Configuração dos objetos e processos

Relativamente aos objetos matemáticos, Godino e Batanero (1994) definem-se como a descrição de problemas ou situações problemáticas, representações simbólicas, definições de objetos, enunciados de proposições e procedimentos, que são invariantes características do campo de ação, e argumentação que estão ligados com as práticas matemáticas.

Na realização de prática matemática realizada na aprendizagem da Álgebra, por exemplo, e a interpretação dos seus resultados consideram-se os componentes do conhecimento que possibilitam a realização e avaliação dessa prática. Para facilitar esta realização e avaliação da prática matemática, Godino, Batanero e Font (2008, p. 14) estabeleceram uma tipologia de objetos e processos que intervêm na aprendizagem matemática.

Figura 1.4 - Objetos e processos que intervêm em práticas matemáticas (Godino et al., 2007, p. 130).

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Godino, Batanero e Font (2007) na sua teoria enfatizam que o objeto e processo configuração é considerada uma base importante na descrição e análise da atividade matemática:

• Situações problemáticas, são aplicações matemáticas extras, tarefas, exercícios, problemas de onde emergem os objetos, ações que induzem uma atividade matemática (por exemplo: tarefa algébrica sobre padrão e sequência apresentada pelas imagens);

• Elementos linguísticos, envolve termos como expressões, notações, gráficos, etc. que se usam para representar os dados de problemas dos vários registos: escritos, orais, gestual, etc. (por exemplo: apresentação dos dados do padrão e sequência numa figura e registadas os números de elementos numa tabela);

• Conceitos / definições, são introduzidos por definições ou descrições e definições (por exemplo: conceito de padrão e de progressão aritmética);

• Propriedades / proposições, são enunciados sobre relação ou propriedades dos conceitos que se utiliza na resolução de problemas (por exemplo: na progressão aritmética as diferenças entre dois termos sucessivos são iguais);

• Procedimentos, são algoritmos, operações, técnicas de cálculo, etc. que se aplicam para resolver o problema (por exemplo: a fórmula da progressão aritmética para determinar a quantidade do elemento do 𝑛, termo da progressão aritmética, neste caso 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 );

• Argumentos, são enunciados que se utilizam para validar ou explicar proposições e procedimentos, que podem ser dedutivos, indutivos, formais ou informais.

Todos os objetos estão relacionados por meio de funções semióticas, referenciais e operacionais, formando configuração ontossemiótico de práticas, objetos e processos.

Neste presente estudo, os objetos e processos que estão envolvidos na prática matemática são considerados como um critério de avaliação do conhecimento matemático, neste caso é conhecimento da Álgebra dos estudantes.

Considera-se que os objetos matemáticos que intervêm na prática matemática são o centro do EOS. Para Font, Planas e Godino (2010) os objetos matemáticos são alicerçados por cinco dimensões duais: pessoal-institucional, expressão-conteúdo, sistêmico-unitário,

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não ostensivo- ostensivo e intensivo-extensivo. Os autores referidos apresentam um exemplo de uso dessas dualidades que pode ser expresso acerca do objeto matemático primário “definições” em relação ao conteúdo de funções. A definição de função, por exemplo, tem, entre outras, uma dimensão institucional (a definição Matemática) e uma pessoal (a definição adotada, socialmente construída por um aluno em determinado momento). De acordo com Godino, Batanero e Font (2008), essas dimensões duais referem-se a atributos, que passam a ser explicitados. Estas dimensões são:

- Pessoal-institucional. Se os sistemas de práticas são específicos de uma pessoa, são considerados “objetos pessoais” (concepções, esquemas, representações pessoais); mas, se são compartilhados no âmbito de uma instituição, os objetos emergentes são considerados institucionais (Godino & Batanero, 1994, p. 338);

- Ostensivo – não ostensivo. Entende-se por ostensivo qualquer objeto que é público e que, portanto, pode ser mostrado ao outro. Os objetos institucionais e pessoais têm uma natureza não ostensiva (não perceptíveis por si mesmos), no entanto, são utilizados em práticas públicas por meio de seus ostensivos associados (notações, símbolos, gráficos). Essa classificação entre ostensivo e não ostensivo é relativa ao jogo de linguagem do qual participam, porque um objeto ostensivo pode ser também pensado, imaginado por um sujeito ou estar implícito em um discurso matemático (por exemplo, o sinal de divisão em uma notação algébrica);

- Expressão-conteúdo. Antecedente e consequente da função semiótica. A atividade matemática e os processos de construção e uso dos objetos matemáticos se caracterizam por serem essencialmente relacionais. A relação que se estabelece por meio de funções semióticas, entendidas como “uma relação entre um antecedente (expressão, significante) e um consequente (conteúdo, significado) estabelecida por um sujeito (pessoa ou instituição), de acordo com certo critério ou código de correspondência” (Godino, Batanero & Font, 2008, p. 17);

- Extensivo-intensivo. Essa dualidade trata da dialética entre o particular e o geral, sendo utilizada para explicar uma das características básicas da atividade matemática, o uso de elementos genéricos, que se refere a um objeto que intervém num jogo de linguagem, como um caso particular de uma classe mais geral. Por exemplo, no estudo das funções, y = 2x + 1, seria uma função particular pertencente à classe ou tipo de funções lineares y = mx + n; a última expressão é um objeto intensivo (Godino, Batanero & Font, 2007).

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Porém, segundo os autores, os termos extensivo e intensivo não são aqui considerados sinônimos, respectivamente, de geral e particular; recebem essa denominação para ressaltar o caráter situado que possuem, uma vez que um mesmo objeto pode ser considerado intensivo em determinada situação e extensivo em outra. No exemplo anterior, conforme apontado por Godino, Batanero e Font (2007), a função y = mx + n pode ser classificada como um objeto extensivo, se considerar-se o estudo das funções polinomiais. A classe das funções polinomiais seria classificada como intensivo. Também a função particular y = 2x + 1, considerada um exemplo de extensivo anteriormente, pode ser considerada um intensivo, se for utilizada como expressão que permite obter o enésimo termo de determinada sequência;

- Unitário-sistêmico. Refere-se à participação dos objetos como entidades unitárias (que supostamente são conhecidas previamente) ou como sistemas que devem ser decompostos para seu estudo (entidade sistêmica). Por exemplo, no estudo da adição e subtração, nos últimos anos do Ensino Básico, o sistema de numeração decimal (dezenas, centenas) é considerado entidade unitária (por se tratar de algo conhecido). Esses mesmos objetos são, no entanto, considerados sistêmicos no primeiro ano desse mesmo curso.

Godino, Batanero e Font (2008) referem, ainda, que os objetos matemáticos que intervêm nas práticas matemáticas (situações-problemas, linguagem, definições, proposições, procedimentos argumentos) e “los procesos de donde emergen os seus emergentes” (p.9) (comunicação, problematização, definição, enunciação, elaboração de procedimento – algoritmatização, argumentação) podem ser analisados segundo as dimensões duais. Posteriormente, os autores mencionam as dualidades que ocorrem nos seguintes processos cognitivo-epistêmicos: institucionalização - personalização; generalização - particularização; decomposição - reificação; materialização - idealização; representação - significação.