Modelo de Fluxo Desagregado Relaxado (MFDR)

Este modelo resulta do modelo MFDP retirando o ´ındice referente ao dia do per´ıodo de todas as vari´aveis consideradas. Desta forma, as soluc¸˜oes obtidas por este s˜ao representadas de forma diferente.

Nos modelos anteriores uma soluc¸˜ao ´e constitu´ıda por um conjunto de rotas, sendo que a cada dia est´a associada uma e uma s´o rota. Nas soluc¸˜oes desta formulac¸˜ao, as rotas em vez de serem representadas individualmente, s˜ao representadas como um todo. Assim, nas outras formulac¸˜oes, as vari´aveis que representam a utilizac¸˜ao dos arcos indicam, para cada dia, se um determinado arco ´e utilizado ou n˜ao na respetiva rota e, nesta formulac¸˜ao, estas vari´aveis indicam, para cada arco, a quantas rotas no total este pertence.

Devido a esta representac¸˜ao das rotas, para uma dada instˆancia aleat´oria, se o modelo MFDR encontrar uma soluc¸˜ao inteira com valor igual `a soluc¸˜ao ´otima da instˆancia, conhecida a partir da resoluc¸˜ao dos outros modelos, esta poder´a n˜ao corresponder de facto `a soluc¸˜ao ´otima da respetiva instˆancia. Isto acontece porque, n˜ao ´e poss´ıvel ter certeza que as rotas da soluc¸˜ao encontradas por este modelos s˜ao as mesmas da soluc¸˜ao ´otima, uma vez que n˜ao ´e poss´ıvel discriminar as rotas da soluc¸˜ao.

Cap´ıtulo 3. Modelos em PLI 16

per´ıodo n˜ao s˜ao diferenciados. Desta forma, o valor das soluc¸˜oes obtidas por este modelo relaxado, tanto na resoluc¸˜ao do problema em programac¸˜ao linear inteira como na resoluc¸˜ao da respetiva relaxac¸˜ao linear, fornecem limites inferiores para o problema original.

O primeiro conjunto de vari´aveis neste modelo s˜ao as vari´aveis inteiras xij, ∀ (i, j) ∈ A, k ∈ P , que

representam o conjunto de arcos utilizados nas rotas da soluc¸˜ao. Como cada rota est´a associada a um dia do per´ıodo e estas vari´aveis n˜ao tˆem o ´ındice referente ao dia, neste modelo as rotas s˜ao representadas de forma conjunta. Estas vari´aveis est˜ao definidas para todos os arcos, isto ´e, para (i, j) ∈ A e ir˜ao tomar valores entre 0 e p (dimens˜ao do per´ıodo) da seguinte forma:

– Se xij = 0, o arco (i, j) n˜ao pertence a nenhuma rota;

– Se xij = p, o arco (i, j) pertence a p rotas, ou seja, pertence a todas as rotas;

– Se xij = m com 0 < m < p, o arco (i, j) pertence a exatamente m rotas.

Em relac¸˜ao `as vari´aveis de fluxo, seja f_ijt a quantidade de fluxo que passa no arco (i, j) com destino ao nodo t para todo (i, j) ∈ A e t ∈ NC. Estas vari´aveis tomam valores inteiros n˜ao negativos. A

quantidadeP

t∈NCf

t

ij representa a quantidade de fluxo total que passa no arco (i, j) ∈ A, no conjunto

das rotas.

Sabendo que as rotas devem comec¸ar e terminar no dep´osito e que todos os clientes devem ser visitados o n´umero de vezes requeridas, o MFDR pode ser formulado da seguinte forma:

M inimizar X (i,j)∈A cijxij (3.18) Sujeito a : X j∈NC x0j = p (3.19) X j∈N xij = X j∈N xji ∀i∈N (3.20) X j∈N xij = vi ∀i∈NC (3.21) X t∈NC X j∈NC f_0jt = X i∈NC vi (3.22) X i∈N f_ijt −X i∈N f_jit = 0 ∀_{j,t∈NC, t6=j} (3.23) X i∈N f_ijj −X i∈N f_jij =X i∈N xij ∀j∈NC (3.24) X t∈NC f_ijt ≤ nxij ∀(i,j)∈A (3.25a) f_ijt ≤ xij ∀(i,j)∈A,t∈NC (3.25b) xij ≥ 0 e inteiros ∀(i,j)∈A (3.26) f_ijt ≥ 0 ∀_{(i,j)∈A,t∈N} C (3.27)

A func¸˜ao objetivo consiste em minimizar o custo total da soluc¸˜ao, multiplicando o custo de utilizac¸˜ao de um arco pelo o n´umero de vezes que este ´e usado, ou seja, pelo n´umero de rotas `a qual este pertence. Esta

Cap´ıtulo 3. Modelos em PLI 17

func¸˜ao objetivo ´e traduzida em 3.18. Se os custos de utilizac¸˜ao de um determinado arco aumentassem ou diminu´ıssem consoante os dias em que ele seria utilizado, n˜ao seria poss´ıvel formular a func¸˜ao objetivo com estes conjuntos de vari´aveis.

Nas restric¸˜oes 3.19 e 3.20 garante-se que todas as rotas comec¸am no dep´osito e o n´umero de arcos que entram num determinado nodo ´e igual ao n´umero de arcos que saem desse mesmo nodo, ou seja, que sempre que se entra num nodo tem de sair do mesmo. Nas restric¸˜oes 3.21 ´e garantido que todos os nodos s˜ao visitados o n´umero de vezes solicitadas.

O conjunto de restric¸˜oes 3.22 – 3.25 correspondem `as restric¸˜oes de fluxo do modelo. Nas restric¸˜oes 3.22 garante-se que a fluxo total das p rotas ´e igual ao n´umero de visitas totais dos clientes. Nas restric¸˜oes 3.23 e 3.24 restric¸˜oes garante-se que fluxo apenas diminui quando este chega ao seu nodo destino. Para cada arco (i, j) ∈ A, a quantidade de fluxo que diminui quando se chega ao nodo j corresponde ao n´umero de vezes que este arco ´e utilizado no total das p rotas. A segunda parcela das restric¸˜oes 3.24 (P

i∈Nfjit)

´e sempre nula, como no modelo anterior, sendo que esta restric¸˜ao pode ser substitu´ıda apenas por: X

i∈N

f_ijj =X

i∈N

xij , ∀j∈NC (3.28)

Por fim, as restric¸˜oes 3.25 obrigam a que um determinado arco seja utilizado como passagem de fluxo apenas se este pertencer `a soluc¸˜ao, ou seja, caso este pertenc¸a a alguma rota. As restric¸˜oes 3.25a corres- pondem `as restric¸˜oes do modelo fraco enquanto que a 3.25b correspondem `as do modelo forte. Nesta dissertac¸˜ao ser˜ao utilizadas apenas as restric¸˜oes 3.25b correspondentes ao modelo forte.

As restric¸˜oes 3.26 e 3.27 correspondem `as restric¸˜oes de dom´ınio dos dois conjuntos de vari´aveis garan- tindo que estas s˜ao inteiras n˜ao negativas. Nas vari´aveis y n˜ao ´e necess´ario dizer que ´e inteira porque a formulac¸˜ao j´a as obriga a isso.