Modelos para o Problema do Caixeiro Viajante Periódico

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2018

UNIVERSIDADE DE LISBOA

FACULDADE DE CIÊNCIAS

DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

Modelos para o Problema do Caixeiro Viajante Periódico

Ana Margarida Garcia Crespo

Mestrado em Estatística e Investigação Operacional

Especialização em Investigação Operacional

Dissertação orientada por:

Professor Doutor Luís Eduardo Neves Gouveia

Professora Doutora Ana Maria Duarte Silva Alves Paias

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Em primeiro lugar quero agradecer aos meus orientadores, o Professor Doutor Lu´ıs Eduardo Neves Gouveia e a Professora Doutora Ana Maria Duarte Silva Alves Paias, por toda a sua disponibilidade, apoio demonstrado e partilha de conhecimentos, na elaboração da presente dissertação. Foi uma honra. Em segundo lugar quero agradecer a minha fam´ılia, em especial aos meus pais e irmã, a quem lhes devo a pessoa que sou hoje e representam um s´ımbolo de motivação e força para alcançar os objetivos propostos.

Por fim, agradeço a pessoa que mais me acompanhou durante esta dissertação, o meu namorado. Agradeço-lhe por me incentivar e acreditar mais em mim que eu própria.

Esta dissertação foi financiada por fundos nacionais da FCT - Fundação para a Ciência e a Tecnologia, ao abrigo do projecto: PTDC/MAT-NAN/2196/2014”.

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Resumo

Dado um per´ıodo de planeamento de alguns dias e um conjunto de clientes que devem ser visitados em um ou mais dias no respetivo per´ıodo, o Problema do Caixeiro Viajante Periódico (PTSP) consiste em determinar uma rota para cada dia, com in´ıcio e fim num determinado depósito, garantindo que todos os clientes são visitados o número de vezes requeridas. Conhecendo os custos de deslocação entre cada par de clientes e entre cada cliente e o depósito e, sabendo quantas visitas devem ser realizadas a cada cliente, sendo que um cliente só pode ser visitado uma vez por dia, pretende-se que as rotas minimizem o custo total.

O PTSP é uma variante do clássico Problema do Caixeiro Viajante (TSP), onde a este é associado o per´ıodo de planeamento. Caso o per´ıodo tenha apenas um dia e todos os clientes tenham que ser visitados uma vez, o PTSP reduz-se ao TSP e, portanto, também pertence à classe de problemas NP-dif´ıcil, sendo um problema de resolução exata dif´ıcil.

No problema considerado todas as combinações de dias poss´ıveis para as visitas dos clientes são ad-miss´ıveis, mas nesta dissertação será também considerada uma variante do problema. Esta consiste em que as visitas de alguns clientes sigam uma determinada pol´ıtica de visitas, fazendo com que o número de combinações de visitas aceites para o cliente, diminuam.

Nesta dissertação foram desenvolvidos quatro modelos: três modelos para o PTSP e um modelo para o PTSP relaxado. Destes modelos dois foram baseados no Modelo de Fluxo Agregado (MFA) e os outros dois baseados no Modelo de Fluxo Desagregado (MFD). Pretende-se comparar os modelos em termos de eficiência na obtenção de soluções ótimas bem como na qualidade da respetiva relaxação linear.

Para comparar os modelos foram utilizadas tanto instâncias retiradas da literatura como novas instâncias geradas aleatoriamente, com um número de clientes a variar entre 20 e 47. Na experiência computaci-onal consideraram-se matrizes de custos assimétricas e simétricas e variados padrões de visitas. Foram realizados testes para os per´ıodos de dois, três e quatro dias.

No caso da variante do problema, consideraram-se também diversas distribuições para as regras de visitas e resolveu-se a mesma, para os per´ıodos de planeamento de três e quatro dias.

Palavras-chave: Probema do Caixeiro Viajante Periódico, Modelos Exatos, Relaxação Linear, Matrizes Assimétricas e Simétricas

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Abstract

Given a planning period of a several days and a set of clients that should be visited in one or more days in the respective period, knowing the travel costs between each pair of clients and between each client and the deposit, and knowing how many visits must be made to each client, since a customer can only be visited once a day, the Period Traveling Salesman Problem (PTSP) consists of determining a set of routes of minimum total cost, one for each day, and ensuring that all customers are visited the required number of times.

PTSP is a variant of the Traveling Salesman Problem (TSP). If the period has only one day, the PTSP reduces to the TSP and therefore also belongs to the problem class of NP-hard problems.

The PTSP considers all combinations of possible days for the visits of the clients as being admissible, but in this dissertation, a variant where some rules will be imposed that will reduce the number of combinations accepted will be also studied.

In this dissertation four models were developed: three models for PTSP and one model for relaxed PTSP. These two models were based on the Aggregate Flow Model (MFA) and the other two were based on the Disaggregated Flow Model (MFD). The models are compared in terms of efficiency in obtaining the optimal solutions as well as in the quality of their linear relaxations.

To compare the models, instances from the literature and new randomly generated instances are used, with a number of customers ranging from 20 to 47. In the computational experiment were considered matrices of asymmetric and symmetrical costs and varied patterns of visits. Tests were performed for periods of two, three and four days.

In the case of the variant of the problem where some rules are imposed, several distributions for the visiting rules were also considered and resolved for the three and four day planning periods.

Keywords: Period Traveling Salesman Problem, Exact Models, Linear Relaxation, Asymmetric and Symmetric Matrix

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´Indice

Lista de Figuras x

Lista de Tabelas xii

1 Introduc¸˜ao 1

2 Revis˜ao Bibliogr´afica 5

2.1 Problema do Caixeiro Viajante (TSP) . . . 5

2.2 Problema do Caixeiro Viajante Peri´odico (PTSP) . . . 7

3 Modelos em PLI 11 3.1 Definic¸˜ao do Problema . . . 11

3.2 Formulac¸˜oes . . . 11

3.2.1 Modelo de Fluxo Agregado Peri´odico (MFAP) . . . 12

3.2.2 Modelo de Fluxo Agregado Periódico com Restrições de Sub-circuitos (MFAPSC) 13 3.2.3 Modelo de Fluxo Desagregado Periódico (MFDP) . . . 14

3.2.4 Modelo de Fluxo Desagregado Relaxado (MFDR) . . . 15

3.3 Variante do Problema . . . 17

3.3.1 Variante de Per´ıodo de 3 dias . . . 18

3.3.2 Variante de Per´ıodo de 4 dias . . . 18

4 Experiˆencia Computacional 19 4.1 Instˆancias de Teste . . . 19

4.1.1 Custos de Deslocac¸˜ao . . . 19

4.1.2 Visitas . . . 20

4.1.3 Regras . . . 21

4.2 Comparac¸˜ao dos Modelos . . . 21

4.2.1 Resultados Computacionais - Instˆancias com 20 Clientes . . . 22

4.2.2 Resultados Computacionais - Instˆancias com 40 Clientes . . . 31

4.2.3 Comparações dos Resultados para Várias Dimensões de Per´ıodo . . . 34

4.2.4 Comparações dos Resultados para Várias Dimensões do Conjunto de Clientes . . 40

4.2.5 Considerac¸˜oes Finais . . . 43

4.3 Testes Computacionais das Instˆancias com Matriz de Custos de Testes da Literatura . . . 44

4.4 Testes Computacionais da Variante do Problema . . . 47 vii

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4.4.1 Resultados Computacionais - Variante de Per´ıodo de 3 Dias . . . 48 4.4.2 Resultados Computacionais - Variante de Per´ıodo de 4 Dias . . . 51 4.4.3 Comparac¸˜ao da Variante do Problema para os Dois Per´ıodos de Planeamento . . 53

5 Conclus˜oes 57

5.1 Conclus˜oes Principais . . . 57 5.2 Trabalho Futuro . . . 60

Referˆencias 65

A Resultados Completos 67

A.1 Resultados obtidos com vista à comparação dos modelos - instâncias com 20 clientes . . 68 A.1.1 Resultados para o per´ıodo de 2 dias . . . 68 A.1.2 Resultados para o per´ıodo de 3 dias . . . 71 A.1.3 Resultados para o per´ıodo de 4 dias . . . 74 A.2 Resultados obtidos com vista à comparação dos modelos - instâncias com 40 clientes . . 78 A.3 Resultados obtidos para as instâncias com matriz de custos de testes da literatura . . . . 81 A.4 Resultados obtidos para a variante do problema . . . 82 A.4.1 Resultados para a variante com per´ıodo de 3 dias . . . 83 A.4.2 Resultados para a variante com per´ıodo de 4 dias . . . 84

