3.3.2 A Teoria Antropológica do Didático
3.3.2.2 O problema didático
De acordo com Gascón (2011), o princípio epistemológico geral assinala que os problemas científicos não se apresentam de maneira antecipada, entretanto surgem e evoluem simultaneamente com a disciplina que os constrói. Assim, as pesquisas que se situam no âmbito da Didática da Matemática podem utilizar a TAD, porque tal teoria proporciona ferramentas de análise que possibilitam construir, ou ainda reconstruir, o problema a ser investigado, isto é, o problema didático.
Segundo o autor, embora nem todo problema didático se origine de um problema docente25 - como em nosso caso particularmente, uma vez que os
sólidos arquimedianos não estão presentes no currículo da escola básica - a maioria deles
se formula com as noções disponíveis na cultura escolar, que em muitas ocasiões são importadas de documentos curriculares (por exemplo, as noções de motivação, aprendizagem significativa, individualização do ensino, aquisição de um conceito, abstração ou competência). (IBID., p. 207).
Como no passado, a problemática docente ainda constitui a problemática didática inicial. No entanto, o autor considera o problema docente incompleto, uma vez que por si só não situa a atividade matemática envolvida no problema
25 Segundo Gascón (2011), podemos dizer que estamos diante de um problema docente quando
didático, bem como não considera a relatividade institucional do saber matemático. O autor assevera que à luz da TAD, é imprescindível a elaboração de um modelo epistemológico para ser utilizado no estudo do problema. Assim, para que um problema didático possa ser considerado como tal sua dimensão epistemológica deve ser explicitada.
Qualquer problema didático formulado está relacionado, ainda que, implicitamente, "a uma descrição e a uma interpretação - ou seja, a um modelo epistemológico - do âmbito matemático que está em jogo" (GÀSCON, 2011, p. 208). O autor, sob o enfoque da TAD, descreve as três dimensões fundamentais do problema didático: a epistemológica, que assume um caráter nuclear, visto que conduz e condiciona as demais dimensões, a econômica-institucional, que despersonaliza a problemática didática e delimita a unidade mínima de análise dos processos de estudo e a ecológica, que impõe as condições necessárias para que o estudo institucionalizado de matemática seja realizado.
Com base nessas dimensões, o autor propõe o esquema, Figura 14, para caracterizar o desenvolvimento virtual de um problema didático.
Figura 14. Caracterização de um problema didático
Fonte: Gascón, 2011, p. 205.
Enquanto P1, P2 e P3 representam as dimensões fundamentais do
problema didático, respectivamente as dimensões epistemológica, econômica- institucional e ecológica, P0 representa a formulação inicial (pré-científica) de
alguns problemas didáticos, denominada de problema docente. Segundo o autor, embora P0 esteja presente no esquema, não o considera como uma dimensão
fundamental, pois nem sempre se faz presente em todos os problemas didáticos. Que tenho que ensinar aos meus alunos e como tenho que ensinar a propósito da geometria, da estatística, do cálculo diferencial ou da proporcionalidade? É um exemplo de problema docente trazido pelo autor.
O símbolo presente no esquema faz alusão para que P0 seja
adicionar a dimensão epistemológica P1 para que este se torne de fato um
problema didático. No que se refere ao símbolo , o autor afirma que apesar de indicar que cada dimensão Pi é logicamente anterior a dimensão Pi+1, não deve
ser interpretado como inclusão. Por fim, no esquema, o problema didático está representado por Pδ, que se formula a partir das três dimensões fundamentais,
das relações que elas estabelecem entre si, bem como a partir de algumas questões novas que geralmente não aparecem explicitamente em nenhuma das três dimensões. As dimensões fundamentais do problema didático são discutidas no que segue.
