a um campo externo no Hamiltoniano descrito no Cap´ıtulo 2, utilizando as mesmas t´ecnicas subsequententes para obter uma solu¸c˜ao.
Outra forma, na qual acreditamos produzir resultados anal´ıticos semelhantes, ´e fazer um tratamento anal´ıtico, semelhante ao do Cap´ıtulo 2, utilizando o ensemble Gran- Canˆonico, pelo fato de que nesse ensemble o n´umero de part´ıculas ´e vari´avel.
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