Considera¸c˜oes sobre metarregras e conflitos comognitivos

A an´alise realizada na se¸c˜ao anterior possibilitou investigar se, e como, os gru- pos refletiram sobre quatro metarregras identificadas por n´os, em dois epis´odios da hist´oria das matrizes (Tabela 6.3), a partir da interpreta¸c˜ao hist´orica de Brechen- macher (2006b). Essas metarregras foram exploradas por meio de atividades que designamos como hist´oricas nos roteiros de ensino. N˜ao introduzimos o conceito de “metarregra”nesses roteiros, nem mesmo mencionamos esse termo durante os en-

contros com os participantes. Mas, sim, exploramos o conte´udo das metarregras descrito como a¸c˜oes dos discursantes quando lidavam com matrizes e determinantes ou interpreta¸c˜oes particulares desses conceitos.

Epis´odio Sylvester Epis´odio Cayley

Determinantes eram ferramentas usadas para investigar propriedades geom´etricas de curvas e superf´ıcies e eram calculados a partir de fun¸c˜oes - polinˆomios homogˆeneos de grau 2.

Matriz era uma nota¸c˜ao cˆomoda usada para trabalhar com sistemas de equa¸c˜oes lineares.

Matriz como m˜ae dos determinantes me- nores: uso de matrizes como uma repre- senta¸c˜ao em conex˜ao com a t´ecnica de gera¸c˜ao de sistemas de menores.

Dupla interpreta¸c˜ao da no¸c˜ao de matriz: uma matriz era considerada ora como uma quantidade simples, ora como uma quan- tidade m´ultipla.

Tabela 6.3: Metarregras selecionadas nos epis´odios de pesquisa.

Os resultados indicam que o argumento te´orico de Kjeldsen (2011c), Kjeldsen e Blomhøj (2012), sobre o uso da hist´oria da matem´atica como uma estrat´egia para revelar metarregras do passado e torn´a-las objetos expl´ıcitos de reflex˜ao dos estudantes, verifica-se parcialmente em rela¸c˜ao `as metarregras hist´oricas (Tabela 6.3). Observamos dificuldades em alguns grupos de se engajar nas discuss˜oes de algumas as atividades hist´oricas. Como descrevemos na se¸c˜ao anterior, notamos que os integrantes dos grupos do estudo de campo 1 (grupos 1.1 e 1.2), ao final das atividades do primeiro roteiro, pareciam cansados e dividiram-se para terminar as quest˜oes. Assim, n˜ao detectamos discuss˜oes significativas nos ´audios desses grupos para avaliar as reflex˜oes sobre a metarregra Matriz como m˜ae dos menores.

Outro exemplo foi a dificuldade externada por um integrante do grupo 1.1 (Jo˜ao) em rela¸c˜ao `a no¸c˜ao de matriz como uma quantidade simples envolvendo a matriz unidade, o que o levou a solicitar a interven¸c˜ao do pesquisador para explicar o uso dessa no¸c˜ao na demonstra¸c˜ao do teorema not´avel. O grupo n˜ao iniciou uma dis- cuss˜ao sobre a metarregra acerca da dupla interpreta¸c˜ao de matrizes, mesmo ap´os a explica¸c˜ao do pesquisador. De acordo com Sfard (2008, p. 257), discursos governados por metarregras distintas s˜ao incomensur´aveis, no sentido de que n˜ao compartilham um crit´erio comum para decidir qual narrativa deve ser reconhecida como v´alida. Pelos crit´erios atuais, o uso de matriz como um n´umero na demonstra¸c˜ao do teorema not´avel n˜ao seria aceito como v´alido, mas ´e preciso situar a mem´oria de (CAYLEY, 1858) em seu contexto e levar em conta que os crit´erios eram outros, isto ´e, as me-

tarregras eram outras. O participante Jo˜ao parece ter tido dificuldade de situar a mem´oria de Cayley no contexto de seu tempo e n˜ao percebeu que havia metarre- gras distintas em uso, nem que o que faz sentido em matem´atica muda ao longo do tempo.

