Conclusões do estudo

6.2.1. Identificação de números irracionais em várias representações

Segundo Horner, Halliday, Blyth, Adams e Wheaton (2010), um número é irracional quando se conclui que não é racional, e foi com base nesta conclusão que se iniciou a intervenção letiva com os alunos a explorarem as diferentes representações de um número racional. Para classificar um número escrito na forma de fração quanto à sua irracionalidade, Zazkis e Sirotic (2010) observam que os professores de Matemática em formação visados no seu estudo exibem uma preferência pela representação decimal. De forma semelhante, os alunos deste estudo recorreram à representação decimal de uma fração para determinar o tipo de dízima que representava. No seu estudo, com 18 alunos de cada um dos três primeiros anos do ensino médio (equivalente ao ensino secundário em Portugal), Bartolomeu (2010) apresenta-lhes uma questão de escolha múltipla para que identifiquem a dízima infinita periódica, quando numa das alternativas se encontrava um número na forma de dízima finita e os restantes três estavam representados na forma de fração, em que dois representavam dízimas finitas e o terceiro uma dízima infinita periódica. E contrariamente ao que o autor observou, as resoluções dos alunos sugerem que a maioria dos alunos participantes neste estudo, no início da lecionação, mostrou apropriação da noção de dízima finita e de dízima infinita periódica e foram capazes de as reconhecer em diferentes representações. No final da intervenção letiva, a maioria dos alunos mostrou-se capaz de identificar uma dízima infinita não periódica com base na sua representação em forma de dízima. Assim, quando o número se encontra representado em forma de dízima ou na forma de fração, os alunos são capazes de o classificar quanto à sua irracionalidade. No final da discussão da primeira tarefa, alguns alunos mostraram compreender quando uma fração representa uma dízima finita ou uma dízima infinita periódica com base no seu denominador.

Malacka (2014) observa a preferência dos alunos do ensino secundário do seu estudo em recorrer à representação decimal para testar a irracionalidade de um número, incluindo raízes quadradas de números naturais. A maioria dos alunos deste estudo também evidenciou uma preferência para recorrer a uma diferente representação de uma raiz quadrada de um número natural. Eles efetuam o cálculo da

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raiz quadrada e se obtêm um número natural, concluem que é racional, caso contrário, concluem que é irracional. Alguns alunos também classificam a raiz quadrada de um número natural quanto à sua irracionalidade baseando-se no seu radicando.

Durante a intervenção letiva, a maioria dos alunos deste estudo também foi capaz de determinar a que conjunto numérico os números inteiros e os números escritos em forma de fração e decimal pertencem. As noções dos conjuntos e foram previstas como conhecimentos prévios, e com base nas suas resoluções, a maioria dos alunos evidenciou esse conhecimento, assim como foi capaz de identificar números naturais e inteiros. A noção do conjunto ℚ foi prevista como conhecimento prévio, que a maioria dos alunos mostrou ter durante a intervenção letiva, e no final da discussão de uma tarefa, também mostrou reconhecer que um número racional pode ser representado por uma fração, por um número inteiro, por uma dízima finita e por uma dízima infinita periódica. No final da intervenção letiva, a maioria dos alunos também soube reconhecer que a raiz quadrada de um número natural que não é um quadrado perfeito pertence ao conjunto \ℚ, recorrendo às estratégias descritas acima quando pretendem testar a sua irracionalidade. Contrariamente ao que observaram Rezende e Nogueira (2009) acerca dos estudantes universitários de Matemática e os professores de Matemática visados no estudo de Pietropaolo, Corbo e Campos (2013), os alunos deste estudo foram capazes de reconhecer que ⊂ ⊂ ℚ ⊂ quando a tarefa proposta continha um diagrama de Venn, assim como quando lhes foi pedido para relacionarem os conjuntos numéricos através do símbolo ⊂. Antes disso, também tinha sido pedido aos alunos para estabelecerem relações entre cada par de conjuntos numéricos com o mesmo símbolo.

