Conhecimento matemático para o ensino

Ao longo do trabalho de Shulman e colaboradores, as categorias de conhecimento docente sofreram uma série de revisões. De acordo com Ball, Thames e Phelps (2008), eles estavam certos que suas compreensões de conhecimentos dos professores estavam incompletas e viam suas denominações como provisórias. Embora o foco de suas contribuições estivesse na reformulação do estudo do conhecimento de professores em maneiras que atendessem o papel dos conteúdos no ensino, não procuraram construir uma lista ou um catálogo do que os professores precisam saber em qualquer área particular do assunto.

Ainda assim, o trabalho chamou atenção para a ausência de pesquisa focada diretamente no conhecimento do conteúdo do professor e procurou especificar formas para diferenciar o conhecimento do conteúdo de ensino do conhecimento do conteúdo disciplinar. Os autores ressaltam que essas foram implicações importantes para o argumento emergente de que o ensino é uma profissão com sua própria base de conhecimento profissional.

Para Ball, Thames e Phelps (2008), ainda que exista grande interesse18

nas ideias apresentadas nesses estudos, principalmente, no que tange ao conhecimento pedagógico do conteúdo, o campo de pesquisa tem feito pouco progresso. Para os autores, o que se entende por conhecimento pedagógico do conteúdo ainda é pouco especificado, sem uma definição clara e sem fundamentos empíricos, o que acaba por limitar sua utilidade.

As ideias permanecem teoricamente dispersas, sem definição clara. [...] Ironicamente, quase um terço dos artigos que citam conhecimento pedagógico do conteúdo fazem-no sem direcionar a atenção para uma área de conteúdo específico, em vez disso fazem afirmações gerais do conhecimento dos professores, formação de professores, ou política. Estudiosos têm utilizado o conhecimento pedagógico do conteúdo, como se os seus fundamentos teóricos, distinções conceituais e testes empíricos estivessem já bem definidos e universalmente compreendidos. (IBID., p. 394, tradução nossa).

O conhecimento pedagógico do conteúdo, segundo os autores, na maioria das vezes não é distinguido de outras formas de conhecimento de professores, ora refere-se a algo que é simplesmente o conhecimento do conteúdo, ora a habilidade em grande parte pedagógica. Os autores trazem exemplos de definições curtas19 _{dadas que, embora captem a ideia geral do}

conhecimento pedagógico do conteúdo como um domínio que relaciona o assunto com o ensino, são superficiais e amplas o suficiente para incluir qualquer pacote de conhecimentos e crenças de professores.

Os autores também trazem exemplo de uma definição detalhada20_{, o que}

nem por isso torna mais claro o conhecimento pedagógico do conteúdo. Nela

18 _{Segundo os autores, nas duas décadas após terem sido divulgadas as ideias de Shulman e}

colaboradores, houve mais de mil e duzentas citações em várias revistas, e isso tem se sustentado com nada menos que cinquenta citações por ano desde 1990. O maior interesse está no conhecimento pedagógico do conteúdo que tem sido estudado em ampla variedade de áreas temáticas.

19 _{Por exemplo, segundo os autores, tem sido definido como "o cruzamento de conhecimentos}

sobre o assunto com o conhecimento do ensino e aprendizagem", ou como "o domínio dos conhecimentos dos professores que combina conhecimento sobre o assunto e conhecimento da pedagogia. Ou ainda, em termos mais amplos, como "o produto da transformação da matéria em uma forma que irá facilitar a aprendizagem do aluno".

20 _{Conhecimento pedagógico do conteúdo é o entendimento do professor de ajudar os alunos a}

entender determinado assunto. Ele inclui o conhecimento de como temas, assuntos, problemas e questões em particular, podem ser organizados, representados e adaptados aos diversos

esse envolve quase tudo que um professor deve saber no ensino de um assunto específico, o que para os autores, dificulta as distinções entre as ações do professor, raciocínio, crenças e conhecimentos.

