Na secc¸˜ao 3.3 foi definida uma variante do problema onde ´e considerado que as visitas dos clientes tˆem de seguir uma determinada pol´ıtica. A pol´ıtica de visitas assumida consiste em que os clientes que exigem duas visitas sigam uma de duas regras: as visitas dos clientes tˆem de ocorrer em dias seguidos (regra 1) ou com pelo menos um dia de intervalo (regra 2).
Nesta secc¸˜ao apresentam-se os resultados computacionais dos testes realizados para a variante do pro- blema considerada.
A variante considerada foi estudada para os per´ıodos de planeamento de trˆes e quatro dias, a partir das instˆancias com 40 clientes, geradas aleatoriamente. Estas instˆancias s˜ao definidas atrav´es da matriz de custos de deslocac¸˜ao, de um padr˜ao de visitas e de uma distribuic¸˜ao das duas regras pelos clientes que re- querem duas visitas, ao contr´ario das instˆancias consideradas anteriormente, em que s´o eram necess´arias as duas primeiras.
As instˆancias consideradas s˜ao constitu´ıdas por 10 matrizes de custos, sendo que 5 s˜ao assim´etricas e 5 s˜ao sim´etricas. A cada uma destas associou-se 3 e 4 padr˜oes de visitas distintos, respetivamente para o per´ıodo de planeamento de trˆes e quatro dias. Por sua vez a cada conjunto de matriz de custos e padr˜ao de visitas distinto associou-se 3 distribuic¸˜oes distintas das duas regras.
As instˆancias desta variante foram resolvidas apenas atrav´es dos modelos MFAP e MFAPSC, apesar de poderem tamb´em ser resolvidas atrav´es do modelo MFDP, mas n˜ao atrav´es do modelo MFDR. Como esta variante considera uma pol´ıtica de visita onde ´e necess´ario obrigar a que alguns clientes sejam ou n˜ao visitados em determinados dias e, a formulac¸˜ao do modelo MFDR n˜ao considera o ´ındice do dia, n˜ao ´e poss´ıvel definir a pol´ıtica considerada a partir deste modelo.
Cap´ıtulo 4. Experiˆencia Computacional 48
Os testes computacionais desenvolvidos s˜ao apresentados para os dois per´ıodos de planeamento, separa- damente, atrav´es de uma tabela. A tabela ´e apresentada de forma sintetizada atrav´es do c´alculo da m´edia para cada conjunto de 5 instˆancias nas mesmas condic¸˜oes. Os resultados obtidos s˜ao apresentados de forma detalhada em anexo.
As primeiras colunas de cada tabela correspondem `a caracterizac¸˜ao do conjunto das 5 instˆancias nas mesmas condic¸˜oes. A primeira indica se a correspondente matriz de custos ´e assim´etrica ou sim´etrica, sendo apresentado primeiro todos os resultados das instˆancias com matriz de custos assim´etrica e s´o depois das instˆancias com matriz de custos sim´etrica. As seguintes trˆes a quatro colunas, dependendo do per´ıodo de planeamento, identificam a matriz de visitas, indicando, para cada n´umero de visitas poss´ıvel, quantos clientes est˜ao nessas condic¸˜oes. As duas colunas seguintes `as anteriores, identificam a matriz de regras, indicando, para cada regra, quantos clientes a seguem. Isto ´e, considerando Rl= |i ∈ NC : vi =
2 e i segue a regra l|, para l ∈ {1, 2} tem-se o seguinte par R1.R2.
Nas colunas seguintes s˜ao apresentados os resultados obtidos por cada um dos modelos. Estes resultados correspondem aos resultados considerados nos testes anteriores.
Na coluna #S.O. ´e indicado para cada conjunto de instˆancias quantas, das 5 instˆancias, o modelo con- seguiu encontrar a soluc¸˜ao ´otima no tempo m´aximo definido.
As colunas T e TLP referem-se ao tempo m´edio, em segundos, para a obtenc¸˜ao da soluc¸˜ao inteira e da
soluc¸˜ao da relaxac¸˜ao linear, respetivamente. Como anteriormente, as instˆancias onde n˜ao foi encontrada a soluc¸˜ao ´otima ou n˜ao foi encontrada nenhuma soluc¸˜ao admiss´ıvel no tempo limite estabelecido s˜ao contabilizadas para a m´edia com esse valor de tempo m´aximo.