No entanto, os alunos deste estudo evidenciaram dificuldades em classificar alguns números quanto à sua irracionalidade, que estiveram associadas à representação em que era apresentado cada número e à representação usada pelo aluno para apoiar essa classificação. Segundo Duval (2012), é através das representações que o aluno pode aceder ao objeto matemático. Os alunos deste estudo procuraram usar conversões entre as representações dos números que lhes eram pedidos para os classificar quanto à irracionalidade. Essa conversão, tal como Duval (2012) notara, revelou-se uma fonte de dificuldades para os alunos. Os alunos deste estudo evidenciaram dificuldades em classificar alguns números quanto à sua

irracionalidade na forma de fração com base apenas nessa representação e, ao recorrerem à calculadora para fazer essa classificação com base na sua representação decimal, como tinham observado Zazkis e Sirotic (2004; 2010), sentiram dificuldades por não exibir um número suficiente de dígitos. Barbosa (2013) admitiu que os alunos do 9º ano de escolaridade possam ter dificuldades na classificação de números reais quanto à sua irracionalidade quando escritos na forma de radical, e alguns alunos deste estudo evidenciaram igualmente algumas dificuldades quando baseados apenas nesta representação, enquanto não se apropriaram da ideia que a raiz quadrada de um número natural que não é um quadrado perfeito constitui um número irracional. O desconhecimento desta regra também foi uma das causas que levou alguns dos alunos a manifestarem dificuldades em determinar a que conjunto numérico pertenciam números representados na forma de raiz quadrada de um número natural. Alguns alunos deste estudo também evidenciam dificuldades numéricas na determinação do conjunto que a raiz quadrada de um número natural pertence por não serem capazes de calcular essa raiz quadrada.

6.2.2. Representação de números irracionais na reta real

No final da intervenção letiva, a maioria dos alunos deste estudo foi capazes de representar raízes quadradas de números naturais que não são quadrados perfeitos na reta real. Segundo o processo definido por Gardner (1997), a representação da raiz quadrada de um número natural que não é um quadrado perfeito exige a determinação de dois quadrados perfeitos cuja soma equivale ao quadrado da dessa raiz, a construção de um triângulo retângulo cujos comprimentos sejam iguais às raízes quadradas dos quadrados perfeitos e o traçar de um arco de circunferência desde o vértice de interseção da hipotenusa e da altura do triângulo até à reta real. No seu estudo, em que pedem a professores de ensino secundário em formação para obterem a localização exata da raiz quadrada de 5 na reta real, Sirotic e Zazkis (2007) defendem que este processo é acessível se o Teorema de Pitágoras for conhecido, e se os alunos forem capazes de relacioná-lo com o processo de construção geométrica, a localização de números irracionais na forma de raiz quadrada na reta real torna-se exequível (Oliveira & Fiorentini, 2007, citados em Barbosa, 2013). A maioria dos alunos deste estudo aplicou o Teorema de Pitágoras corretamente e também concluiu que a representação de √ ∈ na reta real requer dois números naturais e tal que . Contrariamente ao que

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observa Barbosa (2013), no seu estudo, estes alunos foram capazes de relacionar a construção de um triângulo retângulo com a representação de uma raiz quadrada de um número natural na reta real. A maioria dos alunos também reconheceu a necessidade de traçar a circunferência para representar √ na reta real. Enquanto Sirotic e Zazkis (2007) observaram no seu estudo um número significante de professores a recorrer a uma aproximação decimal da raiz quadrada de um número natural para a representar na reta real, a maioria dos alunos deste estudo reconheceu no final da lecionação da representação de números irracionais na reta real a necessidade de recorrer a elementos geométricos para o fazer. Quando obtêm a representação de √ na reta real, alguns alunos também representam √ na reta real. Destes alunos, a maioria reconhece que basta efetuar uma rotação de centro na origem da reta real e amplitude de 180° do ponto de abcissa √ , enquanto outros recorrem à construção de um triângulo retângulo, que é simétrico ao triângulo usado para representar √ na reta real, em relação à reta 0. Depois de representarem √ na reta real, alguns alunos representam √ ∈ na reta real, efetuando uma translação do ponto de abcissa √ segundo o vetor , 0 .

Segundo defendem Sirotic e Zazkis (2007), o processo de construção geométrica utilizado para a representação de um número irracional na reta real torna mais acessível para o aluno compreender que a cada número irracional corresponde um único ponto na reta real. Esta ideia não foi bem apreendida por alguns alunos, pois na resolução de uma questão no final da lecionação da representação de números irracionais na reta real, atribuíram dois pontos distintos a uma mesma abcissa, o que vai ao encontro do que é defendido por Melo (1999), em que os alunos restringem o seu conhecimento matemático ao aspeto operacional, e não ao significado.