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Lista de Figuras

1.1 Matriz de Custos de Deslocação . . . 1 1.2 Vetor de Visitas dos Clientes . . . 1 1.3 Representação da solução ótima do Exemplo 1 . . . 2 4.1 Comparação dos gaps para as matrizes de custos assimétricas e simétricas em instâncias

com 20 clientes e per´ıodo de 2 dias . . . 24 4.2 Comparação dos gaps para as matrizes de custos assimétricas e simétricas em instâncias

com 40 clientes e per´ıodo de 2 dias . . . 33 4.5 Comparação da percentagem de instâncias, com matriz de custos assimétrica e simétrica,

resolvidas pelos modelos MFAP, MFAPSC e MFDP nos per´ıodos de dois, três e quatro dias . . . 34 4.6 Comparação dos tempos de execução, na resolução do problema inteiro, obtidos por cada

modelo, para cada tipo de per´ıodo e para os dois tipos de matrizes . . . 35 4.7 Comparação dos tempos de execução, na resolução da relaxação linear, obtidos por cada

modelo, para cada tipo de per´ıodo e para os dois tipos de matrizes . . . 36 4.8 Comparação dos tempos de execução, na resolução da relaxação linear, obtidos pelos

modelos MFAP, MFAPSC e MFDR, para cada tipo de per´ıodo e para os dois tipos de matrizes . . . 37 4.9 Comparac¸˜ao dos gaps obtidos por cada modelo em cada tipo de per´ıodo, para os dois

tipos de matrizes . . . 38 4.10 Comparação dos tempos de execução, na resolução do problema inteiro e na resolução

da relaxação linear do modelo MFDR, para cada tipo de per´ıodo e matriz de custos . . . 39 4.11 Comparação das médias dos gaps entre a solução do problema inteiro e da relaxação

linear do modelo MFDR para cada tipo de per´ıodo e matriz de custos . . . 39 4.12 Comparação do número de soluções ótimas encontradas pelos modelos MFAP, MFAPSC

e MFDP, nas instâncias com 20 e 40 clientes, no per´ıodo de dois dias . . . 40 4.13 Comparação dos gaps obtidos, nos vários conjuntos de instâncias, pelos modelos MFAP

e MFAPSC . . . 50 4.14 Comparação dos gaps obtidos, nos vários conjuntos de instâncias, pelo modelo MFAPSC 52

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4.15 Comparação da percentagem de instâncias resolvidas até à otimalidade pelo modelo MFAPSC em cada tipo de per´ıodo para a variante do problema . . . 53 4.16 Comparação dos tempos de execução obtidos pelo modelo MFAPSC na resolução do

problema inteiro, para os dois tipos de per´ıodo . . . 54 4.17 Comparação dos tempos de execução obtidos pelo modelo MFAPSC na resolução da

relaxação linear, para os dois tipos de per´ıodo . . . 55 4.18 Comparação dos gaps obtidos pelo modelo MFAPSC nos vários conjuntos de instâncias

e para os dois tipos de per´ıodo de planeamento . . . 56

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Lista de Tabelas

4.1 Número de padrões de visitas associado a cada matriz de custos . . . 20 4.2 Comparação dos modelos MFAP e MFAPSC para instâncias com 20 clientes e per´ıodo

de 2 dias . . . 23 4.3 Comparação dos modelos MFDP e MFDR para instâncias com 20 clientes e per´ıodo de

2 dias . . . 23 4.4 Comparação dos modelos MFAP e MFAPSC para instâncias com 20 clientes e per´ıodo

2 dias . . . 32 4.10 Comparação dos tempos de execução dos quatro modelos para instâncias com 20 e 40

clientes para o per´ıodo de dois dias . . . 41 4.11 Comparação dos gaps dos quatro modelos para instâncias com 20 e 40 clientes para o

per´ıodo de dois dias . . . 42 4.12 Comparação do GAPLP, do modelo MFDR, para instâncias com 20 e 40 clientes para o

per´ıodo de dois dias . . . 43 4.13 Comparação dos modelos MFAP e MFAPSC para instâncias da literatura e per´ıodo de 2

dias . . . 45 4.14 Intervalos de variação dos custos de deslocação de cada um dos testes considerado . . . 46 4.15 Comparação dos modelos MFAP e MFAPSC para instâncias com 40 clientes e per´ıodo

de 3 dias . . . 49 4.16 Resultados do modelo MFAPSC para instˆancias com 40 clientes e per´ıodo de 4 dias . . . 51 5.1 Pontos positivos e negativos de cada modelo . . . 58 A.1 Resultados obtidos pelos modelos MFAP e MFAPSC para as instˆancias com 20 clientes

e per´ıodo de 2 dias . . . 68 xi

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A.2 Resultados obtidos pelos modelos MFDP e MFDR para as instˆancias com 20 clientes e per´ıodo de 2 dias . . . 69 A.3 Resultados obtidos pelos modelos MFAP e MFAPSC para as instˆancias com 20 clientes

e per´ıodo de 3 dias . . . 71 A.4 Resultados obtidos pelos modelos MFDP e MFDR para as instˆancias com 20 clientes e

per´ıodo de 3 dias . . . 72 A.5 Resultados obtidos pelos modelos MFAP e MFAPSC para as instˆancias com 20 clientes

per´ıodo de 4 dias . . . 76 A.7 Resultados obtidos pelos modelos MFAP e MFAPSC para as instˆancias com 40 clientes

per´ıodo de 2 dias . . . 80 A.9 Resultados obtidos pelos modelos MFAP e MFAPSC para as instˆancias com matriz de

custos de testes da literatura e per´ıodo de 2 dias . . . 81 A.10 Resultados obtidos pelos modelos MFAP e MFAPSC para a variante do problema com

per´ıodo de 3 dias . . . 83 A.11 Resultados obtidos pelo modelo MFAPSC para a variante do problema com per´ıodo de

4 dias . . . 85

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Cap´ıtulo 1

Introduc¸˜ao

Hoje em dia existem diversas entidades que disponibilizam enfermeiros ao domicilio, possibilitando que qualquer pessoa usufrua de serviços de enfermagem nas suas habitações.

Supondo que um enfermeiro tem de visitar cinco pessoas num per´ıodo de dois dias. Saindo de um determinado local e voltando, ao mesmo, ap´os realizar todas as visitas, este pretende que as suas visitas sejam realizadas de modo a demorar o menor tempo poss´ıvel em viagens.

Designando por depósito, o local onde o enfermeiro se encontra, por clientes, o conjunto de pessoas que devem ser visitadas pelo enfermeiro e, por custos de deslocação, o custo da viagem entre dois locais. O exemplo traduz-se em determinar as duas rotas de custo total m´ınimo, com in´ıcio e fim no depósito, garantindo que os todos os clientes são visitados o número de vezes requeridas. Considerem-se as seguintes matrizes representativas do Exemplo 1:

Figura 1.1: Matriz de Custos de Deslocac¸˜ao

Figura 1.2: Vetor de Visitas dos Clientes

Na figura 1.1 estão representados os custos de deslocação entre cada par de locais. A primeira li-nha/coluna é correspondente ao depósito, e as restantes 5 linhas/colunas correspondentes aos clientes. Esta matriz de custos é assimétrica, mas futuramente também serão considerados casos com matriz simétrica. Na figura 1.2 é indicado quantas visitas devem ser feitas a cada um dos nodos clientes, sendo que cada cliente só pode ser visitado no máximo uma vez por dia. Os clientes 1, 3 e 5 devem ser visitados uma vez, enquanto que os clientes 2 e 4 devem ser visitados duas vezes. Como o per´ıodo tem dois dias, os clientes 2 e 4 estarão presentes nas duas rotas.

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Cap´ıtulo 1. Introduc¸˜ao 2

A solução ótima do Exemplo 1 é constitu´ıda pelas seguintes rotas: a rota do primeiro dia é {0, 2, 4, 5, 0} e a rota do segundo dia é {0, 3, 4, 1, 2, 0}, sendo que o nodo 0 representa o depósito. Esta solução tem um custo total de 333 u.m. e está representada na figura 1.3.

Figura 1.3: Representação da solução ótima do Exemplo 1

O Exemplo 1 é resolvido de forma ótima facilmente, contudo quando se considera um exemplo de maior dimensão, a resolução deste pode não ser tão fácil. A determinação de uma solução implica definir quais os dias do per´ıodo em que cada pessoa deve ser visitada e definir a ordem pela qual as visitas devem ser feitas. Estas duas fases na determinação de uma solução fazem com que existam muitas soluções e a procura pela melhor solução não seja fácil.

A área de Investigação Operacional tem como objetivo a determinação de soluções ótimas ou próximas da ótima, de problemas deste género. Estas soluções são encontradas através da resolução de modelos matemáticos representativos dos problemas. O exemplo anterior é um exemplo representativo do pro-blema, designado em Investigação Operacional, como Problema do Caixeiro Viajante Periódico (PTSP).

