CONSIDERAÇÕES GERAIS

Desenvolve-se uma formulação numérica para realizar uma análise inelástica de segunda ordem empregando o conceito de zona plástica ou plasticidade distribuída. Por meio dessa formulação, que é aplicada no plano da estrutura, procura-se monitorar a formação das zonas plásticas da flexocompressão ao longo das barras, tratadas aqui de forma genérica (viga-coluna), para assim, fazer-se um retrato simplificado mais fiel do comportamento estrutural.

Na abordagem com zona plástica, de acordo com a Fig. 3.1(a), cada barra da estrutura é representada como uma série de elementos finitos (EF) que são definidos por um par de nós (por exemplo, A e B) nas extremidades. Nesses nós se avaliam as propriedades geométricas efetivas (a área A0, a posição do centro de gravidade plástico

yCGP, o momento de inércia Iz) e o comportamento da seção (o módulo tangente D; o

estado de tensões , o de deformações ), conforme apresentaram inicialmente Owen & Hinton (1980).

Nesta abordagem, todas as barras/EFs têm seções de perfis I, com altura (d), largura (b), espessuras de aba (t) e de alma (a), como indica a Fig. 3.1(b).

Neste capítulo, desenvolve-se um EF mais geral, que possui uma ligação numa das extremidades, B no caso da Fig. 3.1(a). Essa ligação contribui com um novo grau de liberdade interno, representado pelo seu giro próprio, que está relacionado à sua rigidez e ao momento que ali atua, sendo estudado na seção seguinte.

O conceito de zona plástica adotando a técnica das fatias considera cada seção dos nós extremos (A-B) subdividida em componentes de área (dA0), que são denominados

de fatia, representada na Fig. 3.1(c) (Lavall, 1996). Essas fatias são avaliadas conforme o estado de tensão ou a deformação do seu centroide, denominado fibra, também representada no centro da fatia na Fig. 3.1(c).

Essas fatias são delimitadas pelas seções extremas do EF e têm a mesma extensão (L), porém, tanto as tensões como as deformações de cada extremidade da fatia são diferentes não existindo o imaginado equilíbrio de fatias, mas, sim, o equilíbrio dos esforços internos resultantes nas seções com as cargas aplicadas em termos nodais. Nas fibras considera-se apenas o comportamento linear, desprezando as rotações e os deslocamentos de um ponto do corpo. Ou seja, avaliam-se apenas as relações que determinam as alterações de comprimento da fibra (ver o apêndice A.4).

É importante destacar que o estado das fibras, em cada nó, determina o estado das fatias e pela soma dos estados dessas fatias se encontra o estado de cada nó (a nível de esforços internos) e do EF como um conjunto (em nível de propriedades e rigidez). Numericamente, essa integral se transforma numa soma ao longo da área (A0) de cada

seção, de cada nó do EF, envolvendo todas as fatias de área (dA0).

Do ponto de vista das propriedades estruturais (tanto a rigidez da seção como a determinação do seu centro de gravidade plástico) deverão ser avaliadas em cada instante ( ), baseando-se nas médias das propriedades atualizadas dos dois nós; já as demais características [como posição da fatia (yc), área (dA0) da fatia, etc.] são

grandezas constantes (não se alteram), estabelecidas no início do análise, ou seja, são grandezas originais.

Tendo em vista as diversas considerações adotadas nessa formulação e para permitir sua apresentação mais clara, os trechos seguintes são divididos em subseções, destacando-se nos subtítulos o assunto principal.

3.2.1 SISTEMA CORROTACIONAL

Essa formulação adota o referencial lagrangiano atualizado (RLA), para o qual as grandezas da configuração que se deseja obter no instante atual ( ), com o subscrito (d)

significando deformadas, são relacionadas às grandezas já determinadas, do instante anterior ( -1), com o subscrito (c) significando conhecidas, em cada ciclo do processo

de solução. As grandezas constantes da análise são chamadas de grandezas originais, com o subscrito (0) (zero), quando = 0. Essas configurações são representadas

esquematicamente na Fig. 3.2.

