1) faz uso da formulação de Nobile e Hayek [50] para série com somente 1 termo (ver Seção 3.4.5); 2) faz uso do método de Newton-Raphson nas estimativas de Z(i).
A lógica do algoritmo é idêntica à descrita na Seção 6.5.2 para o método de medição com a sonda PU e com a técnica PP, respectivamente. O algoritmo iterativo aqui descrito será chamado de F-term.
6.6 Comparação entre os algoritmos de dedução
Nesta seção, a acuidade dos algoritmos de dedução da impedância de superfície serão comparados através da simulação da medição e também de experimentos para a técnica PU. Posteriormente, as técnicas PU e PP, descritas neste capítulo, serão comparadas experimentalmente.
6.6.1 Comparação dos algoritmos de dedução: simulação
Esta seção apresenta uma simulação da medição da impedância com a técnica PU. O modelo da simulação é construído com uma modificação do método do Elemento de Contorno (BEM8) descrito no Capítulo8.
Na simulação da medição de impedância, à superfície de tamanho L x
L em z= 0 (ver Fig.81) é imposta uma impedância de superfície Z calculada de acordo com o modelo de Allard e Champoux descrito na Seção 2.5.2. Esta superfície plana é considerada localmente reativa e representa uma amostra absorvente com sua superfície montada diretamente na superfície de um baffle rígido infinito. A fonte sonora está localizada na coordenada
(0, 0, hs). Pressão sonora e velocidade de partícula são calculadas na posição
do receptor(0, 0, z) pelo modelo BEM. A razão entre pressão e velocidade
de partícula fornece Zm, que será introduzida nos algoritmos descritos na
Seção 6.5 a fim de que estes sejam comparados. Como será visto no Capítulo 8, o modelo de elemento de contorno simula a medição sobre uma amostra finita e sua derivação matemática toma um caminho diferente da derivação matemática das equações usadas nos métodos de dedução da impedância. A pré-suposição de que a amostra é localmente reativa é, no entanto, mantida. Estes fatos fazem de BEM uma ferramenta imparcial na simulação da medição da impedância. É necessário notar também que o modelo de elemento de contorno se aproxima muito de uma medição em câmara anecóica, já que as reflexões das paredes laterais não são levadas em conta. As simulações são feitas para frequências 100-4000 Hz. Maiores
detalhes como número e tamanho dos elementos, etc podem ser encontrados no Capítulo8.
Os resultados apresentados aqui serão dados em termos da impedância de superfície Z e do coeficiente de absorçãoα. Somente incidência normal será considerada, por enquanto, o que implica que a fonte sonora e sonda PU estejam localizadas numa linha perpendicular à superfície da amostra (r= 0).
Nas Figuras48 a51os métodos de dedução "PWA", "q-term"e "F-term" serão comparados com a "Referência" calculada pelo modelo de Allard e Champoux (Seção2.5.2).
Nestes exemplos numéricos, a medição de impedância sobre uma amostra quadrada de área 1 x 1 m2 foi simulada. Em todos os casos a porosidade éφ= 0.96 e a tortuosidadeα∞= 1.1. A resistividade e a espessura
da amostra variam e serão explicitadas em cada caso.
No primeiro exemplo, a altura da fonte sonora é hs= 0.3 m e a do
sensor z= 0.01 m. Neste caso, 0.57 < k0|~r2| < 22.71. Os resultados para a
impedância de superfície normalizada (Z/ρ0c0) e coeficiente de absorção são
dados nas Figs.48e49. A amostra possui resistividadeσ= 25000 kgs−1m−3
e espessura d1= 0.025 m.
No caso da impedância de superfície, o algoritmo PWA e o q-term são capazes de calcular Z corretamente para as frequências mais altas com uma diferença nas mais baixas. A inspeção minuciosa da Fig.48revela que o algoritmo PWA leva a um maior erro que o algoritmo q-term. O algoritmo F-term leva ao maior erro dos três.