Dado um determinado per´ıodo de dias, um conjunto limitado de clientes e um depósito. Cada cliente requer um determinado número de visitas no per´ıodo, mas só pode ser visitado no máximo uma vez por dia. Além disso, sabe-se os custos de deslocação entre cada par de clientes e entre cada cliente e o depósito. O objetivo do PTSP consiste em determinar uma rota para cada dia, tal que:

- O ponto de partida e de chegada de cada rota ´e o dep´osito;

- As visitas realizadas a cada cliente no final do per´ıodo devem corresponder ao n´umero de visitas requeridas por estes;

- O custo total, dado pela soma dos custos de deslocac¸˜ao de cada rota, seja m´ınimo.

Como já foi visto, este problema pode ser modelado através de um grafo orientado, onde o depósito e os clientes são representados através de nodos e a possibilidade de viagens entre estes é representada por arcos. Assumindo esta representação, uma rota corresponde a um circuito no grafo e, portanto, uma solução do problema irá corresponder a um conjunto de circuitos, um por cada dia do planeamento.

Esta dissertação foca-se no estudo de métodos exatos quer na variante do PTSP onde, embora se saiba o número de vezes que cada cliente tem de ser visitado, não são definidos os dias no per´ıodo em que estas

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Cap´ıtulo 1. Introduc¸˜ao 3

visitas devem ocorrer, quer na variante onde é considerada uma pol´ıtica de visitas dos clientes, onde nem todos os dias são admitidos para as visitas de alguns clientes. Para este estudo foram desenvolvidos quatro modelos, dos quais três modelam o problema original e outro modela a relaxação do mesmo. Estes modelos serão utilizados para resolver variadas instâncias de teste, de modo a avaliar as respetivas performances.

Após a introdução da dissertação, é apresentado o clássico Problema do Caixeiro Viajante (TSP), bem como várias variantes conhecidas do mesmo. Ainda neste cap´ıtulo, é feita uma caracterização do PTSP, problema em estudo nesta dissertação e, é feita uma revisão bibliográfica do mesmo. Por fim, neste cap´ıtulo são também apresentadas algumas variantes do PTSP.

No cap´ıtulo 3 começa-se por definir o problema e apresenta-se as quatro formulações em programação linear inteira (PLI) desenvolvidas para o mesmo. Ainda neste cap´ıtulo é definida uma variante do PTSP, bem como as adaptações necessárias nos modelos de modo a representarem o novo problema.

No cap´ıtulo seguinte são apresentados os resultados da experiência computacional efetuada para as instâncias de referência consideradas, também apresentadas neste cap´ıtulo. Neste são também apre-sentadas algumas comparações retiradas a partir dos destes realizados.

Por fim, no capitulo 5 são referidas as conclusões retiradas do estudo apresentado e algumas sugestões de trabalho futuro.

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Cap´ıtulo 2

Revis˜ao Bibliogr´afica

O corrente cap´ıtulo subdivide-se em duas partes. Na primeira parte introduz-se brevemente o clássico Problema do Caixeiro Viajante (Traveling Salesman Problem – TSP) bem como de algumas variantes deste problema. Na segunda parte é apresentado o Problema do Caixeiro Viajante Periódico (Period Traveling Salesman Problem– PTSP), variante do TSP e problema em estudo nesta dissertação. Neste cap´ıtulo são também referidos alguns trabalhos que têm sido realizados em relação a este problema e apresentadas algumas variantes do mesmo.

2.1 Problema do Caixeiro Viajante (TSP)

Dado um conjunto de clientes e um depósito (e conhecidas as distâncias entre entre cada par de clientes e entre cada cliente e o depósito), o problema do caixeiro viajante consiste em determinar a rota de custo m´ınimo, com in´ıcio e fim no depósito, tal que todos os clientes são visitados uma e uma só vez.

Este problema foi introduzido por volta de 1934 por Hassler Whitney num seminário, mas só em 1954 é que foi formalmente apresentado por Dantzig, Fulkerson e Johnson [11], que escrevem a primeira formulação do problema e utilizam a mesma para resolver algumas instâncias representativas do pro-blema. Desde então, o TSP tem sido alvo de imenso estudo, tanto a n´ıvel de resoluções exatas como através de métodos de heur´ısticos e meta-heur´ısticos. Este problema já deu origem a muitos outros problemas que também têm sido fortemente estudados.

Alguns grandes grupos de problemas que surgiram a partir do TSP foram os seguintes:

– Problema do Caixeiro Viajante com Janelas Temporais (TSPTW - TSP with Time Windows); – Problema de Roteamento de Ve´ıculos (VRP - Vehicle Routing Problem);

– Problema do Caixeiro Viajante com Dependˆencias Temporais (TDTSP - Time-Dependent TSP); – Problema do Comprador Viajante (TPP - Traveling Purchaser Problem);

– Problema do Caixeiro Viajante Peri´odico (PTSP - Period TSP).

Karp em 1972 [20] provou que o TSP pertence à classe de problemas NP-dif´ıcil. Desta forma, as varian-tes deste problema, que correspondem a uma generalização do mesmo e, mais especificamente a variante em estudo nesta dissertação, também pertencem a esta classe de problemas – a classe NP-dif´ıcil.

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Cap´ıtulo 2. Revis˜ao Bibliogr´afica 6

Problema do Caixeiro Viajante com Janelas Temporais (TSPTW)

Como no TSP, pretende-se visitar um conjunto de clientes uma e uma só vez, mas neste caso a visita de um determinado cliente deve ser feita dentro da sua janela temporal. Para este problema sabe-se o custo de deslocação entre cada par de clientes e entre cada cliente e o depósito, assim como a janela temporal associada a cada cliente. Deseja-se determinar uma rota de custo m´ınimo, com in´ıcio e fim no depósito. Este problema resume-se ao TSP quando a amplitude das janelas temporais é suficientemente grande deixando de ser restritivas do problema.

Alguns trabalhos realizados sobre o TSPTW s˜ao os desenvolvidos por Dumas, Desrosiers, Gelinas e Solomon [13], por Ascheuer, Fischetti e Gr¨otschel [1] e por Gendreau, Hertz, Laporte, Gilbert e Stan [14].

Problema de Roteamento de Ve´ıculos (VRP)

Neste problema pretende-se satisfazer a procura de um conjunto de clientes a partir de uma frota de ve´ıculos que partem de um ´unico dep´osito, minimizando o custo total das rotas (uma rota corresponde ao percurso realizado por um ve´ıculo).

Este problema reduz-se ao TSP quando a frota de ve´ıculos é constitu´ıda apenas por um ve´ıculo, sendo a solução constitu´ıda apenas por uma rota que passa por todos os clientes e tem custo m´ınimo.

A descric¸˜ao feita do problema corresponde ao problema na sua forma mais simples. A partir deste podem ser formulados outros problemas, como por exemplo:

- Problema de Roteamento de Ve´ıculos com Capacidades: existem capacidades associadas aos ve´ıculos;

- Problema de Roteamento de Ve´ıculos com M´ultiplas Viagens: os ve´ıculos podem fazer mais de uma viagem;

- Problema de Roteamento de Ve´ıculos com Multiplos Dep´ositos: existe um ou mais dep´ositos; - Problema de Roteamento de Ve´ıculos com Entrega e Recolha: permite existir simultaneamente

entrega e recolha no cliente;

- Problema de Roteamento de Ve´ıculos sem Retorno: não é necessário que os ve´ıculos retornem ao depósito.

Os livros editados em 2008 por Golden, Raghavan e Wasil [16] ou por Toth e Vigo em 2002 [32] apre-sentam uma revis˜ao interessante das diversas variantes deste problema, com m´etodos exatos e heur´ısticos propostos.

Problema do Caixeiro Viajante com Dependˆencias Temporais (TDTSP)

Como acontece com o TSP, este problema consiste em determinar uma rota, com in´ıcio e fim num determinado depósito, de custo m´ınimo, garantindo que um conjunto de clientes é visitado uma e uma só vez. A diferença para o TSP é que os custos associados a cada arco varia consoante a posição em que estes se encontram na rota. Desta forma, a matriz de custo será uma matriz tridimensional, pois cada posição depende de três fatores: do nodo inicial e final do arco e da posição do respetivo arco na rota.

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Dos trabalhos realizados sobre este problema, referencia-se o realizado por Gouveia e Voss, em 1995 [18] e por Godinho, Gouveia e Pesneau, em 2014 [15].

Problema do Comprador Viajante (TPP)

Dado um conjunto de mercados e uma lista dos itens que se pretende adquirir, pretende-se determinar a rota, com in´ıcio e fim num depósito, que minimiza o custo total de deslocação e aquisição dos itens. Sabe-se o custo de deslocação entre cada par de mercados e entre o depósito e os mercados, bem como os mercados em que cada item está dispon´ıvel e o respetivo preço.