Os pontos originais (A0, B0), que definem a distância original Lo, ocupam a

posição deformada (Ad, Bd), no instante atual ( ), e serão relacionados à posição

conhecida (Ac, Bc) do instante anterior ( -1) por meio de deslocamentos que cada ponto

(ou nó) sofre u (u, v, ) ao passar da configuração (c) para a (d), em razão do carregamento atuante, ou parcela, que provoca esse movimento.

Tanto o eixo do elemento finito como os referenciais são definidos pela linha que une os nós (A-B) e determinam um ângulo de posição atual d entre o eixo local atual

(xd, yd), e o global fixo (x0,y0). Como existe, analogamente, um ângulo de posição

conhecida ( c) anterior, define-se o giro que nasce da diferença entre esses dois ângulos

L Eixo (b) (c) (a) B a r r a Elemento Finito A B A B Área A Ligação L A Fibra L B _Fatia Eixo Área dA d b y_c t t a 0 0

Figura 3.1 Modelagem da Zona Plástica:

(a) estrutura com EFs; (b) elemento finito e eixo; (c) fatia com fibra.

c Lc xc d d c y y_d L xd I 0 xc d x

Giro de corpo rígido

y0 0 x L0 x0 y0 y0 0 x (a) (b) (c) A B A B A B g 0 0 c c d d

Figura 3.2 Configurações do referencial lagrangiano atualizado:

(a) original, ( =0); (b) conhecida, ( -1); (c) deformada, ( ).

Essa formulação numérica atende, também, ao teste fundamental de movimento de corpo rígido de Yang & Kuo (1994), que não provocando o surgimento de esforços espúrios, como se comprovou (Alvarenga, 2008).

Conforme Silveira (1995), a grande vantagem de se adotar o RLA é que se consegue um bom controle sobre o giro de corpo rígido ( g) ao se aproximar as duas

configurações, conhecida e deformada, minimizando os desvios na avaliação das deformações e dos esforços internos de equilíbrio.

A principal diferença em relação ao referencial lagrangiano total é que, ao relacionar a configuração deformada diretamente à original, quanto maior for o ângulo ( d) maior tenderá a ser o desvio nos resultados produzidos.

Por outro lado, as equações deduzidas dependem tanto de grandezas estabelecidas no RLA propriamente quanto de grandezas originais, visto que o estado de tensões é integrado ao longo do volume original, que é considerado fixo, para a obtenção dos esforços internos, como será visto nas subseções 3.2.3 e 3.2.4.

3.2.2 TENSÃO E DEFORMAÇÃO DA FIBRA

Como a fibra estabelece o comportamento da fatia, define-se o alongamento linear (ou técnico) e a tensão nominal , conforme (Biot, 1939):

sendo Ld e Lc o comprimento deformado e o conhecido, dNd é a parcela de esforço que

solicita a fibra e dA0 a área da fibra, que é constante (dAd = dAc = dA0), como se mostra

na Fig. 3.3(a), em que se considera, apenas, o comportamento unifilar da fibra.

Essas grandezas ( , ) formam um par de medidas conjugadas, que são relacionadas entre si por uma lei constitutiva, em que a tensão é função da deformação

, como ilustrado na Fig. 3.3(b). Para maior entendimento veja o apêndice A.4.

Define-se o módulo de rigidez do material da fibra como a tangente a curva - no ponto que representa o estado atual dessa fatia, ou seja:

Existem vários diagramas de material que podem ser empregados, mas nesta formulação se consideram os tipos mais usuais na prática: o infinitamente elástico, o elástico perfeitamente plástico, o modelo dito bilinear e o trilinear com patamar, todos ilustrados na Fig. 3.3(c).

Notando-se que o comportamento estabelecido pelos diagramas prevê o módulo D como função do nível de tensão da fibra:

a. E – o módulo elástico ou de Young (Beal, 2000), quando em regime elástico, logo, < y, sendo y a tensão inicial de escoamento do material;

b. 0 – se o material for perfeitamente plástico e estiver em escoamento = y;

c. Et – o módulo tangente (Engesser, 1889 e 1895), quando em carregamento

plástico, então y. É comum, na prática, adotar-se um Et de valor pequeno

não nulo, simulando o diagrama perfeitamente plástico (para evitar alguns tipos de singularidade de solução). Esse procedimento, entretanto, não será aplicado aqui.

