Comparac¸˜oes dos Resultados para V´arias Dimens˜oes do Conjunto de Clientes

Nesta secc¸˜ao ser˜ao feitas comparac¸˜oes dos resultados para duas dimens˜oes distintas do conjunto de clientes, de modo a tirar algumas conclus˜oes sobre as consequˆencias do aumento da dimens˜ao deste conjunto. Para estas comparac¸˜oes ser˜ao utilizados os resultados computacionais obtidos nas instˆancias com 20 clientes e nas instˆancias com 40 clientes para o per´ıodo de planeamento de dois dias.

A primeira an´alise consiste em comparar a quantidade de instˆancias resolvidas at´e `a otimalidade pelos modelos MFAP, MFAPSC e MFDP para cada um dos casos. A figura 4.12 apresenta o n´umero de instˆancias, com 20 clientes e com 40 clientes, resolvidas at´e `a otimalidade por cada um dos modelos. Como foram testadas 70 instˆancias com 20 clientes e 70 com 40 clientes, n˜ao ´e necess´ario considerar as percentagens de instˆancias resolvidas.

Figura 4.12: Comparac¸˜ao do n´umero de soluc¸˜oes ´otimas encontradas pelos modelos MFAP, MFAPSC e MFDP, nas instˆancias com 20 e 40 clientes, no per´ıodo de dois dias

Da figura anterior ´e poss´ıvel ver que os trˆes modelos desenvolvidos resolvem at´e `a otimalidade todas as instˆancias com 20 clientes consideradas, contudo isto n˜ao se verifica para as instˆancias com 40 cli- entes. Comec¸ando pelas instˆancias com 40 clientes e matriz de custos assim´etrica, os modelos MFAP e MFAPSC conseguem encontrar as soluc¸˜oes ´otimas das 35 instˆancias, enquanto que o modelo MFDP encontra apenas de 15 instˆancias. Em relac¸˜ao ao conjunto de instˆancias com matriz de custos sim´etrica, o modelo MFAPSC, mais uma vez, encontra as soluc¸˜oes ´otimas das 35 instˆancias, o modelo MFAP, de 26 instˆancias, enquanto que, o modelo MFDP encontra apenas de 11 instˆancias.

A diferenc¸a da eficiˆencia dos modelos quando se considera 20 clientes e 40 clientes pode estar relacio- nada com o n´umero de vari´aveis e restric¸˜oes de cada modelo. Enquanto que as formulac¸˜oes dos modelos MFAP e MFAPSC consideram dois conjuntos de vari´aveis na ordem o(n2× p), o modelo MFDP consi- dera um conjunto nessa mesma ordem e outro na ordem o(n2× (n − 1) × p). Assim os dois primeiros modelos tˆem cerca 1764 e 6724 vari´aveis, enquanto que o modelo MFDP tem 18522 e 137842 vari´aveis,

Cap´ıtulo 4. Experiˆencia Computacional 41

respetivamente para as instˆancias com 20 e com 40 clientes. Este aumento do n´umero de vari´aveis do modelo MFDP justifica a diminuic¸˜ao de eficiˆencia deste modelo na resoluc¸˜ao das instˆancias com 40 clientes at´e `a otimalidade.

De seguida pretende-se analisar os tempos de execuc¸˜ao de cada um dos modelos desenvolvidos tanto na resoluc¸˜ao do problema inteiro como na resoluc¸˜ao da relaxac¸˜ao linear, para os dois casos em an´alise. As m´edias obtidas s˜ao novamente apresentadas na tabela 4.10 de forma a se tirar algumas conclus˜oes. Nesta tabela, na primeira coluna ´e indicado o respetivo modelo e nas seguintes colunas s˜ao apresentados os correspondentes tempos de execuc¸˜ao. Para cada modelo, a primeira linha ´e referentes `as instˆancias com matriz de custo assim´etrica e, a segunda linha, referente `as instˆancias com matriz de custos sim´etrica.