As colunas com a designac¸˜ao GAP representam o valor de gap entre a melhor soluc¸˜ao encontrada, de entre os modelos, e a soluc¸˜ao da respetiva relaxac¸˜ao linear. A definic¸˜ao deste gap pode ser vista na secc¸˜ao 4.2.
4.4.1 Resultados Computacionais - Variante de Per´ıodo de 3 Dias
Nesta secc¸˜ao s˜ao apresentados os resultados obtidos, nas instˆancias consideradas, para a variante do problema com per´ıodo de planeamento de trˆes dias. Esta variante foi resolvida a partir dos modelos MFAP e MFAPSC e todos os resultados s˜ao apresentados na tabela 4.15.
Como se pode ver atrav´es das primeiras colunas na tabela seguinte, considerou-se sempre que metade dos clientes exigiam duas visitas, de modo a que o n´umero de clientes que segue cada uma das regras fosse mais significante.
A partir da tabela 4.15 verifica-se que todas as instˆancias com matriz de custos assim´etrica foram resol- vidas at´e `a otimalidade pelos dois modelos, enquanto que, em relac¸˜ao `as instˆancias com matriz de custos sim´etrica, o modelo MFAP resolve at´e `a otimalidade apenas 20 e o modelo MFAPSC apenas 40, das 45 instˆancias consideradas. Apesar do modelo MFAPSC n˜ao ter obtido as soluc¸˜oes ´otimas de todas as instˆancias com matriz de custos sim´etrica, no tempo m´aximo estipulado, conseguiu fazˆe-lo no dobro das instˆancias que o modelo MFAP.
Cap´ıtulo 4. Experiˆencia Computacional 49
Tabela 4.15: Comparac¸˜ao dos modelos MFAP e MFAPSC para instˆancias com 40 clientes e per´ıodo de 3 dias
MFAP MFAPSC
V1 V2 V3 R1 R2 #S.O. T TLP GAP #S.O. T TLP GAP
Matriz Assim ´etrica 20 20 0 20 0 5/5 18.59 3.40 0.70% 5/5 14.90 3.11 0.58% 10 10 5/5 46.19 2.77 2.97% 5/5 35.74 2.32 2.35% 0 20 5/5 10.18 1.79 1.35% 5/5 8.23 1.90 0.83% 10 20 10 20 0 5/5 65.41 2.98 1.22% 5/5 23.25 2.74 1.08% 10 10 5/5 38.53 2.32 2.51% 5/5 32.45 2.13 2.19% 0 20 5/5 10.70 2.52 2.20% 5/5 11.72 2.28 1.49% 0 20 20 20 0 5/5 24.64 2.88 1.55% 5/5 25.30 2.61 1.13% 10 10 5/5 33.45 2.21 2.10% 5/5 12.04 2.22 1.14% 0 20 5/5 8.15 2.46 2.25% 5/5 6.48 2.34 1.00% M´edia 28.43 2.59 1.87% 18.90 2.41 1.31% Matriz Sim ´etrica 20 20 0 20 0 2/5 465.84 3.09 18.23% 5/5 184.56 2.78 14.65% 10 10 0/5 500.00 3.57 21.84% 5/5 181.29 2.32 18.59% 0 20 3/5 313.36 2.98 18.49% 4/5 128.58 2.23 10.05% 10 20 10 20 0 1/5 497.73 2.89 18.52% 3/5 269.56 2.83 13.16% 10 10 1/5 410.51 3.17 19.08% 4/5 262.86 2.24 7.33% 0 20 4/5 195.26 2.59 19.54% 5/5 73.41 2.44 7.33% 0 20 20 20 0 1/5 462.83 2.05 16.39% 4/5 147.87 2.09 8.04% 10 10 3/5 342.44 2.34 16.25% 5/5 65.73 2.09 5.04% 0 20 5/5 25.28 1.87 14.05% 5/5 18.61 2.10 0.81% M´edia 357.03 2.73 18.05% 148.05 2.34 9.82%
Em relac¸˜ao aos tempos de execuc¸˜ao do problema em programac¸˜ao linear inteira, o modelo MFAPSC obteve tempos inferiores em todos os conjuntos de instˆancias, com excec¸˜ao do conjunto (0.20.20-20.0) das instˆancias com matriz de custos assim´etrica. Apesar disso, a m´edia dos tempos de execuc¸˜ao obtidos por estes modelos foram semelhantes no conjunto de instˆancias com matriz de custos assim´etrica, com uma diferenc¸a de apenas 10 segundos, mas distintos no conjunto de instˆancias com matriz de custos sim´etrica, com uma diferenc¸a de mais de 200 segundos. Estas diferenc¸as j´a eram de se esperar pois, enquanto que no conjunto de instˆancias com matriz de custos assim´etricas todas as instˆancias s˜ao re- solvidas `a otimalidade pelos dois modelos, no segundo conjunto, o modelo MFAP resolve otimamente muito menos instˆancias que o modelo MFAPSC.
