O estudo de Shulman e colaboradores na segunda metade dos anos oitenta, embora tenha se desenvolvido com o propósito de investigar o desenvolvimento do conhecimento do professor tanto em sua formação quanto em sua prática, o que permitiria explicar e descrever os componentes de conhecimento base para o ensino, se converte também em um novo marco epistemológico para a investigação nas didáticas específicas.
Este entendimento parte do princípio de que embora as questões referentes ao campo de estudo de Shulman considerem o conhecimento tácito característico de algumas ações do professor, a reflexão nesse âmbito não pode ser feita no vazio, tem de ser feita sobre determinados conteúdos. Isto requer considerar, tanto a reflexão da experiência prática, quanto à compreensão teórica que se tem dela. É dessa maneira, que o autor reivindica como um dos componentes que legitimam o ensino como profissão, o conhecimento do
conteúdo da disciplina objeto de ensino e a capacidade de transformá-lo em algo compreensível aos seus alunos.
Assim, concordamos com Bolívar (2005, p. 6) ao afirmar que,
se partirmos de que a competência dos professores nas disciplinas que ensinam é um critério básico para estabelecer a qualidade do professor, é inevitável que se redirija a investigação didática nesse aspecto.
No entendimento de Shulman (1986, 1987), a partir do conhecimento pedagógico geral e do conhecimento do conteúdo, os professores devem desenvolver um conhecimento específico, em outras palavras, conhecimento de como um conteúdo particular deve ser ensinado. É nesse sentido que um conhecimento didático específico ganha destaque, uma vez que embora o conhecimento do conteúdo seja indispensável, ele por si só não suscita ideias de como deve ser apresentado a alunos específicos.
Dessa forma, ainda que as didáticas das disciplinas, originárias do contexto alemão na metade do século XIX, tenham surgido como aplicação metodológica dos princípios da didática geral a um campo disciplinar (tradicionalmente denominado de didática especial), como bem aponta Bolívar (2005), há de se convir que cada disciplina possui modos específicos de ensino, bem como uma tradição didática própria de seus professores.
Nesse sentido, se torna inevitável considerar que o ensino e sua eficácia funcionam diferentemente para os conteúdos das diferentes áreas. Por exemplo, o ensino de matemática a crianças é bem diferente do ensino de literatura a adolescentes, ou mesmo a adultos. Importa assinalar que um conjunto de princípios gerais seria inadequado para ordenar conjuntamente o ensino da física e o ensino de geografia, por exemplo.
A partir desse contexto, no âmbito da didática geral duas razões são apontadas por Bolívar (2005), para defender concepção de didática específica e abandonar a tradicional ideia de didática especial.
A primeira, de caráter mais corporativo, é que – frente a dependência da didática especial da didática geral – falar de “didáticas específicas” é contribuir ao desprendimento e
independência progressiva de campos que tradicionalmente dependiam organicamente da Didática geral.
[A segunda], aceitando a possibilidade legítima de didáticas específicas em nível de formação de professores da escola básica, em outros níveis educativos, o componente “conteúdo” se apresenta de outro modo, tanto em sua aquisição como em seu uso. (IBID., p. 11 e 12).
Ainda que a distinção entre didática e conteúdo tenha se mantido, a partir da década de 90, os interesses parecem estar mudando da Didática Geral para as didáticas específicas, na medida em que se compreende que as didáticas disciplinares possuem suas próprias especificidades. Com efeito, passa-se a valorizar não somente como se ensina, mas também o que se ensina, acabando por mostrar que no ensino, conteúdo e didática não podem se configurar como campos separados ou aditivos.
Assim, entendemos que diferentemente da didática especial, as didáticas específicas, ainda que comunguem metodologias e princípios gerais ou comuns da Didática Geral e dependentes de teorias de aprendizagem, não só assumem identidade própria, na medida em que a didática de cada disciplina é interna ou intrínseca a ela, como também abrem um campo de investigação. Esse campo de investigação que se caracteriza por razões não especificamente psicológicas, já que enfatiza o conhecimento e a compreensão do conteúdo como conhecimento base para o ensino, revaloriza em conjunto a formação disciplinar e a didática específica.