É a partir dessas reflexões que Ball, Thames e Phelps (2008) chamam atenção para a necessidade de desenvolver uma teoria coerente para o conhecimento do conteúdo para o ensino. Em vista disso, sugerem mudar o foco das questões. Se no passado o foco estava no que os professores precisam saber (quais são as fontes de conhecimento do professor? o que um professor sabe e quando ele vem a saber disso?), a questão atual deve focar no que os professores precisam saber e serem capaz de fazer para ensinar de forma eficaz, ou, o que o ensino eficaz requer em termos de compreensão de conteúdos. Para os autores, a ênfase está no uso do conhecimento no e para o ensino, e não no conhecimento do professor.

De acordo com os autores, essas questões poderiam ser investigadas de várias formas e citam algumas, tais como: pela análise do currículo e normas de aprendizagem pelas quais os professores são responsáveis; por matemáticos especialistas e educadores matemáticos para identificar as ideias matemáticas fundamentais e habilidades que os professores devem ter; ou por meio de investigação da aprendizagem dos alunos para determinar os aspectos da matemática que os alunos têm dificuldade. Contudo, por acreditarem que os professores precisam saber os temas e procedimentos que ensinam – números primos, fatoração, frações equivalentes, funções, translações e rotações, e assim por diante -, decidiram focar em como os professores precisam saber tal conteúdo, estudar o trabalho que o ensino exige, e assim estabelecer a base para uma teoria focada na prática do conhecimento matemático para o ensino.

Por conhecimento matemático para o ensino queremos dizer o conhecimento matemático necessário para a realização do trabalho de ensino da matemática. Importante notar aqui é que a nossa definição começa com o ensino, não com professores. Esse conhecimento preocupa-se com as tarefas envolvidas no ensino e

interesses e habilidades dos alunos, e, em seguida, apresentados para a instrução. [...] A característica definidora do conhecimento pedagógico do conteúdo é a sua conceituação como resultado de uma transformação do conhecimento de outros domínios.

nas demandas matemáticas dessas tarefas. (BALL, THAMES e PHELPS, 2008, p. 395, tradução nossa).

Assim como Shulman, os autores acreditam na importância de identificar, isolar e medir o conhecimento, uma vez que a habilidade de ensinar é essencial para estabelecer o status do ensino como uma atividade profissional. Nesse sentido, e com o intuito de aprofundar, ampliar e refinar o trabalho de Shulman (1987), os autores passaram a focar seus estudos no ensino de matemática e na matemática usada para o ensino, identificando e definindo dois subdomínios do conhecimento pedagógico do conteúdo. O mais interessante para os autores, tem sido a evidência de que o ensino pode necessitar de um domínio pouco reconhecido do conhecimento do conteúdo e que apesar de não estar contido no conhecimento pedagógico do conteúdo, é essencial para um ensino eficiente - o conhecimento especializado do conteúdo.

A partir dos resultados de projetos desenvolvidos pelo grupo de Debora Ball, as análises das práticas dos professores evidenciaram que as demandas matemáticas para o ensino são consideráveis. Além disso, o conhecimento matemático necessário para o ensino não é menor do que aquele requerido por outros profissionais. Ball, Thames e Phelps (2008), oferecem um exemplo para melhor contextualizar suas afirmações, conforme mostra a Figura 8.

Figura 8. Primeira discussão do conhecimento especializado

Fonte: Ball, Thames e Phelps, 2008, p.396.

Segundo os autores, parece óbvio que a maioria dos leitores deve conhecer algum algoritmo para encontrar como resultado da subtração 139. Assim, os aurores, iniciam um trabalho puramente computacional, porque os professores que ensinam subtração certamente são capazes de desenvolver esses cálculos por si próprios. No entanto, ainda que esses cálculos sejam conhecidos por todos, ser capaz de realizá-los não é suficiente para ensiná-los.