Os tempos de execuc¸˜ao obtidos pelos dois modelos na resoluc¸˜ao das respetivas relaxac¸˜oes lineares, foram bastante idˆenticos e pequenos, obtendo-se m´edias perto dos 2.5 segundos, nos dois conjuntos de instˆancias. Apesar disso, as m´edias do modelo MFAPSC foram ligeiramente menores que as do modelo MFAP.
De forma a analisar os valores de gaps obtidos nos v´arios conjuntos de instˆancias pelos dois modelos, ´e disponibilizada a figura 4.13. Nesta figura s˜ao apresentadas as m´edias dos gaps de cada modelo para conjunto de instˆancias.
Cap´ıtulo 4. Experiˆencia Computacional 50
Figura 4.13: Comparac¸˜ao dos gaps obtidos, nos v´arios conjuntos de instˆancias, pelos modelos MFAP e MFAPSC
Da figura 4.13 ´e poss´ıvel verificar que o modelo MFAPSC obteve gaps inferiores em todos os conjuntos de instˆancias considerados. Este obteve gaps m´edios entre 0% e 3%, para o conjunto de instˆancias com matriz de custos assim´etrica e, entre 0% e 19%, para o conjunto de instˆancias com matriz custos sim´etrica. Para o primeiro conjunto de instˆancias, o modelo MFAP tamb´em obteve gaps m´edios entre 0% e 3%, mas para o segundo conjunto, este modelo j´a obteve gaps entre 14% e 22%.
Como j´a foi referido, a cada conjunto de instˆancias com padr˜ao de visitas distinto associou-se trˆes distribuic¸˜oes distintas das duas regras. Estas diferem no n´umero de clientes que segue cada uma das regras: na primeira, todos os clientes com duas visitas tem de seguir a regra 1; na segunda, metade dos clientes com duas visitas segue a regra 1 e a outra metade segue a regra 2; e por ´ultimo, na terceira distribuic¸˜ao, todos os clientes com duas visitas seguem a regra 2. Dos resultados obtidos verificam-se que de entre os trˆes conjuntos de instˆancias com distribuic¸˜ao distinta das regras, as que obtiveram gaps superiores foram as instˆancias onde se considera o mesmo n´umero de clientes a seguir uma regra e outra, com excec¸˜ao das instˆancias (10.20.10) e (0.20.20) com matriz de custos sim´etrica. Ou seja, as instˆancias onde se considerou o mesmo n´umero de clientes a seguir cada uma das regras obtiveram gaps superiores face `as restantes instˆancias consideradas.
Cap´ıtulo 4. Experiˆencia Computacional 51
4.4.2 Resultados Computacionais - Variante de Per´ıodo de 4 Dias
Nesta secc¸˜ao s˜ao apresentados os resultados obtidos, nas instˆancias consideradas, para a variante do problema com per´ıodo de planeamento de quatro dias. Esta variante foi resolvida apenas a partir do modelo MFAPSC porque comprovou-se, pelos testes anteriores, que este modelo ´e melhor que o MFAP em todos os aspetos em estudo. Todos os resultados obtidos s˜ao apresentados na tabela 4.16.