6.2.3. Operações com números irracionais

No seu estudo sobre os conhecimentos acerca de radicais de estudantes universitários que tenham frequentado ou concluído uma disciplina de Cálculo, Erlandson (2013) defende que os alunos devem ter acesso a exemplos simples e descobrir autonomamente como multiplicar e dividir radicais. A adoção deste método de ensino apresentou um resultado bastante positivo, visto que todos os alunos, no final deste estudo, foram capazes de multiplicar e dividir raízes quadradas. Este método também foi adotado para a lecionação da adição e da subtração de raízes

quadradas com o mesmo radicando, obtendo um resultado igualmente positivo ao da multiplicação e da divisão, estando de acordo com o que Costa (2009) observou nos seus alunos do 8º ano de escolaridade para a multiplicação, mas contrariando-o em relação à divisão. Estes resultados também são contrários a algumas das conclusões que Sirotic e Zazkis (2006) apresentam sobre a compreensão da irracionalidade de um número por parte de professores de matemática em formação para o ensino secundário. Os autores observam que alguns dos professores invocam a impossibilidade de efetuar a adição ou a multiplicação de números irracionais, por serem representados por dízimas infinitas não periódicas, enquanto nenhum aluno deste estudo põe em causa a realização de operações matemáticas com números irracionais devido às suas representações decimais.

No final do estudo, os alunos continuaram a manifestar dificuldades de conceção na adição e na subtração de raízes quadradas com radicandos diferentes, indo de acordo com o que observou Costa (2009) no seu estudo. No seu estudo que visa analisar os erros que alunos do 9º ano de escolaridade cometem na realização de operações com radicais, Ozkan (2011) sugere que os alunos cometem este erro porque acreditam que a raiz quadrada da adição e da subtração goza da propriedade distributiva, e sugere que o método de ensino que Erlandson (2013) defende para a lecionação da multiplicação e da divisão de radicais, seja aplicado para que os alunos compreendam que não se podem adicionar, nem subtrair radicais a não ser que tenham o mesmo radicando. O facto de este método não ter sido aplicado igualmente para a adição e a subtração de raízes quadradas com radicandos iguais e para a multiplicação e a divisão de radicais, pode ser a razão de não se terem obtido os mesmos resultados que se verificaram nestas operações. Os alunos calculam incorretamente o produto de um número natural por uma raiz quadrada de um número natural, pois multiplicam o número natural pelo radicando.

Quanto à potenciação, especificamente o quadrado de um número, os alunos deste estudo calcularam o quadrado de um número escrito na forma √ ∈ transformando-o num produto, obtendo resultados diferentes para esse produto e consequentemente para a potenciação. Alguns alunos obtiveram como resultado , mas apresentaram √ como resposta final, o que está de acordo com o que Costa (2009) observa no seu estudo. Mas enquanto a autora argumenta que isso se deve à crença, por parte dos alunos, de que a multiplicação de duas raízes quadradas não

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pode ser equivalente a um número que não é uma raiz quadrada, os alunos deste estudo não dão indicação de a partilhar, simplesmente calculam a raiz quadrada do número.

6.2.4. Comparação de números irracionais

No processo de comparação de números irracionais, Quaresma (2010) observou que uma possível estratégia dos alunos é acrescentar zeros à direita dos números de uma dízima para que todos fiquem com o mesmo número de casas decimais e depois os comparar. De forma semelhante, os alunos deste estudo, ao disporem de dízimas infinitas periódicas, escrevem-nas sem os parênteses até ter, pelo menos, o mesmo número de casas decimais que a dízima com que pretende efetuar a comparação. A maioria dos alunos estabelece relações de ordem entre as dízimas, comparando os algarismos das respetivas ordens, mas o recurso à localização dos números na reta real também foi uma estratégia adotada. Contrariamente ao que observou Quaresma (2010), não houve evidências de os alunos não serem capazes de comparar dízimas com diferentes quantidades de casas decimais. A maioria dos alunos deste estudo compararam corretamente raízes quadradas de números naturais recorrendo à comparação dos respetivos radicandos, isto é, quanto maior for o radicando, maior é a raiz quadrada, mas também se mostrou capaz de comparar raízes quadradas recorrendo à representação na reta real. Barbosa (2013) observou no seu estudo que a comparação e a ordenação de números reais se tornam mais fáceis para os alunos quando se recorre à representação na reta real. Neste estudo, a maioria dos alunos deste estudo foi capaz de estabelecer relações de ordem entre raízes quadradas com recurso à reta real, tanto como através da comparação dos radicandos.

Os alunos apenas evidenciaram dificuldades na comparação de dízimas infinitas não periódicas, mas por desconhecerem o significado da parte decimal representada por reticências.