Os autores apresentam dois erros comuns cometidos pelos alunos com o algoritmo de subtração, ilustrados na Figura 9, para evidenciar que embora o professor seja capaz de perceber tais erros, percebê-los não é algo que exija algum conhecimento especial. Ensinar vai além, nesse caso, requer capacidade de dimensionar a fonte do erro matemático, e isso exige um tipo de raciocínio matemático que a maioria dos adultos com uma base regular não precisa.

Figura 9. Segunda discussão do conhecimento especializado

Fonte: Ball, Thames e Phelps, 2008, p.396 e 397.

Além disso, também é comum no ensino os alunos produzirem abordagens fora do padrão, ilustradas na Figura 10. Os professores devem descobrir o que os alunos fizeram e se o pensamento matemático utilizado é correto para o problema. Os autores apontam que reconhecer estratégias diferentes de resolução levanta questionamentos do tipo: é legítimo fazer isso? Por quê? Isto funciona em geral? Isto é mais fácil para algumas situações e mais difícil para outras? Como descrever o método de resolução usado pelo aluno e como justificá-lo matematicamente?

Figura 10. Terceira discussão do conhecimento especializado

Fonte: Ball, Thames e Phelps, 2008, p.397.

Entretanto, interpretar o erro e avaliar algoritmos alternativos não é tudo o que os professores fazem. Eles precisam estar envolvidos com essa espécie de

discurso interno da matemática, fundamental para determinar o que fazer ao ensinar essa matemática.

Os professores devem saber justificativas para procedimentos, significados para termos e explicações para conceitos. Os professores precisam de maneiras eficazes para representar o significado do algoritmo da subtração, e não apenas para confirmar a resposta, mas mostrar o que as etapas do conhecimento significam e por que elas fazem sentido. Nosso ponto aqui não é sobre o que os professores precisam para ensinar às crianças, mas sobre o que os próprios professores devem conhecer e serem capazes de fazer para realizarem esse ensino. (BALL, THAMES e PHELPS, 2008, p. 398, tradução nossa).

Essa discussão aponta a importância de um tipo de raciocínio matemático fundamental para o ensino, mas ainda estranho à maioria das pessoas, mesmo as que receberam uma boa educação. Isto é o que eles chamam de demandas matemáticas especiais para o ensino de matemática, identificadas a partir do estudo das exigências matemáticas de ensino que produziu uma grande quantidade de tarefas que exigem conhecimento e habilidade matemática.

Ball, Thames e Phelps (2008), foram pegos de surpresa ao perceberem o quanto de conhecimento matemático especial era necessário, mesmo nas tarefas cotidianas de ensino, tais como: avaliação do trabalho do aluno, ouvir a fala do aluno, classificação ou comentários sobre o trabalho do aluno, dentre outras. Observaram, também, que muito dos componentes de tarefas de ensino exigem conhecimento matemático para além de conhecimentos dos alunos ou do ensino. Da mesma maneira, determinar a validade de um argumento matemático ou selecionar uma representação matematicamente apropriada, ainda que requeira conhecimento e habilidades matemáticas importantes para o ensino, não implica no conhecimento de alunos ou de ensino. A partir dessas análises eles começaram a notar

o quão raramente essas demandas matemáticas poderiam ser resolvidas com o conhecimento matemático aprendido em cursos de matemática da universidade. Começaram com a hipótese de que existem aspectos do conhecimento do conteúdo – além do conhecimento pedagógico do conteúdo – que precisam ser descobertos, mapeados, organizados e incluídos nos cursos de matemática para professores. (BALL, THAMES e PHELPS, 2008, p. 398, tradução nossa).

Estes aspectos do conhecimento matemático identificado pelos autores têm uma relevância para o ensino que muitas vezes está ausente das discussões a respeito da matemática necessária por parte dos professores. Nesse sentido, os autores acreditam que, ao identificarmos a matemática em relação às tarefas específicas a que os professores se dedicam, estabelecemos sua relevância para o que os professores fazem.