Quando em cada mercado apenas se encontra dispon´ıvel um tipo de item, para adquirir todos os itens da lista é necessário percorrer todos os mercados existentes. Se os custos de deslocação forem transfor-mados de forma a englobarem os custos de aquisição, existindo apenas custos associados à deslocação, está-se perante o TSP.

Deste problema tamb´em existem algumas variantes, como por exemplo, uma variante com capacidades onde a quantidade dispon´ıvel de cada item em cada mercado pode ser inferior `a procura e, portanto, um item pode ter que ser adquirido em mais do que um mercado.

O interesse da comunidade cientifica por este problema tem sido bastante elevado, tendo sido já de-senvolvidos vários métodos de resolução e estudadas inúmeras variantes do problema, que pretendem alargar o leque de aplicações do TPP.

Algumas referências na literatura deste problema são o trabalho realizado por Boctor, Laporte e Renaud [4] e por Teeninga e Volgenant [31], onde em ambos os artigos são desenvolvidos métodos heur´ısticos como forma de resolução. Referência-se também os artigos [17] por Gouveia, Paias e Voss e [23] por Mansini e Tocchella, onde são estudadas algumas variantes do TPP.

2.2 Problema do Caixeiro Viajante Peri´odico (PTSP)

Dado um per´ıodo de alguns dias e um conjunto de clientes que devem ser visitados em um ou mais dias no respetivo per´ıodo, o PTSP consiste em determinar uma rota, para cada dia, com in´ıcio e fim num determinado depósito, garantindo que todos os clientes são visitados o número de vezes requeridas. O objetivo consiste em minimizar o custo total das rotas.

Neste problema, sabe-se à partida o número de vezes que cada cliente tem de ser visitado no respetivo per´ıodo, sendo que cada cliente só pode ser visitado uma vez por dia. Embora se saiba o número de vezes que cada cliente tem de ser visitado, não são definidos os dias no per´ıodo em que estas visitas devem ocorrer. Para além do número de visitas de cada um dos clientes, conhece-se também os custos de deslocação entre cada par de clientes e entre cada cliente e o depósito.

Uma solução para o PTSP define um conjunto de rotas (uma rota para cada dia do per´ıodo), tal que o conjunto de clientes é visitado o número de vezes requeridas no total das rotas definidas. Cada solução tem um custo associado, resultante da soma dos custos de deslocação totais de cada rota.

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Este problema reduz-se ao TSP quando o per´ıodo em questão corresponde a apenas um dia. Neste caso, a solução é composta por apenas uma rota de custo m´ınimo que passa por todos os nodos uma e uma só vez, ou seja, a rota irá corresponder a um circuito hamiltoniano.

Considere-se também o caso particular em que todos os clientes têm de ser visitados em todos os dias do per´ıodo. Como neste caso sabe-se quantos clientes vão ser visitados em cada dia (todos), a sua resolução consiste em resolver um TSP para cada dia. Como são sempre os mesmos clientes e os mesmos custos de deslocação entre eles, a solução será constitu´ıda por um conjunto de rotas iguais. Neste caso, cada rota irá também corresponder a um circuito hamiltoniano e, portanto, a solução corresponde a um conjunto de circuitos hamiltonianos.

Apesar da primeira referência a este problema já contar com mais de 30 anos, existe apenas um pequeno número de trabalhos sobre este. Para além disso, os estudos centram-se na resolução do problema através de métodos heur´ısticos. A resolução do problema através de métodos exatos foi estudada em apenas dois artigos, onde o per´ıodo considerado era de somente dois dias.

O PTSP foi inicialmente introduzido por Christofides e Beasley [9] em 1984, como forma de encontrar soluções aproximadas para o Problema de Roteamento de Ve´ıculos Periódico (Period Vehicle Routing Problem - PVRP). Este problema corresponde ao PTSP quando se considera que existe mais de um ve´ıculo para satisfazer o conjunto de clientes. Desta forma, quando se tem o caso particular do PVRP com apenas um ve´ıculo, está-se perante o PTSP.

Christofides e Beasley apresentam o problema de forma análoga à considerada nesta dissertação, consi-derando, à partida, que cada cliente deve ser visitado num subconjunto de dias especifico. Por exemplo, para um per´ıodo de quatro dias, alguns clientes podem requisitar apenas uma visita, que pode ser feita em qualquer dos quatro dias, enquanto que para clientes que peçam duas visitas, estas só poderão ser realizadas nos dias 1 e 3 ou 2 e 4, correspondendo apenas a duas das seis combinações poss´ıveis para as visitas do respetivo cliente.

Christofides e Beasley desenvolvem uma heur´ıstica para o problema e utilizam o PTSP como forma de avaliar alterações na solução quando se procede a trocas nas combinações de dias de visita dos clientes.

Mais tarde, em 1992, Paletta [24] apresenta o problema como um Problema do Caixeiro Viajante de Multi-Per´ıodo (Multiperiod Traveling Salesman Problem - MPTSP), onde um conjunto de cidades deve ser visitado com uma certa periodicidade. Isto é, cada cidade deve ser visitada pelo menos uma vez durante um respetivo intervalo de dias. Nesta abordagem são consideradas as distâncias (simétricas) entre cidades e pretende-se determinar as rotas que minimizam a distância total.

Paletta desenvolveu duas heur´ısticas que utilizam um procedimento de procura do caminho mais curto numa rede em n´ıveis. As duas heur´ısticas diferem apenas num passo de selec¸˜ao.

As heur´ısticas desenvolvidas foram utilizadas para resolver 10 instâncias, apresentadas em [9]. Os resul-tados obtidos pelas duas heur´ısticas foram comparados com os melhores resulresul-tados obtidos por Christo-fides e Beasley. Uma das novas heur´ısticas obteve melhores resultados num maior número de testes, mas o tempo computacional é muito superior ao obtido pela outra heur´ıstica, que não apresenta resultados muito afastados. Ou seja, a qualidade das soluções obtidas pelas heur´ısticas é muito semelhante mas uma

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heur´ıstica apresenta tempos computacionais melhores. De qualquer modo, o melhor resultado entre as duas heur´ısticas ´e melhor que os resultados obtidos por Christofides e Beasley, no total dos 10 testes.

Em 1995, Chao, Golden e Wasil [8] propõem uma nova heur´ıstica para o PTSP. O problema é apre-sentado de forma idêntica a [9], sendo que também não são consideradas todas as combinações de dias poss´ıveis para as visitas dos clientes. Por exemplo, para um per´ıodo de 5 dias e um cliente com 3 visi-tas, as combinações de dias permitidas, isto é, os dias em que o cliente pode ser visitado, são apenas as combinações (dia 1, dia 3, dia 5), ( dia 1, dia 2, dia 4) ou (dia 2, dia 4, dia 5).

Os autores desenvolveram uma heur´ıstica que a partir de uma solução inicial, onde a cada cliente é associada uma combinação de dias das admitidas, é realizada uma etapa de melhoramento. Nesta etapa é alterada, para cada cliente, a combinação de dias considerada para outra admitida e é verificada a alteração provocada por esta troca de dias. Se a alteração provocar uma redução da distância total ou aumentar a distância total até a um valor limite, é assumida a alteração na solução, caso contrário será considerada a combinação de dias inicial. Este processo de melhoramento é denominado de record-to-recorde foi introduzido por Dueck [12].

A heur´ıstica desenvolvida foi testada em 23 instâncias, das quais 10 são as propostas em [9] e, 13 foram desenvolvidas pelos próprios. No total dos testes realizados concluiu-se que a heur´ıstica produz bons resultados num tempo computacional relativamente curto.

Butler, Williams e Yarrow [5] introduzem o PTSP com per´ıodo de dois dias, aplicado à recolha de leite. Os autores sugerem uma formulação para o problema em programação linear inteira (PLI) para resolver uma instância de 42 nodos, com distâncias simétricas.

Uma meta-heur´ıstica baseada no método de tabu search foi desenvolvida por Cordeau, Gendreau e La-porte [10], para resolver três problema: o problema de roteamento de ve´ıculos periódico (PVRP), o problema do caixeiro viajante periódico(PTSP) e o problema de roteamento de ve´ıculos com múltiplos depósitos(MDVRP).

Os autores começam por apresentar uma formulação em programação linear inteira para o PVRP e mostram como esta se pode adaptar para os outros dois problemas. De seguida, é apresentado o algoritmo de tabu search.

A heur´ıstica foi utilizada para resolver instâncias para os três problemas. Em relação ao PTSP foram resolvidas 23 instâncias, das quais 10 são as apresentadas em [9] e 13 em [8]. Os resultados obtidos foram comparados com os resultados obtidos por Christofides and Beasley [9], Paletta [24] e Chao, Golden e Wasil [8], sendo que a meta-heur´ıstica desenvolvida obteve os melhores resultados. Esta obteve, em todas as instâncias, as soluções de menor valor num tempo computacional reduzido.