Dimensão epistemológica
Para que os fenômenos didático-matemáticos sejam analisados com base na TAD, segundo o autor, é imprescindível especificar o modelo epistemológico de referência (MER) que será utilizado. Ainda que, inexista um sistema de referência privilegiado, é baseado nesse modelo, de caráter sempre provisório, que "o didata pode desconstruir e reconstruir as praxeologias cuja definição intrainstitucional e interinstitucional pretende analisar" (GÀSCON, 2011, p. 208). Além disso, um MER se torna ainda mais essencial no estudo do saber matemático antes que se transforme para ser ensinado, pois só assim é possível descrever e interpretar os conhecimentos matemáticos, bem como compreender porque determinados objetos matemáticos são evidenciados e não outros.
Como exemplos de questões formuladas nessa dimensão, trazemos algumas: como se interpreta e como se descreve o conhecimento matemático de sólidos arquimedianos? quais são seus componentes e como se estruturam? como podem ser modelados? qual a razão de ser desses sólidos? como os conhecimentos de arquimedianos se originam e como se desenvolvem? como tais conhecimentos se transformam ao migrar entre diferentes instituições? Para o autor, são as respostas a essas questões que irão formar a dimensão epistemológica, bem como situá-la em uma posição nuclear em todo o problema didático, uma vez que condiciona por completo a problemática didática.
Para o autor, como todo problema didático possui um componente matemático essencial, são esses questionamentos de natureza epistemológica que fundamentam a teoria do conhecimento. Nesse sentido, pontua que
a dimensão epistemológica de um problema didático é mais básica ou fundamental da que poderíamos chamar de dimensão cognitiva. Por isso, a TAD não considera que as questões diretamente relacionadas com o cognitivo integrem uma das dimensões fundamentais ou básicas de um problema didático, mas que formam parte de uma dimensão secundária, embora não menos importante. (IBID., p. 211).
Assim, para que um problema didático seja formulado ou reformulado, no âmbito da TAD, é necessário tomar um MER como sistema de referência, compatível com o modelo epistemológico geral da atividade matemática que se estabelece em termos de organizações praxeológicas ou praxeologias. Para o autor, isso reforça a ampliação do matemático ao integrar, de forma inseparável na dimensão epistemológica, a gênese, o desenvolvimento, o estudo, a utilização e a transposição institucional do saber matemático. Em nosso estudo, temos como MER o modelo renascentista de obtenção de sólidos arquimedianos, que aparecem como resultado de cortes não aleatórios a partir das arestas de sólidos platônicos.
Dimensão econômico-institucional
Ao considerar que todo problema didático faz referência a forma de organizar o estudo de certas OM em determinadas instituições, isto é, a uma OD institucional, podemos compreender, segundo Gascón (2011), a dimensão econômico-institucional do nosso problema didático a partir da pergunta: como vivem as OM e as OD de sólidos arquimedianos nas instituições?
A resposta a esta pergunta vem contemplar o conjunto de regras e princípios que possibilitam a organização e a funcionalidade das OM e OD envolvidas no problema didático que existem efetivamente em determinadas instituições. Para tanto, o autor pontua que para descrever e analisar as características das ditas OD, são necessários instrumentos que proporcionarão um modelo de referência de tais OD possíveis. Nesse sentido além de um MER, há necessidade de utilizar um Modelo Didático de Referência (MDR), sendo este sustentado pelo MER. O autor explica que o MDR tem que estabelecer uma profunda relação entre as características do processo (OD) e o produto (OM) da atividade matemática institucionalizada.
No que se refere às análises dos processos didáticos, para o autor, só poderão ser realizadas a partir de uma unidade mínima, considerada por uma OD associada a uma OM local. A razão disso está no fato de que se um MER é construído por meio de praxeologias sucessivas, então um problema didático não pode ser construído tendo apenas como referência uma OM pontual. No âmbito da TAD, "todo o problema didático tem que fazer referência, de forma mais ou menos explícita, a todas as etapas de transposição didática e deve conter uma praxeologia matemática suficientemente ampla" (GASCÓN, 2011, p. 214). As etapas de transposição didática26 podem ser visualizadas na Figura 15.