A partir de suas análises do trabalho matemático envolvido no ensino de matemática, os autores observaram que a natureza desse conhecimento e habilidade matemática pareciam ser de diferentes tipos e trabalharam com a hipótese de que as oportunidades dos professores para aprender matemática para o ensino poderiam ser melhor organizadas se esses tipos fossem identificados claramente. Nesse sentido, Ball, Thames e Phelps (2008), conjecturam que o conhecimento do conteúdo e conhecimento pedagógico do conteúdo, ambos propostos por Shulman (1986), poderiam ser subdividos, respectivamente em, conhecimento comum do conteúdo e conhecimento especializado do conteúdo, e conhecimento do conteúdo e de estudantes e conhecimento do conteúdo e de ensino.

Os autores entendem por conhecimento comum do conteúdo, o conhecimento matemático que não é exclusivo ao ensino, uma vez que é também utilizado em outras áreas. Se torna importante domínio, pois os professores devem ser capazes de realizar o trabalho que atribuem aos alunos. Nesse sentido, reconhecer uma resposta errada ou uma definição imprecisa de um livro, bem como o uso correto de termos e notações matemáticas fazem parte desse tipo de conhecimento matemático comum.

Já o conhecimento especializado do conteúdo é tratado como o conhecimento e habilidade matemática única ao ensino, não sendo necessário para outros fins além ensinar.

Contabilistas tem que calcular e conciliar números e os engenheiros têm que matematicamente modelar propriedade de materiais, mas nenhum dos dois grupos precisa explicar por que quando você multiplica por dez, você adiciona um zero". (BALL, THAMES e PHELPS, 2008, p. 401, tradução nossa).

Os autores sinalizam que as exigências do trabalho de ensino da matemática criam a necessidade de um corpo tal de conhecimento matemático especializado ao ensino. Por exemplo, dimensionar rapidamente a natureza de um erro, especialmente aqueles que não são familiares, é um conhecimento matemático especializado. Esse tipo de conhecimento está além do que está sendo ensinado aos alunos, requer compreensão de diferentes interpretações que os alunos não precisam explicitamente distinguir.

O terceiro domínio, conhecimento do conteúdo e dos alunos, relaciona conhecimento dos alunos e conhecimento matemático. Esse tipo de domínio faz com que os professores possam antecipar o pensamento dos alunos, ou seja, suspeitar o que eles vão pensar ou achar confuso em uma determinada tarefa, se vão achá-la fácil ou difícil. Por exemplo, ter familiaridade com os erros comuns e saber porque em geral os alunos os cometem é um conhecimento do conteúdo matemático e dos alunos.

O último domínio tratado por Ball, Thames e Phelps (2008), conhecimento do conteúdo e do ensino, requer interação entre o entendimento específico da matemática e a compreensão de questões pedagógicas que afetam a aprendizagem dos alunos. Nesse tipo de domínio estão envolvidas as escolhas e avaliações que os professorem fazem no que tange aos diferentes métodos e procedimentos que podem lançar mão para ensinar uma ideia matemática particular. Selecionar uma abordagem de ensino que seja eficiente para superar determinadas dificuldades, seguir com uma ideia do aluno e quais ignorar ou guardar para um momento posterior é um conhecimento do conteúdo e do ensino.

Os autores propõem um diagrama, conforme mostra a Figura 11, para representar suas hipóteses e mostrar a correspondência entre o atual mapeamento dos domínios de conhecimento de conteúdo para o ensino e as duas categorias propostas por Shulman (1986): conhecimento do conteúdo e conhecimento pedagógico do conteúdo. Os autores chamam atenção para a alocação provisória da terceira categoria de conhecimento de Shulman (1986), conhecimento curricular, dentro do conhecimento pedagógico do conteúdo. Os autores ainda não estão certos de que o conhecimento curricular pode ser parte do conhecimento do conteúdo e do ensino, ou se pode permear pelos diversos

domínios ou ainda, ser um domínio próprio. Eles também incluem no diagrama provisoriamente, o que eles chamam de conhecimento horizonte, mas novamente não estão certos se esse domínio de conhecimento faz parte do conteúdo ou também permeia pelos outros domínios.

