A fim de comparar as equações dadas para a pressão sonora nas seções anteriores, foi simulado um plano com impedância de superfície calculada de acordo com a Seção2.5.3. Neste casoσ = 55000 kgs−1m−3, d1= 0.04 m,
φ= 0.96,α∞= 1.1,Λ= 100µm eΛ′= 300µm. A altura da fonte e sensor, bem como a separação horizontal entre eles, varia caso a caso. Na Fig.19
hs = 0.3 m, z = 0.01 m e r = 0; dessa forma 0.57 < k0|~r2| < 56.77. Na
Fig.20hs= 5 m, z = 0.01 m e r = 0; dessa forma 9.18 < k0|~r2| < 917.75; em
ambos os casosθ= 0◦. Na Fig.21hs= 0.1 m, z = 0.1 m e r = 300; dessa
forma 549.55 < k0|~r2| < 1648.6, pois a frequência, aqui, vai de 100 Hz a 300
Hz. Neste caso,θ ≈ 90◦. O termo q (vermelho) é usado como referência aqui pois se baseia na integração numérica da equação exata para o campo acústico. Os métodos comparados são o de Ingard (curva preta pontilhada) dado pelas Eqs. (3.56) e (3.57), o de Nobile e Hayek (curva em magenta), em que só o primeiro termo da série é utilizado, reduzindo o termo F à Eq. (3.62),
3.6 Comparação numérica 57
o de Thomasson (curva azul), que leva em conta a onda de superfície e é dado de acordo com as Eqs. (3.64), (3.65) e (3.66), e o método PWA (curva verde) dado de acordo com a Eq. (3.71).
102 103 104 2 3 4 5 6 7 8 Frequência [Hz] Magnitude p [Pa] Termo q Ingard Hayek − 1o termo Thomasson PWA
Figura 19: Comparação entre os métodos do termo q, F (Ingard, Thomasson e Hayek) para uma fonte sonora em hs= 0.3 m, sensor em
z= 0.01 m, r = 0 eθ= 0◦; 0.57 < k0|~r2| < 56.77.
Na Fig.19nota-se que existe um desvio entre os métodos calculados pelo termo F (Hayek, Thomasson e Ingard) e PWA em relação ao método de referência (Termo q). Tal desvio é significativo somente em baixas frequências, sendo que todos os métodos convergem nas altas frequências. O desvio é causado pelo fato de que k0|~r2| é muito pequeno em baixas
frequências. Isto torna a difração das ondas esféricas um efeito importante e, portanto, o método PWA não fornece resultados satisfatórios. No caso dos métodos baseados no termo F, o motivo do desvio é o baixo valor de k0|~r2|,
pois todos são, de alguma forma, baseados no método do steepest descent, mesmo os métodos de Ingard e Thomasson, em que a integração numérica é utilizada.
A fim de validar esta hipótese tomou-se hs= 5 m na Fig.20, o que
aumenta consideravelmente o valor de k0|~r2| em toda a faixa de frequências
duas figuras, é que todas as curvas se aproximam, o que confirma a hipótese. Além disso, a análise minuciosa das Figs. 19e20permite observar que os métodos de Ingard e Thomasson convergem e que o de Nobile e Hayek é ligeiramente diferente destes, embora essa diferença seja insignificante. Tal diferença se deve ao fato de que os métodos de Ingard e Thomasson são baseados em integração numérica e o de Hayek só o primeiro termo da série assimptótica é utilizado. 102 103 104 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Frequência [Hz] Magnitude p [Pa] Termo q Ingard Hayek − 1o termo Thomasson PWA
Figura 20: Comparação entre os métodos do termo q, F (Ingard, Thomasson e Hayek) para uma fonte sonora em hs= 5 m, sensor em
z= 0.01 m, r = 0 eθ= 0◦; 9.18 < k0|~r2| < 917.75.
Na Fig. 21é simulada a incidência rasante10 (θ ≈ 90◦). O método PWA falha completamente, pois como cos(θ) ≈ 0◦, Vp ≈ −1, o que
corresponde ao cancelamento da onda incidente e da refletida. Isto não é uma boa representação da realidade como discutido por Rudnick [17] e mostrado no início deste capítulo, e portanto o método PWA não é confiável neste caso. Observa-se também, aqui, que a onda de superfície tem uma significativa importância pois o método de Thomasson se aproxima mais da solução exata, conseguindo modelar satisfatoriamente o aumento da pressão sonora abaixo de 200 Hz, aquilo que os métodos de Ingard e Hayek
3.6 Comparação numérica 59
não conseguem. De fato, a onda de superfície se torna importante para incidência rasante, mas não para incidência normal, já que na condição de existência da onda de superfície de Thomasson fica implícito que esta nunca existirá para incidência normal, pois neste caso Re{η0} = −β e, por isso,
nunca será maior que 1 pois Re{β} > 0. De fato, a função de Heavside na Eq. (3.61) expressa a mesma condição de existência da onda de superfície de Thomasson, e por isso a afirmação de Kawai, Hidaka e Nakajima [64] de que a solução proposta por Chien e Soroka [58] é singular, para r= 0,
não é correta, já que a singularidade ocorre na função de Hankel da onda de superfície para r= 0, mas a condição de existência da mesma elimina este
termo da equação. 102 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 Frequência [Hz] Magnitude p [Pa] Termo q Ingard Hayek − 1o termo Thomasson PWA
Figura 21: Comparação entre os métodos do termo q, F (Ingard, Thomasson e Hayek) para uma fonte sonora em hs= 0.1 m, sensor em
z= 0.1 m, r = 300 m eθ≈ 90◦; 549.55 < k0|~r2| < 1648.6.
A seguinte pergunta poderia, então, ser apresentada: Seria suficiente adicionar o termo da onda de superfície às formulações de Ingard [55] e Nobile e Hayek [50] para que estas se tornem similares à de Thomasson [70]? E a resposta para esta pergunta é sim. Como pode ser visto na simulação da Fig. 22, onde hs= 0.1 m, sensor em z = 0.1 m, r = 300 m,
propostas por Ingard e Nobile e Hayek. Thomasson sugeriu que o caminho de integração tomado por Ingard ignoraria o polo. O que fica demonstrado aqui é que a adição desse termo corrige o erro levando as formulações de Ingard e Hayek a convergir para a solução de Thomasson e, portanto, serem mais próximas da realidade. A presença dos polos é, no entanto, função da admitância e da geometria do problema. A admitância, por sua vez, é função da frequência, para o caso de uma amostra porosa. Isto leva à conclusão de que a onda de superfície existirá somente para certas frequências e que as condições de transição entre a existência e não existência das ondas de superfície não são tão suaves como proposto por Chien e Soroka [58].
102 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 Frequência [Hz] Magnitude p [Pa] Termo q Ingard Hayek − 1o termo Thomasson PWA
Figura 22: Comparação entre os métodos do termo q, F (Ingard, Thomasson e Hayek), com a onda de superfície adicionada, para uma
fonte sonora em hs= 0.1 m, sensor em z = 0.1 m, r = 300 m e θ≈ 90circ; 549.55 < k
0|~r2| < 1648.6.
3.7 Comparação entre plano localmente reativo, amostra de espessura
finita não localmente reativa e amostra semi-infinita
Uma comparação entre as pressões sonoras geradas por um monopolo acima de um meio semi-infinito (Seção3.2), de uma amostra não localmente