No caso do coeficiente de absorção (Fig. 49) o algoritmo q-term fornece resultados muito precisos. O PWA somente equivale à referência para frequências maiores que 2 kHz. Para frequências muito baixas, o coeficiente de absorção calculado pelo algoritmo PWA exibe valores negativos, o que é incorreto por definição. Estes erros se devem à simplificação da reflexão das ondas esféricas assumida pelo algoritmo PWA. O algoritmo F-term superestima o coeficiente de absorção e a explicação para isto é que existe uma diferença entre os coeficientes de reflexão calculados pelo PWA e F-term que pode ser expressa por:(1−Vp)F. Este termo somado a Vpleva a desvios
expressos tanto na magnitude quanto na fase do coeficiente de reflexão. Os desvios do algoritmo F-term em relação à referência são causados pela pré- suposição de que k0|~r2| ≫ 1 feita nas equações do algoritmo F-term. Tal pré-
suposição não é satisfeita no caso deste experimento. Nota-se que o algoritmo q-term não sofre nem a pre-suposição de k0|~r2| ≫ 1, nem a de que as ondas
esféricas refletem como se fossem ondas planas, e por isso é capaz de calcular
6.6 Comparação entre os algoritmos de dedução 123 102 103 −6 −4 −2 0 2 4 6 Frequência [Hz] Re ( Z / ρ 0 c 0 ) Referência PWA F−term q−term 102 103 −20 −18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 Frequência [Hz] Im ( Z / ρ0 c0 ) Referência PWA F−term q−term
Figura 48: Simulação da medição da impedância de superfície calculada com os três algoritmos de dedução para uma amostra com
102 103 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Frequência [Hz] α [−] Referência PWA F−term q−term
Figura 49: Simulação da medição do coeficiente de absorção calculado com os três algoritmos de dedução para uma amostra com resistividade
σ= 25000 kgs−1m−3e espessura d1= 25 mm.
Um segundo exemplo numérico mostra o coeficiente de absorção na Fig.50. Neste caso, uma amostra retangular com 1.2 x 0.6 m2é simulada.
Essas dimensões são equivalentes às dimensões da amostra medida em câmara semi-anecóica, mostrada na Seção 6.6.2. Aqui a amostra possui resistividadeσ= 45000 kgs−1m−3e espessura d1= 0.05 m. A altura da fonte
sonora é hs= 0.3 m e a do sensor z = 0.01 m. Os resultados para a impedância
de superfície e coeficiente de absorção são muito similares aos apresentados nas Figs. 48e49 e as mesmas conclusões se aplicam. O único resultado mostrado é o coeficiente de absorção na Fig. 50. As pequenas oscilações ao redor da referência obtidas com o algoritmo q-term são fruto do tamanho finito da amostra. Isto será discutido mais detalhadamente no Capítulo8.
Uma terceira simulação é feita para demonstrar que com o aumento de
|~r2| os três algoritmos tenderam ao mesmo resultado. Neste caso, a altura da
fonte sonora é hs= 3 m e a do sensor z = 0.01 m, o que leva a 5.51 < k|~r2| <
220.5. Pressão e velocidade de partícula sobre um plano infinito e localmente
6.6 Comparação entre os algoritmos de dedução 125 102 103 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Frequência [Hz] α [−] Referência PWA q−term F−term
Figura 50: Simulação da medição do coeficiente de absorção calculado com os três algoritmos de dedução para uma amostra com resistividade
σ= 45000 kgs−1m−3e espessura d1= 50 mm.
para deduzir Z. O coeficiente de absorção na Fig.51mostra que a medida que a distância entre fonte sonora e sensor aumentam, os resultados dos três algoritmos convergem para a referência. Isto suporta o fato de que F-term é apropriado para k0|~r2| ≫ 1 e que à medida que hsaumenta as frentes de ondas
tendem a se tornar planas, o que é compatível com o algoritmo PWA.
6.6.2 Comparação dos algoritmos de dedução: experimento
Os experimentos realizados nesta seção foram realizados numa câmara semi-anecóica com volume 100 m3, com frequência de corte de aproximadamente 150 Hz. A fonte sonora é a mesma da descrita na SeçãoA.2. Neste caso, uma varredura logarítmica de senos foi usada como ruído de excitação. As medições foram realizadas com a sonda PU após sua calibração pelo método de campo livre.