Metarregras dos participantes Roteiro

Determinantes s˜ao propriedades de matrizes quadradas.

Sylvester. Descri¸c˜ao de matriz com base nos elementos ca-

racter´ısticos da sua representa¸c˜ao em forma de tabela.

Sylvester e Cayley.

Demonstra¸c˜oes de teoremas que se baseiam em casos particulares n˜ao tˆem validade.

Cayley.

Tabela 6.4: Metarregras detectadas a partir das discuss˜oes.

A an´alise aponta que todos os grupos refletiram acerca do objeto sobre o qual os determinantes eram calculados nos trabalhos de Sylvester: polinˆomios homogˆeneos de grau 2 com trˆes vari´aveis. Essas reflex˜oes levaram os participantes a explicitarem a metarregra segundo a qual determinantes s˜ao propriedades de matrizes. Tal regra tamb´em molda o discurso da maioria dos livros-textos de ´Algebra Linear brasileiros que definem determinantes a partir de matrizes quadradas. As metarregras dos participantes, detectadas a partir das discuss˜oes podem ser vistas na Tabela 6.4.

O primeiro roteiro de ensino, com a apresenta¸c˜ao do problema dos contatos mostrando como os determinantes eram utilizados e como a no¸c˜ao de matriz foi introduzida, propiciou aos participantes a descoberta de que nem sempre determi- nantes foram calculados a partir de matrizes quadradas e, tamb´em, de que a ordem segundo a qual alguns conceitos s˜ao ensinados difere da ordem do seu desenvolvi- mento hist´orico. Temos aqui uma situa¸c˜ao em que os participantes refletiram sobre mudan¸cas nas metarregras.

Os extratos dos artigos originais e as atividades hist´oricas tiveram um papel fundamental em fomentar as reflex˜oes. Os participantes discutiram bastante so- bre a rela¸c˜ao de dependˆencia entre os conceitos de determinantes e matrizes. Hoje determinantes dependem de matrizes, mas nas narrativas de Sylvester ocorre o in- verso. Ao perceber que nem sempre determinantes foram calculados a partir de matrizes, houve um participante (Raelo, grupo 2.1) que problematizou sobre a metarregra segundo a qual determinantes s˜ao propriedades de matrizes,

questionando se sempre calculamos determinantes de matrizes: “A gente n˜ao tem nenhum caso que a gente utilize determinante sem pensar em matriz?”. Geralmente, os estudantes costumam conhecer a defini¸c˜ao de determinantes apenas a partir de matrizes (quadradas) nos cursos de ´Algebra Linear, esse foi o caso dos participantes de ambos os estudos de campo.

O segundo roteiro propiciou o contato com algumas p´aginas da mem´oria de Cay- ley (1858), traduzidas para o portuguˆes pela pr´opria pesquisadora. Os participantes puderam observar as diferen¸cas nas nota¸c˜oes, no estilo do texto e, o que eles mais esperavam: como a multiplica¸c˜ao de matrizes foi definida. Os resultados acerca das reflex˜oes sobre as metarregras que governaram o discurso no epis´odio Cayley indicam que todos grupos refletiram sobre a no¸c˜ao de matriz como uma nota¸c˜ao cˆomoda usada para trabalhar com sistemas de equa¸c˜oes lineares ou sobre quest˜oes relacionadas a essa metarregra.

De acordo com (KJELDSEN; BLOMHØJ, 2012), com cen´arios de aprendizagem que colocam os estudantes para investigar fontes hist´oricas, guiados por quest˜oes hist´oricas, eles tornam-se cientes de que existem regras metadiscursivas que gover- nam as narrativas dos textos matem´aticos e que as metarregras que governam o discurso das fontes s˜ao diferentes daquelas que governam as narrativas dos livros- textos contemporˆaneos. A oportunidade de analisar como Cayley definiu as regras para as opera¸c˜oes com matrizes levou um dos grupos (2.1) a refletir sobre como um texto moderno (BOLDRINI et al., 1980) definia essas opera¸c˜oes.