= Ld/Lc–1 = dNd/dA0 (3.2a-b)

y s y E Et Perfeitamente Plástico Trilinear Bilinear f f Elástico Infinitamente Fibra L Ld c dNd dNd dA 0 Fatia D = d d (a) (b) (c) f f

Figura 3.3 Comportamento da fibra e do material:

(a) deformação da fibra; (b) módulo de rigidez; (c) diagramas tensão-deformação: (—) perfeitamente plástico, (− −) infinitamente elástico, (− −) bilinear e (---) trilinear.

(a) d E Bilinear (b) y y c f d f c Et E E Bilinear (c) y y f d f Et E E y f - - F F C D C F C Fim y f y E Et Bilinear f

Figura 3.4 Comportamento no descarregamento da fibra:

(a) elástico; (b) ajuste plástico; (c) escoamento no sentido oposto.

O descarregamento da fibra (ou seja, a variação de deformação d de sinal oposto ao da carga plástica) é tratado de forma diferente das aproximações anteriores (Lavall, 1996). Supondo-se, por exemplo, que o material tenha um diagrama de comportamento bilinear - , conforme a Fig. 3.4(a-c), há três casos de descarregamento considerados:

a. quando ocorre a redução de deformação d , após a fibra entrar em carga plástica e atingir um ponto de equilíbrio F, a fibra volta a se comportar de forma elástica, atingindo o ponto C [ver Fig. 3.4(a)] (Lavall, 1996);

b. se a fibra parte do ponto de equilíbrio F, continua em carga, atingindo o ponto C, sem convergir, quando ocorre o descarregamento em decorrência da deformação d , a fibra atinge o ponto D, ou seja, a plasticidade é apenas ajustada, pois o equilíbrio ainda não tinha sido encontrado [ver Fig. 3.4(b)] ;

c. ocorrendo o descarregamento elástico previsto no caso (a), a deformação d máxima possível não poderá causar uma tensão no sentido oposto superior à de escoamento (- f) [ver Fig. 3.4(c)]. Admite-se o encruamento isotrópico,

pequenas deformações e despreza-se o efeito Bauschinger (Chen & Han, 1987).

A principal diferença recai no fato de que, nessa formulação (adotada aqui), a plasticidade é ajustada durante todo o processo iterativo, reduzindo-se os ciclos até a convergência e evitando-se as soluções incoerentes (Nyssen, 1981).

Considera-se como descarregamento elástico o ocorrido apenas após ter sido atingida uma convergência anterior e acontecer uma deformação de sinal contrário ao do carregamento plástico. Adicionalmente, impõe-se um limite nesse descarregamento, como o início do escoamento no sentido oposto. A carga plástica no sentido oposto é condição de término da análise, uma vez que se torna complicado estabelecer o que está ocorrendo com a fibra, que poderia ter deformações plásticas de sinal oposto às tensões de escoamento existentes (o que causaria confusão com um possível erro numérico).

3.2.3 LIMITAÇÕES E HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS

Para definir o EF genérico dessa formulação, introduzem-se agora algumas hipóteses simplificadoras, juntamente com os seus autores (ou referências):

a. Bernoulli (1728): o efeito de Poisson (Timoshenko & Goodier, 1970) é desprezado e na plasticidade o volume não se altera, portanto as deformações transversais ao eixo do EF são desprezadas, o que permite que a área geométrica das seções e das fatias seja constante (não se alteram na análise), não admitindo grandes deformações;

b. Euler (1759): as seções permanecem ortogonais ao eixo da barra, ou seja, não ocorrerão distorções nas seções, desprezando-se o efeito da força cortante; c. Navier (1823): seções transversais planas permanecem planas após a

introdução dos carregamentos, ou seja, não ocorre empenamento;

d. Vlassov (1962): todas as barras (vigas e/ou colunas) estarão travadas fora do plano da análise, evitando a instabilidade lateral por flexotorção ou por empenamento. Isso implica que a esbeltez transversal deverá ser limitada (ver apêndice A.1 para parâmetros limite das normas):

i. próximo às zonas plásticas: L_t r_y =25+955 _y[kN/cm2], ou,

ii. trechos elásticos: L_t r_y =

(

)