Tabela 4.10: Comparac¸˜ao dos tempos de execuc¸˜ao dos quatro modelos para instˆancias com 20 e 40 clientes para o per´ıodo de dois dias

Problema Inteiro Relaxac¸˜ao Linear 20 clientes 40 clientes 20 clientes 40 clientes

MFAP 1.97 10.58 0.14 1.51 4.47 209.12 0.14 1.45 MFAPSC 2.09 8.93 0.16 1.42 2.71 51.58 0.16 1.42 MFDP 17.95 392.28 5.00 486.56 14.02 387.58 9.72 500.00 MFDR 1.40 39.60 1.15 160.22 1.63 60.79 1.33 171.23

Comec¸ando por analisar os dados da tabela anterior referentes `a resoluc¸˜ao do problema inteiro, todos os modelos apresentam grandes aumentos dos tempos de execuc¸˜ao, quando se passa de instˆancias com 20 clientes para instˆancias com 40 clientes. Este aumentos verificam-se principalmente para os modelos MFDP e MFAP, sendo que o ´ultimo, para as instˆancias com matriz de custos sim´etrica. As instˆancias com 40 clientes levam `a existˆencia de muito mais vari´aveis que por sua vez levam `a existˆencia de mais restric¸˜oes. Desta forma, seria de esperar um aumento dos tempos de execuc¸˜ao.

Nas instˆancias com 20 clientes, os menores tempos foram obtidos pelos modelos MFAP e MFAPSC, respetivamente, para as instˆancias com matriz de custos assim´etrica e sim´etrica e, no caso das instˆancias com 40 clientes, os menores tempos foram obtidos pelo modelo MFAPSC, unicamente.

Os tempos de execuc¸˜ao do modelo MFDR na resoluc¸˜ao do problema em programac¸˜ao linear inteira foram menores que os obtidos pelos modelos MFAP e MFAPSC para as instˆancias com 20 clientes, mas como as soluc¸˜oes obtidas por este correspondem apenas limites inferiores, n˜ao foi considerado na comparac¸˜ao anterior.

Em relac¸˜ao `a resoluc¸˜ao das respetivas relaxac¸˜oes lineares, os tempos obtidos foram superiores para as instˆancias com 40 clientes. Para os modelos MFAP e MFAPSC o aumento n˜ao foi muito significativo, contudo para os modelos MFDP e MFDR os aumentos foram de praticamente 500 e 170 segundos, respetivamente.

Cap´ıtulo 4. Experiˆencia Computacional 42

As m´edias obtidas pelo modelo MFDP foram praticamente de 500 segundos. Isto aconteceu porque o modelo n˜ao conseguiu, na maioria das instˆancias, encontrar a soluc¸˜ao ´otima da relaxac¸˜ao linear no tempo limite estabelecido. Estas m´edias foram superiores `as obtidas pelo respetivo modelo na resoluc¸˜ao do problema inteiro.

De seguida, pretende-se analisar os gaps obtidos por cada um dos modelos para as instˆancias com 20 clientes e com 40 clientes. Para isso ´e disponibilizada a tabela 4.11, onde para os modelos MFAP, MFAPSC e MFDP s˜ao considerados os gaps das correspondentes colunas GAP e, para o modelo MFDR, os da coluna GAPM S.

Nesta tabela, na primeira coluna ´e indicado o respetivo modelo e nas seguintes colunas s˜ao apresentados os correspondentes gaps m´edios. Para cada modelo, a primeira linha refere-se `as instˆancias com matriz de custo assim´etrica e, a segunda linha, correspondem `as instˆancias com matriz de custos sim´etrica.

Tabela 4.11: Comparac¸˜ao dos gaps dos quatro modelos para instˆancias com 20 e 40 clientes para o per´ıodo de dois dias

20 clientes 40 clientes MFAP 4.29% 1.80% 17.25% 15.99% MFAPSC 4.06% 1.20% 10.36% 9.26% MFDP 1.34% 0.50% 0.36% 0.24% MFDR 0.96% 0.42% 0.24% 0.13%

Contrariamente ao que aconteceu com os tempos de execuc¸˜ao, os gaps obtidos pelos v´arios modelos s˜ao inferiores nas instˆancias com 40 clientes do que nas instˆancias com 20 clientes. Os gaps das instˆancias com 40 clientes diminuem para praticamente metade face `as instˆancias com 20 clientes.