Os extratos das fontes originais propiciaram o contato com discursos moldados por metarregras, que encerram diferentes interpreta¸c˜oes sobre a no¸c˜ao de matriz: (matriz com m˜ae dos menores e matriz como uma nota¸c˜ao cˆomoda para sistemas li- neares). Esses extratos tamb´em propiciaram aos participantes um exemplo de que as no¸c˜oes sofrem mudan¸cas ao longo do tempo. As atividades explorando essas metar- regras desafiaram os participantes a refletirem sobre o que ´e uma matriz. A an´alise apontou que v´arios participantes descrevem matrizes como tabelas ou por meio dos elementos que caracterizam a representa¸c˜ao em forma de tabela. Isso leva-nos a uma reflex˜ao sobre o ensino de matrizes que diz respeito ao contexto pedag´ogico: apenas a defini¸c˜ao de matriz como uma tabela ´e apresentada aos estudantes. O ob- jeto matriz tamb´em pode ser definido como uma fun¸c˜ao que tem como argumento os

´ındices das entradas (HOFFMAN; KUNZE, 1970). Dessa forma, questionamo-nos se ´e adequado prover futuros professores com apenas uma defini¸c˜ao do conceito de matriz, no lugar de apresentar as duas defini¸c˜oes e de discutir sobre as vantagens e os limites de cada uma. A defini¸c˜ao de matriz como uma tabela tem a vanta- gem de proporcionar uma imagem desse conceito que possibilita o acesso direto a todos elementos. No entanto, tal concep¸c˜ao pode n˜ao ser eficaz quando se trabalha com matrizes de ordem grande e que apresentam muitos elementos nulos (matri- zes esparsas). Armazenar todas as posi¸c˜oes nulas de uma matriz esparsa ocuparia mem´oria, desnecessariamente, em um computador. Neste caso, a defini¸c˜ao de matriz como uma fun¸c˜ao pode ser mais eficaz ao otimizar o registro e facilitar o acesso aos elementos n˜ao nulos.

Nas reflex˜oes envolvendo a metarregra “descri¸c˜ao de matriz com base nos ele- mentos caracter´ısticos da sua representa¸c˜ao em forma de tabela”, alguns partici- pantes perceberam que a defini¸c˜ao atual de matriz esconde todas as interpreta¸c˜oes atribu´ıdas a essa no¸c˜ao ao longo do tempo, como vimos nas palavras de Mario, ao dizer “A gente s´o diz que ´e uma tabelinha” e, tamb´em, com Yhedi, ao alegar na entrevista final e no question´ario final que o ensino “banalizou”o conceito de matriz. Comparando nossos resultados com os de Kjeldsen e Petersen (2014), a an´alise mostrou que ´e poss´ıvel diagnosticar metarregras dos participantes em situa¸c˜oes de ensino, em que fontes hist´oricas s˜ao investigadas, o que ´e consistente com os re- sultados desses pesquisadores. Por outro lado, uma diferen¸ca ´e que n˜ao detecta- mos metarregras dos participantes que sejam discrepantes com o discurso dos livros did´aticos modernos e nem com o discurso passado pelo ensino. No entanto, n˜ao ana- lisamos o discurso dos alunos em atividades de natureza exclusivamente matem´atica, como esses pesquisadores fizeram.