em que ry é o raio de giração da seção no eixo de menor inércia (y), Lt é a

distancia entre travamentos laterais e βM a relação entre os momentos nas

seções do travamento, com: –0,625 ≤ β M = Mt/Mp ≤ 1,0 adotando o sinal (+)

para curvatura reversa (Higgins et al., 1971);

e. Neal (1977): não se reduzirá a tensão de escoamento sob tensões combinadas, pois os esforços de cisalhamento são pouco expressivos. Então, não são reduzidos Mp ou Ny por causa do cisalhamento. Portanto, exige-se que os

cortantes sejam: V_d ≤ ,0577σ_yad_a (Higgins et al., 1971), em que da é a altura

livre da alma (neste trabalho: da d – 4t). Entretanto, procura-se atender ao

critério de von Mises (1913) quanto ao maior cisalhamento suportado pela área remanescente elástica da alma (a·dae) da seção do perfil I, verificando-se:

d ae y

de 077 ad V

V = , σ ≥ ;

f. Galambos (1982): todas as seções (perfis I) são compactas (não ocorrerá a instabilidade local das chapas componentes) e pode-se atingir a carga limite do sistema estrutural. Na prática, limitam-se as relações de esbeltez das partes componentes dos perfis segundo:

i. para a aba: b t≤108,2 σ_y ;

ii. para a alma de colunas (com ou sem flexão): d_a a≤158 σ_y ; e

iii. para a alma de vigas (somente na flexão): d_a a≤533 σ_y ;

como recomenda o LRFD (Salmon & Johnson, 1990), sendo σy ( 45)

expresso em kN/cm2, para todos os casos (ver o apêndice A.1);

g. não é verificado o atendimento à lei do regime de fluxo plástico, ou a teoria de

menor deformação J2 (Chen & Han, 1987). Tampouco se comprova que há

atendimento completo ao critério de von Mises (1913), ou a qualquer outro, com relação ao escoamento, uma vez que somente se consideram tensões normais atuantes nas fibras e, assim, o escoamento é estabelecido apenas pelo diagrama de tensão-deformação do material, sendo por isso exigido o item (e); h. será considerada a influência da ligação entre a viga e a coluna, conforme a

i. não se propõe um estudo sobre o comportamento dos painéis das colunas, que são normalmente considerados rígidos, não apresentando distorções. Três situações são previstas, entretanto, com as construções (ver apêndice A.2):

i. rígida – mesmo na presença de elevados momentos e cortantes, ou seja,

nessa consideração cumpre que sejam colocados enrijecedores adequados nas colunas (horizontais na direção dos flanges das vigas e em diagonal para o cisalhamento, se requeridos);

ii. flexível – supondo que não haveria, a priori, esforços de momento, não

seriam empregados enrijecedores;

iii. semirrígida – a curva momento-rotação da ligação implicitamente pode

incluir a deformação do painel, dependendo da forma (tipo), das grandezas envolvidas e dos enrijecedores que podem, também, ser especificados;

j. a excentricidade da ligação pode ser considerada, mas não foi explorada neste trabalho;

k. as bases podem ter comportamento semirrígido, também, sendo resultado de uma família de curvas momento-rotação avaliadas sob uma dada condição de esforço axial, o que, entretanto, não determina modificação na definição das condições de contorno para o EF com ligação. Portanto, despreza-se o efeito da deformação axial para se estabelecer o comportamento momento-rotação da base;

l. desprezam-se os efeitos das deformações locais de abas de colunas, nos pontos de contato com a ligação associados aos casos de flambagem local e/ou lateral, considerando que esses estados combinados serão críticos somente na trajetória após flambagem, ou seja, que as seções possuem capacidade de rotação de forma a atingir o momento último (Kemp & Dekker, 1991)

Essas considerações são também atributos ou limitações da Análise Avançada, aqui adotada, e que serão empregadas na seção seguinte, para estabelecer o elemento finito com uma ligação na extremidade. Algumas das características descritas não serão exploradas no corpo desta tese, embora isso não queira dizer que não tenha sido desenvolvida a formulação e/ou implementação correspondente (como o caso da excentricidade da ligação, por exemplo).