Paletta em [25] propõe uma outra heur´ıstica para o PTSP baseada num procedimento de melhoramento incorporado num processo de construção de rotas. Duas heur´ısticas, semelhantes à desenvolvida em [25], foram propostas por Bertazzi, Paletta e Speranza [3] e Paletta e Triki [26].

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agente tem de visitar um conjunto de clientes periodicamente, sendo que essa periodicidade depende do n´umero e da frequˆencia dos pedidos.

Este problema foi considerado, mais uma vez, para um per´ıodo de dois dias, onde alguns clientes re-querem visitas nos dois dias e, os restantes, apenas num dos dias. É também imposta uma restrição que obriga a que a diferença entre o número de clientes que é visitado em cada dia, não seja maior que um dado valor. No estudo foram considerados apenas os valores zero e um, ou seja, apenas os casos em que as duas rotas têm o mesmo número de clientes ou diferem em apenas um cliente.

Bassetto e Mason propõem uma formulação em programação linear inteira para o PTSP e desenvolvem três heur´ısticas. Os autores constru´ıram 70 instâncias, com distâncias euclidianas entre cada par de nodos: 10 instâncias, de 15 nodos que foram resolvidas quer pelo do método exato quer pelas três heur´ısticas e, 60 instâncias, de 48 nodos que foram resolvidas apenas usando as heur´ısticas. Tanto a performancedo método exato, como das três heur´ısticas é avaliada apenas em termos da qualidade da solução encontrada, não sendo apresentados nem comparados os tempos de execução.

Algumas variantes do PTSP

Uma variante que tem sido alvo de muito interesse é o Problema do Caixeiro Viajante Consistente (CTSP) ou para o grupo de problemas de ve´ıculos, o Problema de Roteamento de Ve´ıculos Consistente (CVRP). Este problema considera um determinado horizonte de planeamento e caracteriza-se por fornecer um serviço consistente a um determinado conjunto de clientes. Num per´ıodo de vários dias, cada cliente pode requerer serviço num ou mais dias, sendo que a exigência de serviço consistente aplica-se apenas aos clientes que requerem serviço em mais de um dia. Um serviço é consistente quando se garante que as visitas de um determinado cliente, do conjunto de clientes com mais de uma visita, são realizadas mais ou menos na mesma altura do dia para todo os seus dias de visita. No CVRP esta consistência pode ainda ser estendida para o condutor do ve´ıculo, onde se pretende garantir que um cliente é sempre visitado pelo mesmo condutor.

Algumas referˆencias destes problemas s˜ao os artigos [21] e [22] de Kovacs, Golden, Hartl e Parragh e o artigo [30] de Subramanyam e Gounaris.

Uma outra variante do PTSP que já foi mencionada nesta dissertação é o Problema de Roteamento de Ve´ıculos Periódico (PVRP). Como já foi dito, este problema generaliza o PTSP para o caso onde existe mais de um ve´ıculo para visitar os clientes, ou seja, está dispon´ıvel uma frota de ve´ıculos, geralmente ilimitada, no depósito. Neste problema, é também considerado que os ve´ıculos têm certas capacidades e os clientes têm uma determinada procura que tem de ser satisfeita.

Esta variante tem sido mais estudada do que a considerada nesta dissertação, pois esta retrata um maior conjunto de problemas reais por considerar uma frota de ve´ıculos. A este problema é ainda poss´ıvel adicionar restrições de forma a ter mais aplicações práticas. Por exemplo, existência de restrições ao limite da dimensão da frota de ve´ıculos; limite da duração das rotas; possibilidade de se considerar um ou mais depósitos; entre outras.

Campbell e Wilson, em 2014 [6] apresentam algumas abordagens que foram apresentadas para o PVRP ao longo dos anos, fazendo referência a alguns dos métodos de resolução desenvolvidos e aplicações reais do mesmo.

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Cap´ıtulo 3

Modelos em PLI

Neste cap´ıtulo são apresentados os modelos propostos e estudados para resolver o PTSP. Primeiro é definido o problema e, de seguida, são apresentados os modelos desenvolvidos. Por fim, são apresentadas algumas adaptações necessárias para uma variante considerada.

3.1 Definic¸˜ao do Problema

Para um determinado conjunto de clientes e um per´ıodo definido, o PTSP consiste em determinar rotas com custo total m´ınimo, com in´ıcio e fim num depósito, que garantam que os clientes são visitados o número de vezes requeridas no respetivo per´ıodo, mas no máximo uma vez por dia.

O problema pode ser modelado através de um grafo orientado. Seja G = (N, A) um grafo orientado, onde N = {0, 1, ..., n} representa o conjunto de todos os nodos e A = {(i, j) : i, j ∈ N, i 6= j} o conjunto de arcos que ligam os nodos entre si. Considerando o nodo 0 o depósito, existem n clientes, que podem ser representados através do conjunto NC = N \ {0}.

A cada nodo i ∈ NC ´e associado um valor vique representa o n´umero de vezes que cada cliente deve ser

visitado. Assumindo que o per´ıodo tem p dias e P = {1, ..., p} representa o conjunto de dias do per´ıodo, como cada nodo s´o pode ser visitado no m´aximo uma vez por dia tem-se vi ≤ p, ∀i ∈ NC.

A cada arco (i, j) ∈ A est´a associado um custo (n˜ao negativo) cij, que corresponde ao custo de se

deslocar do nodo i para o nodo j. A matriz associada a estes custos será considerada tanto assimétrica (cij 6= cji) como simétrica (cij = cji). Nesta dissertação não será considerada alteração dos custos de

deslocac¸˜ao ao longo do per´ıodo.

Como já foi referido o objetivo do problema é determinar um conjunto de circuitos (um circuito para cada dia do per´ıodo), com in´ıcio e fim no depósito, de modo que o número de visitas de cada cliente seja satisfeito. Pretende-se que o custo total seja m´ınimo, sendo este a soma dos custos de deslocação dos vários circuitos.

3.2 Formulac¸˜oes

Nesta secção serão apresentadas as formulações, em PLI, dos quatro modelos desenvolvidos. Os modelos desenvolvidos são os seguintes:

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Cap´ıtulo 3. Modelos em PLI 12

– Modelo de Fluxo Agregado Peri´odico (MFAP);

– Modelo de Fluxo Agregado Periódico com Restrições de Sub-Circuitos (MFAPSC); – Modelo de Fluxo Desagregado Periódico (MFDP);

– Modelo de Fluxo Desagregado Relaxado (MFDR).

Note-se que o último modelo corresponde ao modelo desenvolvido para o problema relaxado, porque, neste modelo, os dias de cada per´ıodo não são diferenciados. Desta forma, o valor das soluções obti-das por este modelo relaxado, tanto na resolução do problema em programação linear inteira como na resolução da respetiva relaxação linear, fornecem limites inferiores para o problema original. Isto será explicado de forma mais detalhada na secção 3.2.4.

3.2.1 Modelo de Fluxo Agregado Peri´odico (MFAP)

Para cada par de nodos (i, j) e cada dia k considere-se as variáveis binárias xk_ij. Estas variáveis tomam o valor 1 caso o arco (i, j) esteja na rota do dia k e o valor 0, caso contrário. Assim, estas variáveis permitem definir as rotas da solução e estão definidas para todos os arcos (i, j) e todo o per´ıodo, ou seja, ∀ (i, j) ∈ A e k ∈ P .

De forma a garantir a conexidade das rotas na solução foram criadas as variáveis y_ijk, ∀ (i, j) ∈ A e k ∈ P , que representam o fluxo que passa no arco (i, j) na rota do dia k. Este fluxo representa o número de clientes que ainda vão ser visitados após o cliente j. Estas variáveis estão definidas nos mesmos conjuntos das variáveis x e tomam valores inteiros não negativos.

Recordando que cada rota deve começar e terminar no depósito (nodo 0) e todos os clientes devem ser visitados o número de vezes requeridas, o MFAP pode ser formulado da seguinte forma:

M inimizarX k∈P X (i,j)∈A cijxkij (3.1) Sujeito a : X j∈NC xk_0j = 1 ∀_k∈P (3.2) X j∈N xk_ij =X j∈N xk_ji ∀_i∈N,k∈P (3.3) X k∈P X j∈N xk_ij = vi ∀i∈NC (3.4) X j∈NC y_0jk = X (i,j)∈A xk_ij− 1 ∀_k∈P (3.5) X i∈N yk_ij−X i∈N y_jik =X i∈N xk_ij ∀j∈NC,k∈P (3.6) y_ijk ≤ nxk_ij ∀_{(i,j)∈A,k∈P} (3.7) xk_ij ∈ {0, 1} ∀_{(i,j)∈A,k∈P} (3.8) y_ijk ≥ 0 ∀_{(i,j)∈A,k∈P} (3.9)

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As restrições 3.2 garantem que todas as rotas começam no depósito. As restrições 3.3, garantem, para cada rota, que se entra um arco num determinado nodo também irá existir um arco a sair. No conjunto de restrições seguintes, 3.4, é assegurado que cada cliente é visitado, no conjunto das rotas, o número de vezes pedidas.