Os autores entendem por conhecimento horizonte a compreensão necessária de como os tópicos matemáticos estão relacionados com a extensão matemática do currículo. Professores, por exemplo, podem precisar saber a relação entre a matemática que ensinam, com a matemática que deverá ser aprendida por seus alunos nas séries seguintes. Além disso, para os autores, esse tipo de conhecimento pode auxiliar os professores em suas tomadas de decisões. Embora não estejam certos quanto a alocação de algumas categorias, os autores, com base nos resultados empíricos obtidos, indicam que o conhecimento do conteúdo para o ensino é multidimensional.

Figura 11. Diagrama Conhecimento Matemático para o Ensino

Fonte: Ball, Thames e Phelps, 2008, p. 403.

É importante ressaltar que como a reflexão teória desenvolvida pelos autores é estruturada em relação à prática, a identificação dos saberes pode trazer um pouco de confusão. Por exemplo, as situações surgidas no ensino que

exigem que os professores usem a matemática podem ser interpretadas com tipos diferentes de conhecimentos. Enquanto um professor pode descobrir o que deu errado ao analisar o erro matematicamente, outro professor pode descobrir o erro a partir da experiência obtida, com alunos em situações anteriores com este tipo particular de problema. Assim, enquanto o primeiro professor utiliza o conhecimento especializado, o segundo utiliza o conhecimento do conteúdo e de estudantes.

Os autores consideram que não é sempre fácil discernir o que separa uma categoria da outra, e isso pode afetar a precisão, ou mesmo a falta dela, em sua definição. Em casos particulares, como no caso dos sólidos arquimedianos, pode ser difícil discernir o conhecimento comum do conhecimento especializado, principalmente, quando este conteúdo de ensino não faz parte da matemática ensinada na escola básica. No entanto, pensamos que este tipo de conhecimento detalhado de processos de construção de sólidos arquimedianos é um tipo de conhecimento especializado, uma vez que é difícil imaginar outras pessoas usando esse conhecimento em seu dia a dia. Todavia, pensamos também que as formas de alguns arquimedianos podem fazer parte do conhecimento comum, como é o caso do icosaedro truncado. Seja como for, os professores devem conhecer o conteúdo que ensinam e isso é fundamental, se os professores não conhecem bem o assunto não são suscetíveis de ter o conhecimento necessário para ajudar os alunos a aprender este conteúdo.

Nesse sentido, assim como os autores, acreditamos ser pertinente identificar e isolar a matemática em relação às tarefas específicas que os professores devem se dedicar ao ensinar sólidos arquimedianos via construções, bem como apresentar justificativas para os procedimentos realizados. Tal organização daria oportunidade para que os professores conhecessem os arquimedianos a ponto de ensiná-los, ao mesmo tempo que estabeleceria a relevância para o que eles venham a fazer com tais sólidos em sala de aula. Assim, escolhemos a Teoria Antropológica do Didático de Chevallard (1999) por fornecer subsídios, a partir da Organização Matemática considerada, para identificar os saberes envolvidos quando se pretende ensinar sólidos

arquimedianos. Tal teoria será apresentada mais à frente. Por ora, continuaremos com os avanços obtidos a partir das ideias iniciais de Shulman.

Assim como Ball, Thames e Phelps (2008) que vêm refinando o estudo de Shulman (1986) e colaboradores, ao destacarem o conhecimento matemático necessário para o ensino, Mishra e Koehler (2006) ao inserirem um novo componente à concepção de base de conhecimento defendida pelo autor, não só ampliam as categorias de conhecimentos já elencadas, como também estabelecem novas relações entre elas, como mostramos no que segue.