Nos dois casos os melhores valores s˜ao obtidos pelo modelo MFDR e os piores pelo modelo MFAP, tanto para as instˆancias com matriz de custos assim´etrica como sim´etrica.

Por fim, pretende-se analisar a performance do modelo MFDR individualmente, em termos dos seus tempos de execuc¸˜ao na resoluc¸˜ao do problema inteiro e na resoluc¸˜ao da respetiva relaxac¸˜ao linear e, dos gaps entre as soluc¸˜oes destes dois tipos de problemas dado pelo GAPLP.

Na tabela 4.10 s˜ao apresentados os tempos m´edios de execuc¸˜ao de cada modelo na resoluc¸˜ao do pro- blema linear inteiro e na resoluc¸˜ao da respetiva relaxac¸˜ao linear, para as duas dimens˜oes do conjunto de clientes consideradas. Desta ´e poss´ıvel verificar que os tempos m´edios de execuc¸˜ao deste modelo au- mentam bastante quando se aumenta a dimens˜ao do conjunto de clientes. Este aumento ´e mais not´orio na resoluc¸˜ao da relaxac¸˜ao linear, sendo os tempos de execuc¸˜ao deste problema para o conjunto de instˆancias com mais clientes superiores aos do problema inteiro.

Enquanto que, os tempos de execuc¸˜ao deste modelo n˜ao aumentam com o aumento da dimens˜ao do per´ıodo de planeamento, pois neste modelo, como j´a se viu, os dias do per´ıodo n˜ao s˜ao diferenciados.

Cap´ıtulo 4. Experiˆencia Computacional 43

Quando se aumenta a dimens˜ao do conjunto de clientes, j´a n˜ao se verifica o mesmo. Ali´as, como este modelo ´e baseado no Modelo de Fluxo Desagregado, assim como o modelo MFDP, os aumentos dos tempos de execuc¸˜ao destes modelos quando se aumenta a dimens˜ao do conjunto de clientes ´e bastante superior `a dos outros dois modelos. Isto porque, os outros dois modelos s˜ao baseados no Modelo de Fluxo Agregado, onde o fluxo ´e representado atrav´es de muito menos vari´aveis.

Para analisar os gaps m´edios entre as soluc¸˜oes inteiras obtidas a partir da resoluc¸˜ao do problema linear inteiro e as soluc¸˜oes da respetiva relaxac¸˜ao linear, ´e disponibilizada a tabela 4.16. Nesta s˜ao apresentados os respetivos gaps m´edios, para cada uma das dimens˜oes do conjunto de clientes. A primeira linha refere- se `as instˆancias com matriz de custo assim´etrica e, a segunda linha, corresponde `as instˆancias com matriz de custos sim´etrica.

Tabela 4.12: Comparac¸˜ao do GAPLP, do modelo MFDR, para instˆancias com 20 e 40 clientes para o per´ıodo de dois dias

20 clientes 40 clientes Assim´etricas 0.38% 0.08%

Sim´etricas 0.12% 0.06%

Como ´e poss´ıvel verificar atrav´es da tabela anterior, os GAPLPs˜ao bastantes pequenos e insignificantes,

principalmente para as instˆancias com maior n´umero de clientes. O gap m´edio mais elevado foi de 0.38%, nas instˆancias com 20 clientes e matriz de custos assim´etrica.

Assim, verifica-se que a relaxac¸˜ao linear do modelo MFDR produz soluc¸˜oes com valores muito idˆenticos aos das soluc¸˜oes inteiras obtidas tamb´em atrav´es deste modelo. Contudo, j´a se viu que os tempos de execuc¸˜ao do problema inteiro s˜ao menores aos da respetiva relaxac¸˜ao linear e, sendo que um obt´em uma soluc¸˜ao inteira e o outro n˜ao, acaba por n˜ao se tornar eficiente resolver a relaxac¸˜ao linear do modelo MFDR.