É a partir dessa compreensão que autores, como Bolívar (2005) e Marcelo (1993), defendem o conhecimento pedagógico do conteúdo, como um conhecimento didático específico, que não só se difere do conhecimento didático geral, como também se distancia dele.
Bolívar (2005, p. 15) ainda argumenta que
se a Didática é um conjunto de princípios genéricos aplicáveis a qualquer disciplina, não há uma identidade epistemológica das didáticas específicas, e a formação do professor pode organizar- se- como de costume- em cursos independentes de ambos os tipos; mas se há um conhecimento da disciplina especificamente didático, é aqui onde se situa o possível status próprio e justificativa de uma didática específica.
Nesse sentido, tanto o autor quanto Marcelo (1993), traduzem conhecimento pedagógico do conteúdo por conhecimento didático do conteúdo, sendo este último uma espécie de amálgama de conteúdo e didática. No contexto espanhol, os autores ressaltam que a equivalência entre os termos “pedagógico” e “didático” se justifica dado que o sentido específico e pejorativo do termo didático no contexto anglo-saxão não existe na Espanha.
Segundo os autores, o novo modelo, pretende descrever como os professores de matemática compreendem a disciplina que ensinam e como a transformam didaticamente em algo compreensível, isto é, em formas e modos didáticos de representação. Essa concepção de conhecimento didático do conteúdo, como representação do assunto, o relaciona a estratégias que permitem adaptar, criar e transformar o conhecimento disciplinar ao contexto da classe.
No âmbito da Educação Matemática, Ponte et al. (1994) e Margolinas, Coulange e Bessot (2005) em momentos diferentes de pesquisas, também associam conhecimento pedagógico do conteúdo ao conhecimento didático específico do professor. No entanto, a compreensão que apresentam a respeito deste conhecimento transcende a representação do conteúdo.
De acordo com Ponte et. al (1994, p. 368, tradução nossa),
essa ideia de uma mistura de conteúdo matemático com o conhecimento pedagógico [...] tem de fato sido em torno de algum tempo. [...] Tal mistura tem de recorrer a diferentes componentes do conhecimento atual para produzir uma reestruturação dos conhecimentos do ofício dos professores. Podemos chamar esse
conhecimento pedagógico do conteúdo de "Didática da Matemática", mas parece ter um escopo muito mais amplo do
que apenas a representação do assunto. Deve incluir um compreensível corpo de imagens, princípios e regras de ação, alguns gerais, alguns mais específicos, organizados com uma razão clara, que traz a natureza específica do conteúdo subjacente e suficientemente poderoso para guiar as ações do professor. Por exemplo, em matemática, ingredientes importantes de tal conhecimento didático contarão com a natureza de experiências de aprendizagem matemática, a relação entre a matemática e a realidade e o papel do processo do pensamento específico.
Mesmo considerando que didática, em outras perspectivas, também significa representar o assunto, Margolinas, Coulange e Bessot (2005) afirmam que em Didática da Matemática, seu uso segue um padrão regular de especificação de conteúdo que lhes parece muito útil. Para os autores,
conhecimento didático do professor refere-se à parte do conhecimento que está relacionado com o conhecimento matemático a ser ensinado. Nesse sentido, sabendo que (algo é assim) e saber por que (é assim), (SHULMAN, 1986), fazem parte do conhecimento didático, se eles estão relacionados a algum conteúdo matemático. (IBID., p. 207, tradução nossa).
Assim, ao considerarem a especificidade do conhecimento matemático, os autores preferem o termo conhecimento didático ao termo conhecimento pedagógico do conteúdo, mesmo que pareçam muito próximos. Os autores situam o conhecimento didático, especificamente matemático, do professor no contexto de pesquisa da Didática da Matemática, desenvolvida na França, a partir dos anos 1970, que até hoje permanece como um campo independente de pesquisa.