Tabela 4.16: Resultados do modelo MFAPSC para instˆancias com 40 clientes e per´ıodo de 4 dias
V1 V2 V3 V4 R1 R2 #S.O. T TLP GAP Matriz Assim ´etrica 10 10 10 10 10 0 4/5 360.21 6.79 1.02% 5 5 3/5 326.23 6.96 1.79% 0 10 2/5 400.89 6.89 19.50% 20 20 0 0 20 0 5/5 50.90 6.68 0.97% 10 10 2/5 408.43 6.59 17.01% 0 20 4/5 169.90 7.61 0.97% 0 20 20 0 20 0 1/5 443.75 7.09 23.10% 10 10 1/5 486.69 7.30 8.19% 0 20 2/5 421.14 7.96 2.39% 0 20 0 20 20 0 4/5 224.46 6.47 1.53% 10 10 3/5 390.25 5.14 4.57% 0 20 5/5 234.69 6.72 1.37% M´edia 326.46 6.85 6.87% Matriz Sim ´etrica 10 10 10 10 10 0 0/5 500.00 6.25 71.26% 5 5 0/5 500.00 5.94 78.23% 0 10 0/5 500.00 6.07 48.38% 20 20 0 0 20 0 1/5 414.81 6.60 35.41% 10 10 0/5 500.00 6.80 82.49% 0 20 2/5 346.15 6.64 29.94% 0 20 20 0 20 0 0/5 500.00 6.45 23.59% 10 10 0/5 500.00 6.21 47.66% 0 20 0/5 500.00 6.19 23.15% 0 20 0 20 20 0 0/5 500.00 5.54 14.30% 10 10 0/5 500.00 5.89 34.60% 0 20 1/5 436.90 5.73 13.59% M´edia 474.82 6.19 41.88%
A partir da tabela 4.16 verifica-se que mais de metade das instˆancias consideradas n˜ao foram resolvidas at´e `a otimalidade pelo modelo, no tempo limite fixado. Este resolveu at´e `a otimalidade 40 das 120 instˆancias consideradas, sendo que 36 correspondem a instˆancias com matriz de custos assim´etrica e, 4 correspondem a instˆancias com matriz de custos sim´etrica.
Em relac¸˜ao aos tempos de execuc¸˜ao do problema em programac¸˜ao linear inteira, estes foram bastante grandes, o que j´a seria de esperar pois muitas instˆancias correram at´e ao tempo m´aximo definido. A m´edia dos tempos de execuc¸˜ao foi menor para o conjunto de instˆancias com matriz de custos assim´etrica, com
Cap´ıtulo 4. Experiˆencia Computacional 52
uma m´edia igual a 326.46 segundos e uma m´edia de 474.82 segundos, para o conjunto de instˆancias com matriz de custos sim´etrica.
Os tempos de execuc¸˜ao obtidos pelo modelo na resoluc¸˜ao da respetiva relaxac¸˜ao linear, foram bastante inferiores comparando com os tempos de execuc¸˜ao obtidos na resoluc¸˜ao do problema inteiro. Estes tempos encontram-se entre 5 e 8 segundos.
De forma a analisar as alterac¸˜oes dos gaps obtidos nos v´arios conjuntos de instˆancias pelo modelo, ´e disponibilizada a figura 4.14. Nesta figura s˜ao apresentadas as m´edias dos gaps para cada conjunto de 5 instˆancias.
Figura 4.14: Comparac¸˜ao dos gaps obtidos, nos v´arios conjuntos de instˆancias, pelo modelo MFAPSC
Da figura anterior ´e poss´ıvel verificar que o modelo MFAPSC obteve gaps com valor bastante elevado em alguns dos conjuntos de instˆancias considerados. Este obteve gaps m´edios entre 0% e 24%, para o conjunto de instˆancias com matriz de custos assim´etrica e, entre 13% e 83%, para o conjunto de instˆancias com matriz custos sim´etrica.
Como j´a foi referido, a cada conjunto de instˆancias com padr˜ao de visitas distinto associou-se trˆes distribuic¸˜ao distintas das duas regras. Estas diferem no n´umero de clientes que segue cada uma das
Cap´ıtulo 4. Experiˆencia Computacional 53
regras: na primeira, todos os clientes com duas visitas tem de seguir a regra 1; na segunda, metade dos clientes com duas visitas segue a regra 1 e a outra metade segue a regra 2; e por ´ultimo, na terceira distribuic¸˜ao, todos os clientes com duas visitas seguem a regra 2. Dos resultados obtidos verificam-se que de entre os trˆes conjuntos de instˆancias com distribuic¸˜ao distinta das regras, as que obtiveram gaps superiores foram as instˆancias onde se considera o mesmo n´umero de clientes a seguir uma regra e outra, com excec¸˜ao das instˆancias (10.10.10.10) e (0.20.20.0) com matriz de custos assim´etrica. Ou seja, as instˆancias onde se considerou o mesmo n´umero de clientes a seguir cada uma das regras obtiveram gaps superiores face `as restantes instˆancias consideradas. Esta conclus˜ao tamb´em foi verificada para a variante do problema com per´ıodo de trˆes dias.