Os três seguintes conjuntos de restrições, 3.5 - 3.7, correspondem às restrições de fluxo garantido que cada rota corresponde a um único circuito conexo. Na primeira garante-se que o fluxo inicial de cada rota é igual ao número total de nodos que esta irá visitar, excluindo o nodo depósito. A segunda certifica-se que o fluxo diminui uma unidade sempre que passa por um nodo que é visitado na respetiva rota, com exceção do nodo do depósito. Por fim, nas restrições 3.7 assegura-se, para cada rota, que num arco só passa fluxo caso este pertença à respetiva rota na solução. Como a variável x é binária e y é não negativa, é necessário multiplicar as variáveis binárias por uma constante suficientemente grande. Neste caso, considerou-se o valor n, por corresponder ao valor mais pequeno que pode ser considerado.

Por fim, as restrições 3.8 e 3.9 definem o dom´ınio das variáveis. Como já foi mencionado, as variáveis y são variáveis de fluxo e, portanto, têm de ser inteiras, mas devido à formulação considerada, esta restrição já é imposta pelas restantes restrições, não sendo necessário considerá-lo nas restrições 3.9.

3.2.2 Modelo de Fluxo Agregado Periódico com Restrições de Sub-circuitos (MFAPSC)

O objetivo dos modelos em PLI propostos nesta dissertação é o de melhoramento das soluções obtidas pelas relaxações lineares, de modo a que estas tenham o valor mais próximo poss´ıvel das soluções ótimas. Desta forma, decidiu-se melhorar o modelo anterior adicionando desigualdades válidas.

Ao se adicionar desigualdades válidas ao modelo MFAP é poss´ıvel obter um novo modelo, equivalente ao modelo original em termos de obtenção da solução ótima inteira, mas com soluções de relaxação linear mais próximas do valor ótimo e, possivelmente, num tempo de execução menor. Estas desigual-dades melhoram o modelo na pesquisa de soluções, através do corte da região admiss´ıvel do problema, mantendo todas as soluções inteiras admiss´ıveis. As desigualdades válidas que serão introduzidas ao modelo são do tipo:

X

i∈S,j∈S

xk_ij ≤ |S| − 1 ∀S ⊂ {2, ..., n} , |S| ≥ 2, k ∈ P (3.10)

Estas desigualdades foram apresentadas em [11] por Dantzig, Fulkerson, and Johnson e são conhecidas pelas restrições de eliminação de subcircuitos (Eliminate Subtours Constraints). Estas desigualdades podem ser separadas em tempo polinomial por algoritmos sofisticados de fluxo máximo.

Das desigualdades válidas anteriores serão consideras, por agora, apenas as que consideram |S| = 2, ou seja, a restrição que é introduzida na formulação considerada na secção anterior é:

xk_ij + xk_ji ≤ 1 ∀i ∈ N_C, j ∈ NC, k ∈ P (3.11)

Esta restrição significa que cada rota k contém o arco (i, j), (xk_ij = 1), ou o arco (j, i), (xk_ji = 1), ou nenhum dos dois, (xk_ij = 0 e xk_ji= 0).

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3.2.3 Modelo de Fluxo Desagregado Peri´odico (MFDP)

Este modelo é constru´ıdo da mesma forma que os modelos anteriores, considerando também dois con-juntos de variáveis: variáveis que representam o conjunto de rotas na solução e variáveis de fluxo que garantem que as rotas são circuitos conexos.

A diferença entre estes modelos é a forma como o fluxo é representado. Nos modelos anteriores, para cada rota, o fluxo é inicializado com o valor máximo que pode tomar e vai diminuindo uma unidade de cada vez até se tornar nulo. A cada arco está associada apenas uma variável de fluxo. Neste novo modelo, a cada arco pode estar associada mais do que uma variável de fluxo binária, sendo que a soma destas variáveis, para cada arco, corresponde ao fluxo dado pelas variáveis consideradas nos modelos anteriores.

Para cada par de nodos (i, j) e cada dia k definam-se as variáveis binárias xk_ij. Estas tomam o valor 1 caso o arco (i, j) pertença à rota do dia k e o valor 0, caso contrário. Estas variáveis estão definidas para todos os arcos (i, j) e para todos os dias do per´ıodo, ou seja, ∀ (i, j) ∈ A e k ∈ P .

Quanto `as vari´aveis de fluxo, defina-se f_ijtk, ∀ (i, j) ∈ A, t ∈ NC, k ∈ P , que representa a quantidade

de fluxo que passa no arco (i, j) com destino ao nodo t na rota do dia k. Neste caso, em particular, estas variáveis podem ser interpretadas como indicando se (i, j) está no caminho para t na rota do dia k, ou não. Assim, estas variáveis serão também variáveis binárias.

Mais uma vez, cada rota deve ter inicio e fim no dep´osito (nodo 0) e todos os clientes devem ser visitados o n´umero de vezes requeridas. Este modelo pode ser formulado da seguinte forma:

M inimizar 3.1 Sujeito a : 3.2 − 3.4 3.8 X t∈NC X j∈NC f_0jtk = X (i,j)∈A xk_ij − 1 ∀_k∈P (3.12) X i∈N f_ijtk−X i∈N f_jitk= 0 ∀_j,t∈N_C_{, t6=j, k∈P} (3.13) X i∈N f_ijjk−X i∈N f_jijk =X i∈N xk_ij ∀j∈NC, k∈P (3.14) X t∈NC f_ijtk ≤ nxk_ij ∀_{(i,j)∈A, k∈P} (3.15a) f_ijtk ≤ xk_ij ∀_{(i,j)∈A, t∈N}_C_{, k∈P} (3.15b) f_ijtk≥ 0 ∀_{(i,j)∈A, t∈N}_C_{, k∈P} (3.16)

Como se pode ver a parte da formulação referente às variáveis x é igual à dos modelos anteriores, isto isto porque o que difere estes modelos, como já foi referido, são apenas as variáveis de fluxo (variáveis f ).

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As restrições 3.12 – 3.14 correspondem às restrições de fluxo, garantindo que cada rota constitui um único circuito conexo. A primeira faz com que, para cada rota, saia do depósito o mesmo número de variáveis de fluxo com valor 1 como o número de clientes que irão ser visitados na respetiva rota, isto é, a soma de todas as variáveis f correspondentes aos arcos que saem do depósito será igual ao número de nodos que serão visitados nessa rota. Nas duas seguintes garante-se que o fluxo apenas diminui quando este chega ao nodo a que estava designado. O fluxo total de uma rota diminui uma unidade de cada vez, alterando o valor de uma determinada variável f de 1 para 0. A segunda parcela das restrições 3.14 (P

i∈Nfjit) é sempre nula, sendo que esta restrição pode ser substitu´ıda apenas por:

X

i∈N

f_ijjk =X

i∈N

xk_ij , ∀j∈NC, k∈P (3.17)

As restrições 3.15 asseguram, para cada rota, que num arco só passa fluxo caso este pertença à respe-tiva rota na solução. A restrição 3.15a pertence à formulação fraca do MFD enquanto que a restrição 3.15b constitu´ı o modelo forte do MFD. Nesta dissertação serão consideradas as restrições 3.15b que correspondem ao modelo forte, pois embora os dois modelos sejam equivalentes em termos de obtenção da solução ótima inteira, o modelo forte geralmente permite obter soluções de relaxação linear mais próximas do valor ótimo.

Por fim, as restrições 3.16 correspondem à restrição de dom´ınio das variáveis f . Neste caso não é necessário forçá-la a pertencer ao conjunto {0, 1}, pois se prova que em qualquer solução binária das variáveis xk_ij, as variáveis f_ijtk tomam valores binários.

Deste modelo não foi considerada uma variante com desigualdades válidas como foi considerado para o MFAP (modelo MFAPSC), pois esta formulação já implica as restrições de subcircuitos consideradas (restrições 3.11).

3.2.4 Modelo de Fluxo Desagregado Relaxado (MFDR)

Este modelo resulta do modelo MFDP retirando o ´ındice referente ao dia do per´ıodo de todas as variáveis consideradas. Desta forma, as soluções obtidas por este são representadas de forma diferente.