Segundo Bosh e Gascón (2001, p.15),
a didática da matemática se construiu desde o princípio sobre o postulado da necessidade de fazer algo, de forma integrada, o “pedagógico” (considerado classicamente como a forma de ensinar, independente do conteúdo que se ensina e alheio ao objeto de estudo de uma nova disciplina que se domina “didática da matemática”) e o “matemático” (considerado classicamente como o conteúdo do ensino de matemática, transparente, inquestionável e independente da forma de ensinar).
De acordo com Almouloud (2007), as primeiras pesquisas em didática da matemática têm sua origem após o fracasso do movimento que ficou conhecido como o Movimento da Matemática Moderna, quando pesquisadores franceses, entre outros, motivados pelo estudo de problemas referentes ao ensino e a aprendizagem de matemática, buscavam investigar e indicar ações fundamentadas para tentar solucionar tais problemas, ainda que parcialmente.
Segundo Almouloud (2007) tais pesquisas, com base nas teorias psicológicas de Piaget, preocupavam-se em “estudar os problemas de ensino de conceitos matemáticos em razão das exigências próprias do saber matemático”
(IBID., p. 26), isto é, o ensino específico da Matemática. Nessa perspectiva, priorizava-se o papel do professor em detrimento do conteúdo a ser ensinado e a metodologia utilizada para disponibilizá-lo ao aluno. Essa visão do processo de ensino e aprendizagem é representada pelo triângulo pedagógico, ilustrado na Figura 3.
Figura 3. Triângulo pedagógico
Fonte: Almouloud, 2007, p. 26.
Ainda segundo o autor, avanços importantes foram obtidos com os resultados de tais pesquisas, tanto na identificação quanto na compreensão de fenômenos que interferem no processo de ensino e de aprendizagem de conceitos matemáticos, o que acabou por contribuir para a constituição da Didática da Matemática como campo de investigação.
Com os avanços obtidos, o construtivismo piagetiano cedeu lugar ao construtivismo didático. Já não mais centralizava-se o estudo no desenvolvimento do sujeito epistêmico, mas na situação didática14, ou o conjunto de situações, que
é, ou são organizada(s) pelo professor para que uma aprendizagem aconteça. Sendo assim, a Didática da Matemática passou a considerar o estudo dos processos de ensino e de aprendizagem sob um ponto de vista sistêmico, e não como um estudo separado de cada um de seus componentes.
É nesse sentido que Chevallard e Johsua (1982) descrevem um sistema didático, que se forma a partir de três componentes: professor, aluno e saber. Tal
14 O conjunto de relações estabelecidas explicitamente e/ou implicitamente entre um aluno ou
grupos de alunos, um certo milieu (contendo eventualmente instrumentos ou objetos) e um sistema educativo (o professor) para que esses alunos adquiram um saber constituído ou em constituição. (BROSSEAU, 1978 apud ALMOULOUD, 2007)
sistema é representado pelo triângulo didático, como mostra a Figura 4, que diferente do triângulo pedagógico, prioriza as interações entre o professor e alunos mediadas pelo saber em situações de ensino.
Esse novo ponto de vista em Didática da Matemática denominado inicialmente didática fundamental por Brousseau (1997, apud BOSCH e GASCÓN, 2001) provocou uma ampliação inesperada da problemática didática, especialmente porque incluía o conhecimento matemático, isto é o saber, como objeto primário de investigação.
Figura 4. Triângulo didático
Fonte: Almouloud, 2007, p. 32.
Bosh e Gascón (2001, p.9), em coerência com esse novo olhar, afirmam que questões acerca de conhecimento do aluno, de atividades de aprendizagem, de ensino docente, de processos cognitivos que acompanham essas atividades e, em geral, dos processos de ensino e de aprendizagem, ainda que importantes, passam a ser considerados como secundários, uma vez que “deverão ser construídos ou definidos a partir dos termos primitivos do modelo epistemológico da matemática que se adota como núcleo firme e porta de entrada à análise dos fenômenos didáticos”.