A primeira medição é de uma amostra de lã de rocha cujas dimensões são 1.2 x 0.6 m2, espessura 0.025 m e densidade nominal de 64 kg/m3. A
altura da fonte medida foi hs= 0.28 m e a altura do sensor z = 0.015 m, com
r= 0, garantindo incidência normal. Uma comparação entre os resultados
102 103 104 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Frequência [Hz] α [−] Referência PWA F−term q−term
Figura 51: Simulação da medição do coeficiente de absorção calculado com os três algoritmos de dedução para uma amostra com resistividade
σ= 25000 kgs−1m−3e espessura d1= 25 mm e hs= 3 m.
na Fig.53, para o coeficiente de absorção.
Pode-se notar que o comportamento geral das Figs. 52 e 53 é o mesmo das simulações numéricas. Para a impedância de superfície existe uma similaridade entre os resultados obtidos com q-term e PWA nas altas frequências e um desvio nas baixas. O coeficiente de absorção calculado com PWA concorda com o calculado por q-term somente acima de 2 kHz. Assim, como na simulação numérica, o coeficiente de absorção calculado com PWA também exibe valores negativos nas baixas frequências. O coeficiente de absorção calculado com F-term também segue o mesmo padrão das simulações exibindo uma valor superior ao calculado pelo q-term em quase toda a faixa de interesse.
A medição de uma amostra de lã de rocha mais densa e espessa foi também realizada. As dimensões são 1.2 x 0.6 m2, espessura 0.05 m e
densidade nominal de 96 kg/m3. A altura da fonte e sensor são as mesmas do experimento anterior. Uma comparação para o coeficiente de absorção calculado com os três métodos de dedução é mostrada na Fig. 54. Os resultados são muito similares aos do experimento anterior e das simulações numéricas e, portanto, as mesmas conclusões se aplicam, o que ajuda a estabelecer a validade das comparações.
6.6 Comparação entre os algoritmos de dedução 127 102 103 104 −6 −4 −2 0 2 4 6 Frequência [Hz] Re (Z/ ρ 0 c 0 ) PWA q−term F−term 102 103 104 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 Frequência [Hz] Im (Z/ ρ 0 c 0 ) PWA q−term F−term
Figura 52: Impedância de superfície Z medida numa câmara semi-anecóica e pós processada pelos três métodos de dedução para
uma amostra com 64 kg/m3e d
102 103 104 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Frequência [Hz] α [−] PWA q−term F−term
Figura 53: Coeficiente de absorção medido numa câmara semi-anecóica e pós processado pelos três métodos de dedução para
uma amostra com 64 kg/m3e d1= 25 mm.
As conclusões que podem ser tiradas das simulações numéricas e experimentos é que quando a fonte sonora é colocada próxima à sonda PU, os métodos de dedução PWA e F-term fornecem resultados menos confiáveis que os obtidos com o algoritmo q-term. A maior limitação do método PWA é que este assume que as ondas esféricas refletem como ondas planas, o que é uma boa aproximação somente para altas frequências ou fonte e sensor distantes. O método PWA fornece, no entanto, uma boa estimativa inicial de Z para o algoritmo q-term. Estimativas iniciais muito distantes do valor verdadeiro poderiam levar a não convergência do algoritmo iterativo. A maior limitação do método F-term é o uso da aproximação k0|~r2| ≫ 1 em suas
equações. Novamente, o método é válido para altas frequências ou fonte e sensor distantes. O método q-term se baseia na precisa integração numérica para a pressão sonora e velocidade de partícula e foi o único capaz de deduzir corretamente a impedância de superfície nas simulações, bem como fornecer um resultado típico para amostras porosas. Comparações com o método PP e modelos analíticos de materiais porosos serão fornecidos nas seções seguintes ajudando a estabelecer o método q-term como o padrão mais confiável e, por isso, utilizado nesta pesquisa.
6.7 Comparação entre as técnicas PU e PP 129