Alguns conflitos comognitivos foram detectados nas discuss˜oes dos alunos. Uma breve descri¸c˜ao de cada um, bem como o que disparou cada conflito est´a resumido na Tabela 6.5. A tarefa de detectar conflitos comognitivos n˜ao foi simples, como aler- tou Sfard (2008, p. 256). Inicialmente, esper´avamos encontrar conflitos na acep¸c˜ao comum da palavra, ou seja, esper´avamos encontrar nas discuss˜oes pontos de dificul- dade, momentos de surpresa ou d´uvida. No entanto, os participantes sabiam que estavam lidando com fontes hist´oricas e que, portanto, poderiam deparar-se com

ideias muito diferentes. Assim, houve situa¸c˜oes em que os participantes percebe- ram que o discurso era governado por metarregras que n˜ao est˜ao mais em vigor e externaram a metarregra vigente, como foi o caso do primeiro conflito registrado na Tabela 6.5. Neste caso, n˜ao foi observada a ocorrˆencia de narrativas conflitantes expressando-se por meio de uma falta de entendimento, ou por meio de discordˆancias em rela¸c˜ao `a fonte hist´orica, mas os participantes perceberam que houve uma mu- dan¸ca nas metarregras em jogo. Vale mencionar, ainda, que o modo e a finalidade com a qual Sylvester empregou determinantes foi introduzido pela pesquisadora na apresenta¸c˜ao do roteiro, ent˜ao n˜ao foi um elemento totalmente novo no momento em que os estudantes realizaram as atividades.

Conflitos comognitivos detectados Roteiro

Sobre a mudan¸ca no objeto em rela¸c˜ao ao qual os determi- nantes passaram a ser calculados.

Sylvester. Sobre o sentido da correspondˆencia entre determinantes e

matrizes.

Sylvester. Sobre o c´alculo simb´olico realizado por Cayley na demons-

tra¸c˜ao do teorema not´avel.

Cayley.

Tabela 6.5: Conflitos comognitivos detectados a partir das discuss˜oes dos grupos.

O mesmo n˜ao ocorreu com os dois ´ultimos conflitos registrados na Tabela 6.5, cujas discuss˜oes mostram que os participantes n˜ao perceberam de imediato que as metarregras em jogo eram outras. No caso do segundo conflito, houve momentos de d´uvidas. No entanto, os participantes discutiram entre si e perceberam que Sylvester invertia a ordem da correspondˆencia entre matrizes e determinantes, isto ´e: partindo de um determinante, ele associava um matriz quadrada ao mesmo. E o terceiro conflito manifestou-se por meio de intensas discuss˜oes acerca da demonstra¸c˜ao do teorema not´avel, na qual Cayley alternava entre a interpreta¸c˜ao de matriz como uma quantidade simples (associada `a matriz identidade) e como uma quantidade m´ultipla.

A no¸c˜ao de conflito comognitivo ´e proposta por Sfard como recurso necess´ario para que o aprendiz realize uma transi¸c˜ao entre metarregras, isto ´e, para que ele aprenda novas metarregras. Na Se¸c˜ao 2.1, mostramos como essa no¸c˜ao foi utili- zada para promover aprendizagem sobre a multiplica¸c˜ao de n´umeros negativos, que requeria uma mudan¸ca de metarregras (SFARD, 2007). Quando o aprendiz altera suas metarregras, Sfard considera que ocorre uma aprendizagem no n´ıvel meta. N˜ao

foi nosso objetivo alterar as metarregras dos participantes. No entanto, podemos dizer que nosso estudo promoveu uma aprendizagem no n´ıvel meta diante de duas situa¸c˜oes: os participantes explicitaram e refletiram sobre suas pr´oprias metarregras e perceberam que tais regras mudam ao longo do tempo e ao longo de diferentes epis´odios de pesquisa.

Como o estudo de Kjeldsen e Blomhøj (2012) apontou, a an´alise na se¸c˜ao anterior tamb´em mostrou que o uso de fontes originais e as atividades hist´oricas propiciaram n˜ao s´o o aprendizado de regras metadiscursivas, como tamb´em a oportunidade de discutir sobre regras no n´ıvel do objeto. Nas discuss˜oes em busca de dirimir o segundo conflito apresentado na Tabela 6.5, o grupo 1.1 observou que a fun¸c˜ao que associa a cada matriz um certo n´umero denominado determinante n˜ao ´e injetora mas ´e sobrejetora. J´a o grupo 2.1, nas discuss˜oes em torno terceiro conflito, reconheceu na equa¸c˜ao alg´ebrica de Cayley o polinˆomio caracter´ıstico de uma matriz, conceito que eles estavam estudando na disciplina ´Algebra Linear 2, no momento do minicurso.