Nos modelos anteriores uma solução é constitu´ıda por um conjunto de rotas, sendo que a cada dia está associada uma e uma só rota. Nas soluções desta formulação, as rotas em vez de serem representadas individualmente, são representadas como um todo. Assim, nas outras formulações, as variáveis que representam a utilização dos arcos indicam, para cada dia, se um determinado arco é utilizado ou não na respetiva rota e, nesta formulação, estas variáveis indicam, para cada arco, a quantas rotas no total este pertence.

Devido a esta representação das rotas, para uma dada instância aleatória, se o modelo MFDR encontrar uma solução inteira com valor igual à solução ótima da instância, conhecida a partir da resolução dos outros modelos, esta poderá não corresponder de facto à solução ótima da respetiva instância. Isto acontece porque, não é poss´ıvel ter certeza que as rotas da solução encontradas por este modelos são as mesmas da solução ótima, uma vez que não é poss´ıvel discriminar as rotas da solução.

(32)

per´ıodo não são diferenciados. Desta forma, o valor das soluções obtidas por este modelo relaxado, tanto na resolução do problema em programação linear inteira como na resolução da respetiva relaxação linear, fornecem limites inferiores para o problema original.

O primeiro conjunto de variáveis neste modelo são as variáveis inteiras xij, ∀ (i, j) ∈ A, k ∈ P , que

representam o conjunto de arcos utilizados nas rotas da solução. Como cada rota está associada a um dia do per´ıodo e estas variáveis não têm o ´ındice referente ao dia, neste modelo as rotas são representadas de forma conjunta. Estas variáveis estão definidas para todos os arcos, isto é, para (i, j) ∈ A e irão tomar valores entre 0 e p (dimensão do per´ıodo) da seguinte forma:

– Se xij = 0, o arco (i, j) n˜ao pertence a nenhuma rota;

– Se xij = p, o arco (i, j) pertence a p rotas, ou seja, pertence a todas as rotas;

– Se xij = m com 0 < m < p, o arco (i, j) pertence a exatamente m rotas.

Em relação às variáveis de fluxo, seja f_ijt a quantidade de fluxo que passa no arco (i, j) com destino ao nodo t para todo (i, j) ∈ A e t ∈ NC. Estas variáveis tomam valores inteiros não negativos. A

quantidadeP

t∈NCf

t

ij representa a quantidade de fluxo total que passa no arco (i, j) ∈ A, no conjunto

das rotas.

Sabendo que as rotas devem começar e terminar no depósito e que todos os clientes devem ser visitados o número de vezes requeridas, o MFDR pode ser formulado da seguinte forma:

M inimizar X (i,j)∈A cijxij (3.18) Sujeito a : X j∈NC x0j = p (3.19) X j∈N xij = X j∈N xji ∀i∈N (3.20) X j∈N xij = vi ∀i∈NC (3.21) X t∈NC X j∈NC f_0jt = X i∈NC vi (3.22) X i∈N f_ijt −X i∈N f_jit = 0 ∀_j,t∈N_C_{, t6=j} (3.23) X i∈N f_ijj −X i∈N f_jij =X i∈N xij ∀j∈NC (3.24) X t∈NC f_ijt ≤ nxij ∀(i,j)∈A (3.25a) f_ijt ≤ xij ∀(i,j)∈A,t∈NC (3.25b) xij ≥ 0 e inteiros ∀(i,j)∈A (3.26) f_ijt ≥ 0 ∀_{(i,j)∈A,t∈N} C (3.27)

A função objetivo consiste em minimizar o custo total da solução, multiplicando o custo de utilização de um arco pelo o número de vezes que este é usado, ou seja, pelo número de rotas à qual este pertence. Esta

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função objetivo é traduzida em 3.18. Se os custos de utilização de um determinado arco aumentassem ou diminu´ıssem consoante os dias em que ele seria utilizado, não seria poss´ıvel formular a função objetivo com estes conjuntos de variáveis.

Nas restrições 3.19 e 3.20 garante-se que todas as rotas começam no depósito e o número de arcos que entram num determinado nodo é igual ao número de arcos que saem desse mesmo nodo, ou seja, que sempre que se entra num nodo tem de sair do mesmo. Nas restrições 3.21 é garantido que todos os nodos são visitados o número de vezes solicitadas.

O conjunto de restrições 3.22 – 3.25 correspondem às restrições de fluxo do modelo. Nas restrições 3.22 garante-se que a fluxo total das p rotas é igual ao número de visitas totais dos clientes. Nas restrições 3.23 e 3.24 restrições garante-se que fluxo apenas diminui quando este chega ao seu nodo destino. Para cada arco (i, j) ∈ A, a quantidade de fluxo que diminui quando se chega ao nodo j corresponde ao número de vezes que este arco é utilizado no total das p rotas. A segunda parcela das restrições 3.24 (P

i∈Nfjit)

é sempre nula, como no modelo anterior, sendo que esta restrição pode ser substitu´ıda apenas por: X

i∈N

f_ijj =X

i∈N

xij , ∀j∈NC (3.28)

Por fim, as restrições 3.25 obrigam a que um determinado arco seja utilizado como passagem de fluxo apenas se este pertencer à solução, ou seja, caso este pertença a alguma rota. As restrições 3.25a corres-pondem às restrições do modelo fraco enquanto que a 3.25b correscorres-pondem às do modelo forte. Nesta dissertação serão utilizadas apenas as restrições 3.25b correspondentes ao modelo forte.

As restrições 3.26 e 3.27 correspondem às restrições de dom´ınio dos dois conjuntos de variáveis garan-tindo que estas são inteiras não negativas. Nas variáveis y não é necessário dizer que é inteira porque a formulação já as obriga a isso.

3.3 Variante do Problema

Nas formulações apresentadas anteriormente não é considerada uma pol´ıtica de visitas, isto é, as visitas de um determinado cliente podem seguir uma combinação aleatória de dias. A variante do problema que será agora estudada consiste em considerar uma determinada pol´ıtica de visitas para os clientes.

A pol´ıtica de visitas que será considerada consiste em os clientes que exigem duas visitas sigam uma de duas regras: as visitas aos clientes têm de ocorrer em dias seguidos (regra 1), ou com pelo menos um dia de intervalo (regra 2). Desta forma, por exemplo para um per´ıodo de 3 dias, um cliente que requeira duas visitas, na regra 1 deve ser visitado nos dias 1 e 2 ou 2 e 3, enquanto que pela regra 2 deve ser visitado nos dias 1 e 3. Esta pol´ıtica só é admiss´ıvel para per´ıodos de planeamento com mais de dois dias.

Esta variante foi considerada apenas para os per´ıodos de planeamento com três e quatro dias, pois estes correspondem aos per´ıodos em análise nesta dissertação com mais de dois dias. Esta foi estudada em apenas algumas instâncias que foram resolvidas através dos modelos MFAP e MFAPSC. Contudo, a variante pode ser generalizada para outras dimensões de per´ıodos e para clientes com outro número de visitas, que não apenas duas.

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De forma a resolver a variante em estudo, foi necessário fazer adaptações aos modelos MFAP e MFAPSC para que estes respeitem a pol´ıtica de visitas considerada por esta. As adaptações feitas são iguais nos dois modelos e consistem na introdução de algumas restrições para cada uma das regras. As restrições introduzidas nos modelos são apresentadas para os dois per´ıodos de planeamento separadamente.

3.3.1 Variante de Per´ıodo de 3 dias

Nesta variante, um cliente que solicite duas visitas, pela regra 1 ser´a visitado nos dias 1 e 2 ou 2 e 3 e, pela regra 2 ser´a visitado nos dias 1 e 3.

Assim, pela regra 1 um cliente é visitado sempre no segundo dia e num dos outros e, pela segunda regra, um cliente nunca será visitado no segundo dia. Note-se que que na frase anterior, cliente corresponde a um cliente que exige duas visitas, pois, caso contrário, a este nem seria aplicada a pol´ıtica de visitas. Desta forma, as restrições introduzidas para cada uma das regras são as seguintes:

X j∈NC x2_ij = 1 , ∀ {i ∈ NC : vi = 2 e i segue a regra 1} (3.29) X j∈NC x2_ij = 0 , ∀ {i ∈ NC : vi = 2 e i segue a regra 2} (3.30)

Na restric¸˜ao 3.29, para o cliente i ∈ NC tal que vi = 2, obriga-se a que o segundo dia seja um dia de

visita do cliente i, enquanto que na restrição 3.30 obriga-se a que o segundo dia não faça parte dos dias de visita do cliente i.

3.3.2 Variante de Per´ıodo de 4 dias

Nesta variante de quatro dias, já existem mais combinações poss´ıveis de dias para cada uma das regras. Para a regra 1 já são poss´ıveis os dias 1 e 2, 2 e 3 ou 3 e 4 e, para a regra 2 são poss´ıveis os dias 1 e 3, 1 e 4 ou 2 e 4.