4.4.3 Comparac¸˜ao da Variante do Problema para os Dois Per´ıodos de Planeamento
Nesta secc¸˜ao ser˜ao feitas algumas comparac¸˜oes entre os dois per´ıodos de planeamento analisados para a variante do problema, de modo a tirar algumas conclus˜oes sobre as consequˆencias do aumento da di- mens˜ao do per´ıodo. Para isso ser˜ao utilizados os resultados computacionais obtidos nas duas subsecc¸˜oes anteriores (4.4.1 e 4.4.2) para o modelo MFAPSC.
A primeira an´alise corresponde a comparar a quantidade de instˆancias resolvidas at´e `a otimalidade pelo modelos nos dois tipos de per´ıodo considerados. Para isso, considere-se a figura 4.15 onde ´e apresentada a percentagem de instˆancias resolvidas at´e `a otimalidade pelo modelo em cada um dos per´ıodos de planeamento e para cada tipo de matrizes de custos. Neste gr´afico s˜ao consideradas percentagens porque o n´umero de instˆancias resolvidas em cada tipo de per´ıodo de planeamento ´e distinto.
Figura 4.15: Comparac¸˜ao da percentagem de instˆancias resolvidas at´e `a otimalidade pelo modelo MFAPSC em cada tipo de per´ıodo para a variante do problema
Da figura 4.15 verifica-se que a percentagem de instˆancias resolvidas at´e `a otimalidade pelo modelo MFAPSC diminuiu do per´ıodo de trˆes dias para o per´ıodo de quatro dias, sendo a diferenc¸a mais signifi- cativa no conjunto de instˆancias com matriz de custos sim´etrica. A diminuic¸˜ao de instˆancias resolvidas at´e `a otimalidade de um tipo de per´ıodo para o outro foi de 40%, para o conjunto de instˆancias com ma- triz de custos assim´etrica, enquanto que, para o conjunto de instˆancias com matriz de custos sim´etrica, a
Cap´ıtulo 4. Experiˆencia Computacional 54
diminuic¸˜ao foi de 82%.
De seguida pretende-se analisar as m´edias dos tempos obtidos pelo modelo para cada conjunto de instˆancias com distribuic¸˜ao de regras distinta e para cada tipo de per´ıodo. Desta forma, s˜ao disponi- bilizadas as figuras 4.16 e 4.17 onde s˜ao apresentadas as m´edias dos tempos de execuc¸˜ao da resoluc¸˜ao do problema em programac¸˜ao linear inteira e da resoluc¸˜ao da relaxac¸˜ao linear, respetivamente. Em ambas as figuras, os dados apresentados no primeiro gr´afico s˜ao referentes `as instˆancias com matriz de custos assim´etrica e, no segundo, s˜ao referentes `as instˆancias com matriz de custos sim´etrica.
Figura 4.16: Comparac¸˜ao dos tempos de execuc¸˜ao obtidos pelo modelo MFAPSC na resoluc¸˜ao do problema inteiro, para os dois tipos de per´ıodo
Da figura 4.16 verifica-se que os tempos de execuc¸˜ao obtidos na resoluc¸˜ao do problema inteiro s˜ao superiores para o per´ıodo de planeamento de quatro dias. Estes aumentos s˜ao mais acentuados para o conjunto de instˆancias com matriz de custos assim´etrica, onde no per´ıodo de trˆes dias se obteve tempos entre 8 e 30 segundos e, no per´ıodo de quatro dias, obteve-se tempos entre os 270 e 400 segundos. Em relac¸˜ao `as instˆancias com matriz de custos sim´etrica, no per´ıodo de trˆes dias obteve-se tempos entre 70 e 200 segundos e, no per´ıodo de quatro dias, os tempos de execuc¸˜ao rodaram os 500 segundos. ´E poss´ıvel ver que os tempos de execuc¸˜ao do modelo s˜ao superiores para o conjunto de instˆancias com matriz de custos sim´etrica, em ambos os per´ıodos de planeamento considerados.
Tamb´em em relac¸˜ao aos tempos de execuc¸˜ao do problema inteiro verifica-se que os tempos de execuc¸˜ao mais elevados s˜ao obtidos nas instˆancias onde metade dos clientes com duas visitas seguem uma regra e a outra metade segue a outra, com excec¸˜ao das instˆancias com matriz de custos sim´etrica no per´ıodo de
Cap´ıtulo 4. Experiˆencia Computacional 55
planeamento de trˆes dias.