Chegamos a uma conclus˜ao semelhante a de Kjeldsen e Petersen (2014) no que diz respeito `a experiˆencia vivenciada pelos estudantes em uma situa¸c˜ao de aprendizagem que n˜ao era familiar para eles. Os participantes do nosso estudo tiveram a oportunidade de discutir sobre a no¸c˜ao de matriz e conceitos relacionados de maneira n˜ao-operacional, isto ´e, em um n´ıvel mais conceitual, fora dos padr˜oes de aplicar t´ecnicas prontas para resolver problemas matem´aticos. As atividades hist´oricas levaram-nos a refletir sobre o que ´e o objeto matriz. E essa n˜ao foi uma tarefa trivial para eles. Em geral, nas aulas fala-se de matem´atica e n˜ao sobre matem´atica. A ˆenfase do ensino costuma ser nas regras do n´ıvel do objeto, com pouco espa¸co (ou nenhum) para refletir sobre a natureza dos objetos, sobre as regras do discurso etc. Ent˜ao, os estudantes n˜ao costumam ter muitas oportu- nidades de fazerem reflex˜oes do tipo meta sobre matem´atica de uma forma orientada.

QP1: Como fontes hist´oricas possibilitam promover reflex˜oes sobre me- tarregras relacionadas a matrizes e determinantes, a partir de conflitos comognitivos?

Disponibilizar extratos dos textos de Sylvester e Cayley, mantendo as nota¸c˜oes originais, foi essencial para exibir a pr´atica desses matem´aticos e mostrar como eles

definiam e argumentavam nas demonstra¸c˜oes. Como coloca (KJELDSEN, 2011a), os textos hist´oricos desempenham o papel de interlocutores como discursantes agindo de acordo com metarregras distintas. Assim, o uso de fontes prim´arias ´e primordial para permitir o contato com um discurso moldado por metarregras distintas e, assim, possibilitar o conflito comognitivo. No entanto, para que o conflito n˜ao se revele como uma barreira para a aprendizagem, ´e preciso estabelecer como a fonte ser´a utilizada. Dependendo da complexidade matem´atica da fonte e do perfil p´ublico- alvo, explica¸c˜oes adicionais podem ser necess´arias. Em nosso caso, os textos de Sylvester utilizam no¸c˜oes de geometria projetiva e fornecemos uma introdu¸c˜ao de alguns conceitos para dar suporte e condi¸c˜oes aos participantes de compreender o contexto matem´atico do epis´odio. Al´em disso, fizemos uma apresenta¸c˜ao oral do epis´odio de Sylvester e do problema da classifica¸c˜ao dos tipos de contatos. No segundo roteiro, fizemos um estudo dirigido das p´aginas da mem´oria de Cayley (1858).

De acordo com Kjeldsen (2011a), regras metadiscursivas no discurso matem´atico tornam-se regras do n´ıvel do objeto no discurso hist´orico, de modo que o que est´a impl´ıcito em um discurso (no caso, o discurso matem´atico) pode ser tornado expl´ıcito a partir de outro discurso (hist´orico). Assim, todo o suporte dado para investigar as fontes, com o resumo apresentado no primeiro roteiro e as apresenta¸c˜oes orais da pesquisadora, teve o papel de trazer as metarregras para o n´ıvel do objeto, isto ´e, de explicit´a-las e torn´a-las objetos de discuss˜ao. As atividades hist´oricas tamb´em tiveram um papel importante em fomentar e direcionar as discuss˜oes em torno das metarregras que quer´ıamos explorar e para que os participantes explicitassem suas pr´oprias metarregras.