Dessa forma, como aponta Chevallard (1985), não é possível interpretar adequadamente a atividade matemática escolar sem considerar os fenômenos relacionados com a reconstrução escolar da matemática que tem origem na própria instituição de produção do saber matemático. Nesse sentido, ao analisar as relações professor-saber-aluno é necessário considerar “a diferença entre a
matemática que pode e/ou deve ser ensinada na escola e a matemática entendida e praticada pelos pesquisadores em matemática” (ALMOULOUD, 2007, p. 26).
Foi nesse cenário, que surgiu uma definição de Didática da Matemática, como a “ciência das condições específicas de difusão (imposta) dos saberes matemáticos úteis às pessoas e às instituições humanas”. (BROUSSEAU, 1994 apud BOSCH e GASCÓN, 2001, p. 9).
A Didática da Matemática é considerada como ciência porque apresenta todas as particularidades que uma ciência consolidada e estável deve possuir. Para D'Amore (2007, p. 7)15, além de existir um grupo numeroso de
pesquisadores em Didática da Matemática, que demonstram interesses em comum,
existem problemáticas consideradas centrais e compartilhadas que , há algumas décadas, dão explicações de caráter causal, que elaboraram um vocabulário comum, compartilhado; que têm seus congressos e revistas específicos, no interior dos quais as propostas de comunicação ou de publicação são julgadas com base em procedimentos compartilhados. Estamos, portanto, totalmente nas condições propostas por Romberg (1988).
Embora não sejam retratadas aqui, existem outras ideias fundamentais que ajudam a entender o funcionamento da pesquisa em Didática da Matemática. Isso acontece porque a pesquisa nesse âmbito, como bem lembra o autor, parece concentrar seu olhar no fenômeno da aprendizagem16, o que não envolve um
modelo único de teoria de aprendizagem.
Vale ressaltar que nossa intenção, pelo menos nesse momento, não é a de trazer discussões de teorias que contemplam esse campo de pesquisa. Nosso intuito aqui é destacar que a Didática da Matemática não só ressalta e justifica, de modo paralelo aos estudos de Shulman e colaboradores, a importância do status próprio das didáticas específicas, como amplia seu campo de investigação, na
15 O autor faz referência a um trabalho de Romberg (1988) que trata com clareza das condições
que consolidam um campo de investigação como ciência.
16 O autor esclarece que, embora em um primeiro momento, as investigações em Didática da
Matemática pareçam ser relativas ao processo de ensino, o controle implícito segue na direção oposta. Todo foco é centrado nos processos de aprendizagem (o que obviamente reflete no ensino).
medida em que não só investiga os fatores que influenciam o ensino da matemática, como também estuda as condições que favorecem a aquisição de objetos matemáticos pelos alunos.
Ante o exposto, duas maneiras de compreender o conhecimento didático, especificamente matemático foram apresentadas: como representação do assunto e a partir de pesquisa empírica. Podemos dizer que, como representação do assunto, ou divulgação de ideias, o conhecimento didático se constrói a partir de estudos e elaborações de instrumentos sujeitos a melhorar o ensino de Matemática, sejam estes concretos ou não. Já a partir de pesquisa empírica, isto é, da Didática da Matemática, o conhecimento didático se constrói ao compreender as dimensões epistemológicas, sociais, cognitivas, bem como a partir das interações entre o saber, o aluno e o professor no interior do contexto de sala de aula.
No entanto, como salienta D'Amore (2007), os estudos com base na primeira acepção tendem inevitavelmente a tornarem-se pesquisas em Didática da Matemática, caso contrário não passariam de simples exercícios retóricos, sem qualquer credibilidade didática. Isso acontece porque as pesquisas que compreendem o conhecimento didático como representação do assunto, embora sejam sensíveis ao aluno, atém a atenção na fase do ensino de matemática, o que acaba por limitar seu campo de investigação. Nesse âmbito, o autor esclarece que, a evidência da motivação, que se encontra na elaboração de instrumentos, se perde na medida em que tanto os que propõem, quanto os que seguem tais propostas "não possuem, como suporte, os resultados de uma pesquisa didática sobre os efeitos cognitivos em relação às modificações na aprendizagem obtida com o referido instrumento" (IBID., p. 46). Com efeito, como aponta o autor, esse limite acabou por redimensionar os estudos realizados nesse âmbito, que embora persistam, são seguidos por uma pesquisa empírica bem fundamentada e cada vez mais especializada, a Didática da Matemática.