Assim, para este caso são necessários os seguintes conjuntos de restrições para cada uma das regras:      x1_ij + x3_ij ≤ 1 x1_ij + x4_ij ≤ 1 , ∀ {i ∈ NC : vi = 2 e i segue a regra 1} x2_ij + x4_ij ≤ 1 (3.31)      x1_ij + x2_ij ≤ 1 x2_ij + x3_ij ≤ 1 , ∀ {i ∈ NC : vi = 2 e i segue a regra 2} x3_ij + x4_ij ≤ 1 (3.32)

Neste caso, as restrições que se introduziram para cada uma das regras consiste em garantir que o con-junto de dias que não satisfazem a respetiva regra correspondem a uma solução não admiss´ıvel.

(35)

Cap´ıtulo 4

Experiˆencia Computacional

Neste cap´ıtulo começa-se por descrever as instâncias de testes utilizadas nesta dissertação. De seguida, são apresentados os resultados da experiência computacional realizada no âmbito desta dissertação. A par da apresentação dos resultados serão feitos alguns comentários em relação aos mesmos.

Os resultados s˜ao apresentados de forma sintetizada, pelo que todos os resultados obtidos est˜ao dis-pon´ıveis em anexo para consulta.

Para efeitos de comparação e de resolução dos modelos em estudo, foi considerado um tempo computa-cional máximo de 500 segundos de processamento. Todos os resultados apresentados foram obtidos com recurso ao software FICO Xpress IVE 1.24.18 e com um computador com o processador Inter CoreR TM2_{Duo CPU E7400 @ 2.80 GHz, com 4GB de RAM.}

4.1 Instˆancias de Teste

Uma instância de teste do problema em estudo é composta por uma matriz quadrada onde é indicado, para cada par de nodos, o respetivo custo de deslocação e, por um vetor com o respetivo padrão de visitas, ou seja, onde, para cada cliente, se indica quantas visitas este exige. As instâncias de teste correspondentes à variante do problema são também compostas por um vetor onde, para cada cliente com duas visitas, é indicado que regra da pol´ıtica de vistas (regra 1 ou regra 2) este irá seguir.

Os três conjuntos de matrizes considerados na experiência computacional serão descritos, separada-mente, de seguida.

4.1.1 Custos de Deslocac¸˜ao

A primeira matriz que compõe uma instância de teste corresponde às matrizes referentes aos custos de deslocação entre cada par de nodos. Para estas considerou-se matrizes geradas aleatoriamente, mas também algumas matrizes de custos dispon´ıveis na literatura.

O primeiro conjunto de matrizes de custos foi obtido a partir de um gerador desenvolvido no software já mencionado. O gerador criado tem como inputs o número de nodos, o intervalo de variação dos custos e a informação se a matriz será assimétrica ou simétrica. Para cada matriz, os custos de deslocação são gerados de forma aleatória, não verificando a desigualdade triangular.

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Cap´ıtulo 4. Experiˆencia Computacional 20

A partir deste gerador criaram-se instâncias de 20 e 40 clientes, ou seja, 21 e 41 nodos no total e com custos de deslocação entre 0 e 100. Para cada dimensão criaram-se 10 matrizes de custos distintas, das quais 5 são assimétricas e as outras 5 são simétricas.

O segundo conjunto de matrizes de custos consideradas nesta dissertação correspondem aos custos de deslocação de instâncias de referência para o TSP que se encontram dispon´ıveis no site [28]. Do conjunto de instâncias dispon´ıveis no site mencionado, selecionaram-se apenas 8 matrizes, de ordens entre 39 e 48 nodos. As instâncias contemplam várias caracter´ısticas, das quais se retirou apenas a matriz pretendida. Das 8 matrizes consideradas, 5 são assimétricas e 3 simétricas.

Assim, o conjunto de matrizes de custos considerado nesta dissertação é constitu´ıdo por 28 matrizes: 8 matrizes retiradas da literatura e 20 novas matrizes geradas aleatoriamente.

4.1.2 Visitas

Como já foi visto, o número máximo de visitas que podem ser feitas a um determinado cliente é igual à dimensão do per´ıodo, ou seja, a dimensão do per´ıodo considerado irá influenciar o padrão de visitas. Nesta dissertação foram considerados per´ıodos de planeamento com dois, três e quatro dias, ou seja, p ∈ {2, 3, 4}.

A cada matriz de custos associaram-se diferentes padrões de visitas originando várias instâncias com a mesma matriz de custos.

Os diferentes padrões de visitas diferem na percentagem de clientes associada a cada possibilidade de visita. Por exemplo para as instâncias com per´ıodo de planeamento com dois dias e matriz de custos gerada aleatoriamente, os padrões de visitas associados variam a percentagem de clientes com duas visitas no conjunto {0%, 20%, 40%, 50%, 60%, 80%, 100%}.

As instâncias constitu´ıdas por matrizes de custos de testes de referência retirados da literatura foram estudados apenas para o per´ıodo de planeamento com dois dias, associando a cada uma das matrizes de custos, 7 padrões de visitas distintas.

As instâncias de teste obtidas a partir de matrizes de custos geradas aleatoriamente foram constru´ıdas considerando vários padrões de visita para cada matriz de custos. O número de padrões de visitas consi-derados para cada matriz de custos varia de acordo com o número de clientes e a duração do per´ıodo. Na tabela seguinte (tabela 4.1) é indicado o número de padrões associado a cada matriz de custos conso-ante o número de clientes da mesma, |NC|, e o tipo de per´ıodo de planeamento, |P |.

|P |

2 3 4

|NC|

20 7 9 11

40 7 3 4

(37)

Cap´ıtulo 4. Experiˆencia Computacional 21

4.1.3 Regras

As instâncias com 40 clientes e per´ıodo com três e quatro dias foram utilizadas para resolver a variante do problema introduzida no cap´ıtulo 3.3. Esta variante considera que as visitas dos clientes, que requerem duas visitas, devem seguir uma de duas regras: as visitas aos clientes têm de ocorrer em dias seguidos (regra 1), ou com pelo menos um dia de intervalo (regra 2). O que foi feito neste caso foi considerar várias percentagens para o número de clientes que segue uma regra e que segue a outra.

Assim, para cada conjunto de matriz de custos e padrão de visitas distintos considerou-se os seguintes três casos, de distribuição das duas regras:

- 100% dos clientes com duas visitas seguem a regra 1 e 0% segue a regra 2; - 50% dos clientes com duas visitas seguem a regra 1 e, os outros 50%, a regra 2; - 0% dos clientes com duas visitas segue a regra 1 e 100% seguem a regra 2.

4.2 Comparac¸˜ao dos Modelos

De forma a comparar os modelos desenvolvidos, em termos de eficiência na obtenção de soluções ótimas e na qualidade da respetiva relaxação linear, foram realizados diversos testes computacionais. A comparação dos modelos é feita com recurso à resolução de um conjunto de instâncias de teste para os três tipos de per´ıodos de planeamento em análise nesta dissertação.

A primeira analise realizada foi para as instâncias de teste com 20 clientes e 40 clientes, com matriz de custos gerada aleatoriamente. As instâncias de teste com 20 clientes foram analisadas para os quatro mo-delos desenvolvidos, nos três per´ıodos distintos. As instâncias de teste com 40 clientes foram analisadas igualmente para os quatro modelos, mas apenas para o per´ıodo de planeamento de dois dias.

Após a apresentação e análise dos testes mencionados acima, serão apresentadas também comparações de performance dos modelos quando se aumenta a dimensão do per´ıodo de planeamento e, comparações de performance dos modelos quando se aumenta a dimensão do conjunto de clientes.

Os testes computacionais desenvolvidos para cada instância serão apresentados com recurso a tabelas, de forma sintetizada, através do cálculo da média para cada conjunto de 5 instâncias nas mesmas condições. Todos os resultados obtidos são apresentados de forma detalhada em anexo.

As primeiras colunas de cada tabela caracterizam o conjunto das 5 instâncias nessas condições. A pri-meira indica se as correspondentes instâncias têm matriz de custos assimétrica ou simétrica, sendo apre-sentadas primeiro todas as instâncias com matriz de custos assimétrica e só depois as com matriz de custos simétrica, para cada modelo.

As seguintes duas a quatro colunas, dependendo do per´ıodo de planeamento, identificam o padrão de visi-tas considerado, indicando, para cada número de visivisi-tas poss´ıvel, quantos clientes estão nessas condições. Considerando Vk = |i ∈ NC : vi = k| , ∀k ∈ P , para o per´ıodo de dois dias apresenta-se o par V1.V2,

para trˆes dias o terno V1.V2.V3e, por fim, para o per´ıodo de quatro dias, tem-se a quadra V1.V2.V3.V4.