Figura 15. Etapas da transposição didática
Fonte: Gascón, 2011, p. 214.
Mais uma vez, é importante ressaltar que a TAD ao aceitar a existência da unidade mínima de análise dos processos didáticos admite a preeminência do
26 Cada um dos saberes presentes nas etapas da transposição didática se refere a sujeitos que
pertencem a grupos sociais distintos, com interesses e normas próprios que influenciam a transformação do saber ao longo da trajetória epistemológica. O saber sábio ou científico, produzido nas universidades ou institutos de pesquisa e que não está diretamente associado a escola básica, ao ser transposto para o contexto escolar transforma-se em saber a ensinar, saber que aparece nos programas escolares, materiais e livros didáticos. O saber a ensinar é definido pelo que Chevallard designou de noosfera - "conjunto das fontes de influências que atuam na seleção dos conteúdos que deverão compor os programas escolares e determinam todo o funcionamento do processo didático". (PAIS, 2008, p.16) -, da qual fazem parte cientistas, professores, especialistas, políticos, autores de livros e outros agentes da educação. Contudo, ainda que o saber a ensinar tenha sido adaptado para apresentação aos alunos, ele é transformado na medida em que é ensinado pelo professor dando origem a outro tipo de saber, saber ensinado, que por sua vez também é transformado na medida em como é aprendido pelo aluno, saber aprendido disponível.
institucional em relação ao pessoal e, por esta razão, não considera a dimensão pessoal como fundamental em um problema didático.
Para a TAD, não há fenômenos nem problemas didáticos que se refiram em última instância a relação pessoal no âmbito do saber matemático, posto que esta relação está em grande medida determinada - e, em consequência, pode ser explicada - a partir da relação institucional. (GÀSCON, 2011, p. 215).
Portanto, podemos dizer que a dimensão econômico-institucional de um problema didático levanta questões em relação ao resultado produzido pela ação da transposição didática nas praxeologias matemáticas e didáticas. Como exemplo de questões que formam parte dessa dimensão, trazemos: qual é o nível institucional que temos que considerar para estudar nosso problema didático de sólidos arquimedianos? Quais características apresentam as OM e as correspondentes OD em uma instituição em um período determinado? Como os sujeitos dessa instituição a descrevem e a interpretam? Que tipos de práticas matemáticas podem ser desenvolvidas em uma instituição referente a um nível particular de atividade matemática?
Para que tais questões sejam respondidas é necessário que se explique previamente a dimensão epistemológica. Tendo em vista que um MER se torna importante e fundamental para a análise do saber matemático, tal como se apresenta e é interpretado em cada uma das instituições que formam as sucessivas etapas do processo de transposição, estudar a base de conhecimento para o ensino de sólidos arquimedianos e os fenômenos didáticos que a ela estão associados, requer impreterivelmente partir de uma análise de como esses sólidos são interpretados na instituição de ensino. Isso implica abordar as práticas matemáticas que são possíveis obter na dita instituição a respeito de sólidos arquimedianos. No entanto, para que essa análise seja completa, será preciso situar os sólidos arquimedianos em uma OM local relativamente completa para depois integrá-la a uma OM regional.
Dimensão ecológica
Ao considerar que a dimensão ecológica de todo problema didático inclui a dimensão epistemológica e a dimensão econômico-institucional, Gascón (2011) afirma, sob a perspectiva da TAD, que todo problema didático é um problema de
ecologia praxeológica. Sendo assim, se faz necessário o estudo da ecologia institucional das praxeologias matemáticas e didáticas.