Por outro lado, como lembra Brousseau (1996), os resultados de pesquisas obtidos com a Didática da Matemática, não só dizem respeito aos comportamentos cognitivos dos alunos, como também aos tipos de situações
utilizadas para lhes ensinar e a todos os fenômenos que a comunicação do saber dá lugar. Nesse sentido,
a produção ou o melhoramento de meios de ensino encontra nestes resultados muito mais do que objetivos ou meios de avaliação, encontra neles um apoio teórico, explicações, meios de previsão e de análise, sugestões, e mesmo dispositivos e métodos. (BOUSSEAU, 1996).
Em razão das considerações realizadas acima e para o entendimento do que se pretende com este estudo, dois aspectos precisam estar claros. O primeiro relacionado ao nosso entendimento de que o conhecimento didático específico surge da integração entre o “pedagógico” e o “matemático”. Diferente de Marcelo (1993) e Bolívar (2005) observamos que, embora a identificação indistinta entre os termos pedagógico e didático (geral) seja frequente, no Brasil não são vistos como sinônimos.
De acordo com Libâneo (2010), ainda que o conhecimento pedagógico se ocupe, de fato, de processos educativos, métodos e maneiras de ensinar (Didática Geral), ele tem um significado bem mais amplo. Para o autor, o pedagógico assume a tarefa de orientar a prática educativa de modo consciente, intencional, sistemático, para fins sociais e políticos cunhados a partir de interesses concretos no seio da práxis social (quer seja na escola, na família, na empresa, dentre outros).
Nesse contexto, com a compreensão de que o conhecimento pedagógico não se reduz ao conhecimento didático geral, o autor pontua a Didática Geral como uma modalidade da Pedagogia. Para o autor, a dependência da Didática Geral em relação à Pedagogia se confere na impossibilidade de se especificar objetos imediatos da instrução, métodos e maneiras de ensinar, fora de uma concepção de mundo, de uma opção metodológica geral e uma concepção de práxis pedagógica, uma vez que tais tarefas fazem parte do campo pedagógico.
É nesse sentido que assumimos neste trabalho o conhecimento didático específico a partir da integração entre os conhecimentos pedagógico e matemático. Para melhor esclarecer e diferenciar as relações pedagógicas e as
relações didáticas (específicas) que se estabelecem no contexto de sala de aula, recorremos às faces do tetraedro 17 ilustrado na Figura 5.
Figura 5. Tetraedro didático
Fonte: Marc Bailleul, 2014.
A face do tetraedro de vértices situação de ensino, aluno e saber, conforme mostra a Figura 6, mostra que relação pedagógica se estabelece em uma dada situação de ensino a partir da interação entre professor e aluno, sem envolver um conteúdo particular, isto é, o saber. Nesse sentido, o conhecimento pedagógico situado aqui se constrói a partir das ideias relacionadas à gestão de classe, que auxiliam na formulação e desenvolvimento de condições metodológicas e organizativas para viabilizar a atividade educativa.
Figura 6. Relação pedagógica
Fonte: Marc Bailleul, 2014.
17 Ideia apresentada por Marc Bailleul em uma de suas palestras realizadas no Programa de Pós-
Já as demais faces, conforme mostra a Figura 7, apresenta as relações didáticas que se estabelecem quando objetiva-se ensinar um conteúdo particular a alunos específicos. Marc Bailleul apresenta três tipos de relações didáticas a saber: a interação didática entre professor e aluno mediada pelo saber, Figura 7(a), e as relações presentes na situação de ensino que envolvem tanto o conhecimento do professor quanto o conhecimento do aluno com o saber que