Figura 4.17: Comparac¸˜ao dos tempos de execuc¸˜ao obtidos pelo modelo MFAPSC na resoluc¸˜ao da relaxac¸˜ao linear, para os dois tipos de per´ıodo
Da figura 4.17 comprova-se que os tempos de execuc¸˜ao da resoluc¸˜ao da relaxac¸˜ao linear s˜ao superiores no per´ıodo de planeamento de quatro dias. Contudo, estes tempos de execuc¸˜ao s˜ao semelhantes nos dois tipos de matriz de custos consideradas e constantes entre as percentagens de clientes com duas visitas que seguem a regra 2. Os tempos de execuc¸˜ao da relaxac¸˜ao linear para o per´ıodo de planeamento de trˆes dias encontram-se entre 2 e 4 segundos, enquanto que, para o per´ıodo de quatro dias, encontram-se entre 6 e 8 segundos.
Por fim, para analisar as alterac¸˜oes dos gaps obtidas, para os v´arios conjuntos de instˆancias considera- dos, quando se aumenta a dimens˜ao do per´ıodo de planeamento, ´e disponibilizada a figura 4.18. Nesta figura s˜ao apresentadas as m´edias dos gaps do modelo MFAPSC para cada conjunto de instˆancias com percentagem de clientes associados `a regra 2 distinta e para os dois tipos de per´ıodo considerados.
A partir da figura seguinte verifica-se que os gaps s˜ao superiores para o per´ıodo de planeamento de quatro dias. Para o per´ıodo de planeamento de trˆes dias obteve-se gaps m´edios entre 0% e 2%, para o conjunto de instˆancias com matriz de custos assim´etrica e, entre 6% e 12%, para o conjunto de instˆancias com matriz de custos sim´etrica. No per´ıodo de planeamento de quatro dias obteve-se gaps m´edios entre 6% e 8%, para o conjunto de instˆancias com matriz de custos assim´etrica e, entre 28% e 60%, para o conjunto de instˆancias com matriz de custos sim´etrica. Assim, verifica-se que o aumento dos gaps foi mais acentuado no conjunto de instˆancias com matriz de custos sim´etrica, do que no outro conjunto, mas
Cap´ıtulo 4. Experiˆencia Computacional 56
tamb´em os gaps obtidos para este conjunto no per´ıodo de trˆes dias s˜ao superiores aos do outro conjunto para o mesmo tipo de per´ıodo.
Figura 4.18: Comparac¸˜ao dos gaps obtidos pelo modelo MFAPSC nos v´arios conjuntos de instˆancias e para os dois tipos de per´ıodo de planeamento
Em relac¸˜ao `a alterac¸˜ao dos gaps com o aumento da percentagem de clientes que seguem a regra 2, verifica-se que estes s˜ao superiores nas instˆancias onde a percentagem ´e igual a 50%, ou seja, nas instˆancias onde tantos clientes seguem a regra 1 como a regra 2.
Cap´ıtulo 5
Conclus˜oes
Este cap´ıtulo divide-se em duas secc¸˜oes. Na primeira comec¸a-se por resumir o trabalho elaborado ao longo desta dissertac¸˜ao e, apresenta-se as conclus˜oes finais do estudo realizado. Na segunda secc¸˜ao mencionam-se algumas sugest˜oes de trabalho futuro a realizar de forma a complementar o trabalho j´a realizado.
5.1
Conclus˜oes Principais
O foco desta dissertac¸˜ao foi o problema do caixeiro viajante peri´odico (Problema do Caixeiro Viajante Peri´odico- PTSP). Este problema e o problema relaxado foram formulados em programac¸˜ao linear in- teira atrav´es de quatro modelos distintos, trˆes para o primeiro problema e um para o segundo, nos quais foram utilizadas vari´aveis de fluxo para modelar a conexidade das rotas. Os modelos desenvolvidos fo- ram comparados atrav´es da resoluc¸˜ao de v´arias instˆancias de teste. Nas instˆancias de teste consideraram- se dimens˜oes de per´ıodo distintas e n´umero de clientes distintos. Foram resolvidas instˆancias com per´ıodo de planeamento de dois, trˆes e quatro dias e com n´umero de clientes entre 20 e 47. Os qua- tro modelos foram comparados segundo v´arios aspetos, que se apresentam de seguida:
- Obtenc¸˜ao de soluc¸˜oes ´otimas;
- Obtenc¸˜ao de limites inferiores atrav´es das respetivas relaxac¸˜oes lineares e qualidade dos mesmos, medida atrav´es do gap entre a melhor soluc¸˜ao obtida e a soluc¸˜ao da relaxac¸˜ao linear;