A dimensão ecológica de um problema didático vem evidenciar que tipos de restrições são cruciais para a ecologia das praxeologias matemáticas e didáticas. Algumas questões que giram em torno dessa dimensão, são apresentadas, tais como: quais são as condições que permitem dar conta do estado atual, ou em um período histórico determinado, das OM e das OD de sólidos arquimedianos associadas em uma instituição determinada? que restrições dificultam ou impedem que determinadas características das OM e da OD se desenvolvam em uma instituição? que condições se deveriam instaurar para que fosse possível a vida de certas OM e OD com características determinadas?
Nesse sentido, podemos compreender que a nova problemática ecológica permite abordar as restrições que determinam as características das praxeologias institucionais, quer sejam matemáticas, didáticas ou de qualquer outro tipo. Em geral, como aponta o autor, essas restrições são independentes da vontade dos sujeitos que participam da instituição, e nem sempre, apresentam a mesma importância e relevância. Diante desse fato, uma restrição por si só pode ser tão decisiva que anula ou torna irrelevante as demais.
Dessa maneira se amplia e precisa a antiga ecologia dos saberes proposta por Chevallard (1992). É mais precisa porque a estrutura das praxeologias se descreve de forma muito mais detalhada do que a dos saberes e porque as restrições estão concretas nos diferentes níveis de codeterminação didática. Também a problemática ecológica se amplia devido a inclusão das praxeologias didáticas, além das matemáticas. (GASCÓN, 2011, p. 219).
De acordo com o autor, no contexto da TAD, o estudo da ecologia institucional das praxeologias matemáticas e didáticas pode identificar condições e restrições impostas sobre as praxeologias que sucedem dos níveis de codeterminação didática, dos mais gerais aos mais específicos. Por exemplo, a questão matemática, o que é um cubo truncado? Que gera um processo de estudo em uma instituição didática é parte de um tema, sólidos arquimedianos, contido em um setor, poliedros, que pertence à área da geometria, que por sua
vez forma parte da disciplina matemática. É assim que uma questão matemática está sujeita a vários níveis de codeterminação didática.
Ante o exposto, para que o ensino de sólidos arquimedianos via construção aconteça, um conhecimento tecnológico específico, como apontado por Mishra e Koehler (2006) se faz necessário, uma vez que tal estudo é praticamente impossível de ser realizado em lápis e papel, ou com material manipulativo, dado a complexidade de suas representações, bem como construções. Nesse caso em particular, para que as praxeologias matemáticas e didáticas sejam determinadas, o conhecimento tecnológico torna-se imprescindível, isto é, torna-se condição para que seja possível a vida de tais praxeologias ou organizações com características de construção.
Contudo, embora a estrutura hierárquica disciplinar seja construída, não há garantias quanto à qualidade do estudo da questão matemática em jogo, tal qualidade depende do sentido de seu estudo na escola. Para o autor, é necessário que sejam comprovadas suas legitimidade cultural e social, que provém de questões que a sociedade propõe para o estudo na escola, legitimidade matemática, que justifique o estudo na própria matemática e legitimidade funcional, que relaciona com outras questões estudadas na escola.
Nessa perspectiva, a questão matemática elaborada precisa considerar uma hierarquia de níveis que cumpra às condições supracitadas, caso contrário a razão de seu estudo na escola, isto é, seu sentido, desaparecerá. Nesse caso, a questão encerra em si mesma e passa a ser considerada uma questão morta. Desse modo, o estudo dos sólidos arquimedianos na escola básica se torna válido e justificável segundo essa perspectiva, pois estabelecem conexão com conceitos matemáticos outros, bem como com outras áreas de conhecimento (biologia, arte, arquitetura, cartografia, etc.) e suas representações fazem parte do nosso contexto social e cultural.
Na presente pesquisa, com o intuito de identificar que saberes precisam ser mobilizados para que o ensino de sólidos arquimedianos aconteça via construção geométrica, encontramos nos referenciais teóricos apresentados elementos necessários que nos ajudam a apontar a base de conhecimento para seu ensino na educação básica.
