O Equil´ıbrio de Nash - Quebra da Simetria de R´eplicas

2.4 Quebra da Simetria de R´eplicas

2.4.2 O Equil´ıbrio de Nash

Desde o trabalho pioneiro de J. Nash [36] em teoria dos jogos, o equil´ıbrio de Nash tem sido um conceito referencial em sistemas s´ocio-econˆomicos de agentes interagentes [9, 10, 37, 38, 39, 40].

O equil´ıbrio de Nash (EN) é, em certo sentido, um estado ótimo de situa¸cões es- tratégicas, no qual nenhum agente tem motivos para mudar seu comportamento unilate-

2.4 Quebra da Simetria de Réplicas 35 ralmente. É fácil perceber que, a priori, o Jogo da Minoria possui um enorme número de tais estados quando N À 1.

Devido à simetria do jogo, vamos olhar primeiro para o EN simétrico em rela¸cão apenas às a¸cões, sem restri¸cão nas estratégias. Se cada jogador escolhe a a¸cão ai =

±1 com a mesma probabilidade P rob {a1 = ±1} = 1/2 para todo i, h´a apenas um EN

simétrico, que corresponde aos agentes não mudarem a probabilidade de suas escolhas (P rob = 1/2) se outros não a mudam. Este estado, que pode ser chamado de estado de

agentes randômicos, é usualmente tomado como estado de referência e é caracterizado

por σ2 _{= N e H = 0.}

Para η = 1, os recursos s˜ao distribu´ıdos da melhor forma poss´ıvel, implicando em

σ2 _{= 0 (para N par) ou σ}2 _{= 1 (para N ´ımpar). Nesse caso, os agentes contabilizam}

apropriadamente o impacto de suas decisões e são capazes de distinguir as suas contri- bui¸cões para a demanda A(t), o que representa uma melhoria enorme se comparado com

o caso de η = 0 (onde σ2 _{∼ N ou N}2_{). Esses estados s˜ao de fato equil´ıbrios de Nash}

associados ao Jogo da Minoria com N agentes.

Como os agentes come¸cam a contabilizar o impacto de suas decisões (η > 0), o com- portamento coletivo do sistema muda abruptamente e as ineficiências são drasticamente reduzidas. No entanto, o estado assintótico não é único (Hη possui mais de um m´ınimo)

e o estado final do sistema depende das condi¸cões iniciais. Esse conjunto de estados de equil´ıbrio é discreto e o sistema salta descontinuamente de um estado para outro, quando as condi¸cões iniciais variam, o que contrasta com o caso de η = 0, onde o estado de equil´ıbrio se desloca continuamente como fun¸cão das condi¸cões iniciais.

O Jogo da Minoria tem muito mais estados de equil´ıbrio de Nash do que apenas o simétrico. Em a¸cões puras, qualquer estado onde | A |= 1 e N ´ımpar (ou | A |= 0 e N par) é um EN. O número ΞN ash destes equil´ıbrios de Nash é

ΞN ash = µ N N −1 2 ¶ + µ N N +1 2 ¶ , (.) onde

µ N k ¶ ≡ N! k!(N − k)!. (.)

Assim o jogo possui um n´umero exponencialmente grande de equil´ıbrios de Nash.

Cada um desses estados ´e globalmente ´otimo, desde que ele tenha: σ2 _{= H = 1. Lem-}

brando que σ2 _{= N e H = 0 no EN sim´etrico. A Fig. 2.3 mostra o ln (Ξ}

N ash)/N, definido

como Σ, em fun¸c˜ao de α.

Figura 2.3 Logaritmo da m´edia do n´umero de equil´ıbrios de Nash dividido por N como fun¸c˜ao de α para diferentes valores de N . A linha cheia corresponde aos resultados anal´ıticos [14].

Há muitos outros equil´ıbrios de Nash. Essas simples considera¸cões servem para ilus- trar a complexidade do problema. Notemos em particular que virtualmente todas as possibilidades de comportamento coletivo, parametrizadas por σ2 _{e H, são poss´ıveis.}

Uma pergunta que podemos fazer é se o estado estacionário do Jogo da Minoria padrão (η = 0) corresponde a um desses equil´ıbrios. A resposta é um ressoante não. Este importante aspecto deve-se ao fato de, quando η = 0, a dinâmica levar o regime do sistema para um estado sub-ótimo.

2.4 Quebra da Simetria de Réplicas 37 pacto, conseguem mensurar o impacto de suas decisões na demanda A(t). De fato, a incapacidade para coordenar um EN segue da idéia de que em um sistema de N agentes, cada agente tem um “peso” 1/N, que é negligenciado no limite termodinâmico (N → ∞). Uma vez que essa considera¸cão é descartada e os agentes contabilizam o impacto de suas decisões, o estado estacionário resultante é drasticamente melhorado e eventualmente um EN pode ser atingido.

Mais uma vez devemos frisar que as propriedades dos equil´ıbrios de Nash são bem diferentes daquelas do estado estacionário do Jogo da Minoria Padrão. Esses equil´ıbrios são m´ınimos locais de σ2 _{enquanto o estado estacionário do Jogo da Minoria com agentes}

simples corresponde ao m´ınimo de H. Os agentes simples atingem um único estado estacionário, degenerado em um conjunto conexo para α < αc. Já os agentes sofisticados

usam estratégias puras no EN (os agentes simples alternam suas estratégias). Como resultado, H = σ2 _{no EN enquanto H < σ}2 _{no Jogo da Minoria Padrão.}

O EN para o qual os agentes sofisticados convergem é selecionado pelas condi¸cões iniciais. Como as condi¸cões iniciais variam, o EN muda descontinuamente. Por outro lado, os agentes simples convergem para um estado estacionário que é único para α > αc

e depende continuamente das condi¸c˜oes iniciais para α < αc.

No estado estacion´ario do Jogo da Minoria com agentes simples para α < αc, uma

retroalimenta¸cão (feedback ) de flutua¸cões de microscópicos graus de liberdade em quan-

tidades macrosc´opicas leva a uma dependˆencia de σ2 _{com a temperatura inversa Γ (co-}

eficiente de aprendizado). Esse efeito ´e ausente para todos os valores de α na dinˆamica dos agentes sofisticados.

Outra diferen¸ca que deve ser observada é que o comportamento do Jogo da Minoria com agentes simples é qualitativamente o mesmo com informa¸cões endógenas e exógenas [41]. Em contraste, o comportamento de agentes sofisticados com informa¸cão endógena é muito diferente daquele com informa¸cão exógena [21]. O motivo disso é que µ(t) torna- se determin´ıstico porque todos os agentes congelam, e ele se fecha em uma órbita de per´ıodo ∼ √P . Quase todos os padrões µ0_{, com órbita diferente, nunca são visitados}

considera¸c˜ao o fator de impacto.

No documento O modelo do jogo da minoria com população variável (páginas 47-51)