A Teoria Antropológica do Didático (TAD), ao permitir que o conteúdo matemático sólidos arquimedianos seja analisado como produção de uma instituição, nos orienta na escolha de situações que favoreçam seu ensino, bem como as técnicas possíveis de serem mobilizadas em suas resoluções. Estas explicadas e consideradas por tecnologias, que são também justificadas por teorias pertinentes ao conteúdo em estudo.
Nesse sentido, a escolha pela Organização Matemática (OM) considerada no capítulo seguinte, nos auxilia na tomada de decisão no que tange ao que deve ser ensinado, isto é, o que de sólidos arquimedianos na educação básica os professores devem saber para ensinar. É importante ressaltar que tal escolha, consequentemente, implicará na elaboração de uma Organização Didática (OD) que colocará em exercício o ensino da OM em jogo.
Acreditamos que a elaboração de uma OM para os sólidos arquimedianos nos evidencia o conhecimento matemático para o ensino no sentido de Ball, Thames e Phelps (2008), porque não só foca no que, mas em como, os professores precisam saber a respeito de sólidos arquimedianos para que seu ensino seja eficaz. Isso se justifica porque podemos identificar a matemática em relação às tarefas específicas em que os professores devem se dedicar, bem como o discurso interno da matemática que as justificam.
Além disso, pensamos que a OM ao apontar aspectos do conteúdo, para além do conhecimento didático, se aproxima do conhecimento especializado dos sólidos arquimedianos proposto pelos autores, ao contemplar o trabalho que esse ensino exige permite que estratégias diferentes de resolução sejam reconhecidas. Nesse sentido, questionamentos levantados por Ball. Thames e Phelps (2008) - tais como: é legitimo fazer isso? Por quê? - podem ser respondidos.
Outro ponto a ser destacado diz respeito à OD que será colocada em prática a partir da OM considerada, pois ela está relacionada às escolhas e avaliações que os professores fazem dos diferentes métodos e procedimentos que podem lançar mão para ensinar um conteúdo particular, no nosso caso os arquimedianos, compreendemos que o conhecimento tecnológico para o ensino, no sentido de Mishra e Koehler (2006), não pode estar dissociado de tal discussão. Principalmente, porque, as tecnologias, tendo seus próprios limites,
condicionam o ensino dos arquimedianos e a natureza de suas possíveis representações, o que de certa forma pode restringir maneiras de ensino deste conteúdo, assim como outras decisões pedagógicas.
É nesse sentido que uma discussão a respeito do conhecimento tecnológico para o ensino se faz necessária. Compreender representações de sólidos arquimedianos usando as tecnologias disponíveis, sejam elas digitais ou não, colocam em pauta como cada tecnologia pode auxiliar a lidar com alguns problemas que o ensino destes pode acarretar. Assim, pensamos que as possíveis OD consideradas para o ensino de arquimedianos estão intimamente ligadas à tecnologia escolhida, uma vez que selecionada nos leva a pensar o que pode ser abordado e ensinado por meio dela. Isso evidenciará o que chamamos de conhecimento didático tecnológico.
Sendo assim, acreditamos que para apontar a base de conhecimento para o ensino de sólidos arquimedianos, o conhecimento matemático, o conhecimento tecnológico e o conhecimento didático, bem como as relações que eles estabelecem entre si, precisam ser considerados.
Com base nos referenciais teóricos apresentados, partimos para a construção da Organização Matemática dos sólidos de Arquimedes que evidenciará os conhecimentos matemáticos envolvidos no processo de ensino, bem como para aspectos da Organização Didática a partir da tecnologia escolhida, como mostramos no capítulo seguinte.
4 SABERES DOCENTES E SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS
No presente capítulo serão retomadas algumas discussões levantadas, em capítulos anteriores, para a composição de um cenário que revele que saberes podem ser mobilizados para que os sólidos arquimedianos sejam ensinados via construção geométrica, na educação básica.Para a identificação desses saberes partimos da concepção de base de